Odporność na błędy bizantyjskie w systemach peer-to-peer - Instytut ...

98 Dodatek A. Elementy teorii grafów
zbiór krawędzi i wierzchołków {v 1 e 1 v 2 e 2 ...e n v n }, w którym pierwszym elementem
jest wierzchołek v 1 , natomiast końcowym v n . Elementy w zbiorze
nie mogą się powtarzać za wyjątkiem ostatniego i pierwszego elementu. Gdy
v 1 = v n , drogę nazywamy cyklem. Każda krawędź w drodze musi być incydentna
do następujących po sobie wierzchołków.
Definicja. Graf nazywamy spójnym, gdy pomiędzy dwoma dowolnymi wierzchołkami
w grafie istnieje droga.
A.1 Spójność krawędziowa i wierzchołkowa
Pod terminem spójności krawędziowej λ(G) ukrywa się minimalna liczba krawędzi
jaką należy usunąć z grafu, by graf przestał być spójny. Odpowiednio przez
spójność wierzchołkową κ(G) rozumiemy minimalną ilość wierzchołków jaką
należy usunąć z grafu, żeby graf przestał być spójny. Operacja usunięcia wierzchołka
pociąga za sobą usunięcie wszystkich krawędzi incydentnych do tego
wierzchołka. Łatwo zauważyć, że istnieje związek między spójnością wierzchołkową,
a krawędziową κ(G) ≤ λ(G). Jednocześnie spójność krawędziowa
nie może przekroczyć λ(G) ≤ ⌊ ⌋
2e
n .
Liczba dróg rozłącznych krawędziowo i wierzchołkowo związana jest ze spójnością
krawędziową grafu. Gdy rozpatrujemy liczbę dróg z wierzchołka u do v
to możemy łatwo znaleźć oszacowania górne na tą wartość. Oznaczając przez
d(u) stopień wierzchołka u oraz d(v) stopień wierzchołka v, oszacowanie górne
liczby dróg z wierzchołka u do v jest równe min{d(v),d(u)}
A.2 Różne typy grafów
Ustrukturalizowane i nieustrukturalizowane systemy peer-to-peer organizują samoczynnie
komunikację między węzłami sieci. Skalowalność obecnie stosowanych
systemów jest wynikiem doświadczeń oraz prób i błędów z rzeczywistymi,
testowymi implementacjami. Dopiero od niedawna zaczęto budować sieci peerto-peer
używając takich strukturach grafowych, które zapewniają lepszą wydajność.
Postanowiłem przedstawić w kilku punktach najczęściej spotykane lub
zalecane struktury grafowe w systemach peer-to-peer. Szczególnie obiecujące
wydają się być grafy de Bruijn’a [LKRG03]. Grafy de Bruijn’a zostały zastosowane
do konstrukcji sieci Koorde [KK03].