Odporność na błędy bizantyjskie w systemach peer-to-peer - Instytut ...

106 Dodatek B. Uzgadnianie w asynchronicznym systemie
p ′ = p Rozważmy decydujący przebieg σ nie uwzględniający p z C 0 oraz niech
A = σ(C 0 ). Z lematu 1 wynika, że σ może zaistnieć dla D i oraz prowadzi
do i-określonej konfiguracji E i = σ(D i ),i ∈{0, 1}. Także z lematu
1 wynika, e(A) =E 0 oraz e(e ′ (A)) = E 1 . Co za tym idzie, A jest dwuokreślone,
co nie zgadza się z założeniem. Ostatecznie D musi zawierać
dwuokreśloną konfigurację.
Powyższe rozważania prowadzą do wniosku, że każdy decydujący przebieg
rozpoczynający się dwuokreśloną konfiguracją przechodzi do jednookreślonej
konfiguracji w jakimś kroku. Ten krok determinuje przyszłą wartość decyzyjną.
W całkowicie asynchronicznym protokole uzgadniania gdy jakikolwiek z procesów
jest uszkodzony, można unikać takiego kroku, który powoduje przejście
z dwuokreślonej konfiguracji do jednookreślonej. Używając udowodnionych lematów
można pokazać, że następujące twierdzenie jest prawdziwe.
Twierdzenie 5 Nie istnieje taki protokół asynchronicznego uzgadniania P, który
byłby całkowicie poprawny, gdy chociaż jeden proces działa błędnie.
Dowód. Przebieg, który nie prowadzi do uzgodnienia decyzji (wartości) konstruowany
jest w fazach. Utrzymywana jest kolejka procesów początkowo nieuporządkowana.
Bufor wiadomości uporządkowany jest zgodnie z czasem ich
nadania, w porządku od najstarszej wiadomości do najmłodszej. Każda faza
składa się z pewnej liczby kroków. Faza przebiega począwszy od pierwszego
procesu w kolejce procesów, którego bufor wiadomości nie jest pusty na początku
fazy, odbiera on najstarszą wiadomość i jest ustawiany na koniec kolejki.
W ten sposób, żaden z procesów nie jest zagłodzony, wykonuje wszystkie kroki
i odbiera wszelkie wysłane do niego wiadomości.
Niech C 0 jest dwuokreśloną konfiguracją początkową, której istnienie gwarantuje
lemat 2. Załóżmy, że proces p jest na początku kolejki procesów, a m
jest najstarszą wiadomością wysłaną do p, a w innym przypadku φ. Zdarzenie
e =(p, m) jest ostatnim zdarzeniem przeprowadzającym konfigurację C do C ′ ,
gdzie C ′ jest dwuokreślone co gwarantuje lemat 3. Ta sekwencja kroków zakańcza
fazę.
Każda faza zakańcza się dwuokreśloną konfiguracją, co prowadzi do nieskończonego
przebiegu, gdzie decyzja nigdy nie zostaje podjęta, to pociąga za sobą,
że P nie jest całkowicie poprawne.
Zrozumienie tego dowodu daje świadomość, że nie ma protokołu, który pozwalałby
podjąć decyzję przez grupę procesów, jeżeli któryś z nich nie działa