YMR0070, YMR3720 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

More documents

Recommendations

Info

40 kolme üksteist välistava sündmuse summa tõenäosus. Kuna kõigil juhatuse liikmeil on sama osavõtu võimaluse tõenäosus p = 0, 7, siis kasutame Bernoulli valemit. P 7 (5) + P 7 (6) + P 7 (7) = C 5 7 · 0, 7 5 · 0, 3 2 + C 6 7 · 0, 7 6 · 0, 3 + 0, 7 7 = = 0, 317652 + 0, 247063 + 0, 082354 ≈ 0, 647. □ Märkus. Antud ülesande tingimustel on kõige tõenäosem kohale tulla saavate juhatuse liikmete arv [(7 + 1) · 0, 7] = [5, 6] = 5. 8.11. Viiest kaalust üks on ebatäpne. Selle eraldamiseks tehakse iga kaaluga etaloni kontrollkaalumine. Kaalude kontrollimise järjekord on juhuslik. Leiame ebatäpse kaalu väljaselgitamiseks vajalike kaalumiste (kontrollitud kaalude) arvu jaotusseaduse. Lahendus Ebatäpne kaal võib osutuda kontrollitavaks esimesel, teisel, ..., viiendal kaalumisel. Seega kontrollkaalumiste arv on diskreetne juhuslik suurus X, millel on viis võimalikku väärtust x i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Leiame sündmuste X = x i tõenäosused p i . Selleks avaldame sündmused X = x i sündmuste A-kontrollitav kaal on ebatäpne ning A-kontrollitav kaal on täpne korrutisena. Kui esimesena kontrollitud kaal on ebatäpne, lõpetatakse kaalumine, sest sündmus A toimus. Seega X = 1, p 1 = P (X = 1) = P (A) = 1 5 . Kui esimesena kontrollitud kaal on täpne, kontrollitakse järgmist. Kui see osutub ebatäpseks, siis lõpetatakse kaalumine. Kuna esimesena kontrollitud kaalu uuesti ei kontrollita, on tegemist sõltuvate sündmuste korrutamisega, sest iga kaalumisega kontrollitavate kaalude arv väheneb. p 2 = P (X = 2) = P (AA) = P (A)P (A/A) = 4 5 · 1 4 = 1 5 . Selliselt, mõtteliselt katset jätkates, saame p 3 = P (X = 3) = P (AAA) = P (A)P (A/A)P (A/AA) = 4 5 · 3 4 · 1 3 = 1 5 , p 4 = P (X = 4) = P (AAAA) = P (A)P (A/A)P (A/AA) · P (A/AAA) = = 4 5 · 3 4 · 2 3 · 1 2 = 1 5 ,
p 5 = P (X = 5) = P (AAAAA) = ... = 4 5 · 3 4 · 2 3 · 1 2 · 1 = 1 5 , sest P (A/AAAA) = P (K) = 1. Sündmused X = 1, ..., X = 5 moodustavad täieliku süsteemi (kontrolli!). Vormistame kontrollkaalumiste arvu X jaotusseaduse jaotustabelina x i 1 2 3 4 5 p i 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 . □ Kontrollkaalumiste arvul X on diskreetne ühtlane jaotus. 41 8.12. Signaali edastatakse selle kinnipüüdmiseni. Igal edastamisel võidakse signaal kinni püüda tõenäosusega p = 0, 7. Leiame signaali kinnipüüdmiseks vajalike edastamiste arvu jaotusseaduse ja jaotusfunktsiooni. Lahendus. Signaali võidakse kinni püüda mistahes edastamisel. Kinnipüüdmiseks vajalike edastamiste arv on juhuslik suurus X, millel on loenduv hulk võimalikke väärtusi x i ∈ {1, 2, ..., n, ...}. Praktiliselt osutub see hulk lõplikuks. Vaatame katsega (signaalide järjestikune sõltumatu edastamine ja püüdmine kuni signaali vastuvõtmiseni) kaasnevaid võimalusi ja leiame neile vastavad tõenäosused P (X = x i ) = p i . Signaal võetakse vastu esimesel edastamisel: x 1 = 1, P (X = 1) = p. Signaal võetakse vastu teisel edastamisel (esimesel seda kinni ei püütud): x 2 = 2, P (X = 2) = qp, kus q = 1−p on tõenäosus, et signaali ei tabata. Signaal võetakse vastu kolmandal edastamisel (kahel esimesel edastamisel seda ei tabatud): x 3 = 3, P (X = 3) = q · q · p = q 2 p. Kasutades matemaatilise induktsiooni meetodit saame x n = n, P (X = = n) = p q n−1 . □ Tegemist on geomeetrilise jaotusega, sest sündmuste x = 1, x = = 2, ..., x = n, ... tõenäosused p, p q, p q 2 , ..., p q n−1 , ... on geomeetrilise rea liikmed, kusjuures q = 0, 3 < 1. Leiame selle rea summa ∞∑ ∞∑ ∞∑ P (X = x i ) = p q i−1 = p q i = p 1 − q = p p = 1. i=1 i=1 i=0
Page 1 and 2: TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatik
Page 3 and 4: 3 5. Täiendav kirjandus 1. Jõgi A
Page 5 and 6: 6.9. Juhusliku suuruse momendid. Ju
Page 7 and 8: 7 6.20. Juhusliku funktsiooni karak
Page 9 and 10: 7.2. Arvude moodustamiseks saab kas
Page 11 and 12: Signaali tabas üks radar. Leidke t
Page 13 and 14: 13 7.35. Juhusliku suuruse X jaotus
Page 15 and 16: 15 ja x = E(X/y). (J 8.24, T 3.2.3,
Page 17 and 18: 17 = 2, DU = 4, DV = 9 ja cov(U, V
Page 19 and 20: 7.77. Leidke ülesande 7.76. andmet
Page 21 and 22: 21 F (x) ✻ 1 ✛ ✛ 0, 6 ✛ ✛
Page 23 and 24: 23 7.25. 8. 7.26. x k 0 1 2 3 4 p k
Page 25 and 26: 25 f(x) ✻ 1 1 F (x) ✻ −2 −1
Page 27 and 28: 27 f 2 (y) = 2 12 · 1(y) + 20 20
Page 29 and 30: 29 EX = π 8 , EY = 4 π · ln √
Page 31 and 32: 31 7.65. E y (t) = 1, K y (t 1 , t
Page 33 and 34: 7.80. H 0 : EX = EY, t arvutuslik =
Page 35 and 36: 35 y ✻ y = 2x 1 ✁ ❅ ❅❅
Page 37 and 38: 37 Arvestades sündmuste A 1 , A 2
Page 39: 39 Ka pärast ümberhindamist P (H
Page 43 and 44: 43 ühega, saame silmade arvu X jao
Page 45 and 46: Kuna σ = √ DX, leiame dispersioo
Page 47 and 48: kus t ≥ 0 ja parameeter λ - sün
Page 49 and 50: DX = 1 i 2 · 0, 4i2 e 0 (1 + 0, 6e
Page 51 and 52: Lahendus. Mõõdetava suuruse mista
Page 53 and 54: muutumistendentsiga korrelatiivne s
Page 55 and 56: cov(X, Y ) = E(XY )−EX ·EY = ∫
Page 57 and 58: 57 z ✻ B ❆❆ ❆ ❆ ✁ ✁
Page 59 and 60: mis ongi hajuvusellipsite kanoonili
Page 61 and 62: = E1 − 2EX 2 + EX 4 − 4 9 = 1
Page 63 and 64: 63 = cov(X,X) σ X σ X = DX σ 2 X
Page 65 and 66: 65 = ∫ 2 0 u 3 2 du − 16 9 = u4
Page 67 and 68: 67 K y (t 1 , t 2 ) = t 1 t 2 ∫ t
Page 69 and 70: Punkt koordinaatidega (3, 70; 9, 04
Page 71 and 72: Vabaliikme b 0 määrame tingimuses
Page 73 and 74: 73 9. Teadmiste kontroll ja hindami

YMR0070, YMR3720 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?