âMatematika 9â - Albas

HYRJELibri për mësuesin Matematika 9 është hartuar si udhëzues për të zhvilluar orëtmësimore, me qëllim që të zbërthehen sa më qartë objektivat mësimorë dhe tëndihmohen nxënësit të zotërojnë aftësitë matematikore të domosdoshme për nivelete mëtejshme të shkollimit.Në këtë udhëzues mësuesit do të gjejnë për çdo kapitull objektivat e arritjeve(OA).Meqenëse temat në tekstin e nxënësit Matematika 9 janë hartuar duke u paraprirënga objektivat e programit, këtu mësuesi/ja do të gjejë objektivat specifikë që renditenduke ndjekur të parat. Matematika 9 i është përmbajtur me korrektësi programit,prandaj mësuesit në hartimin e objektivave duhet të mbështeten te teksti. Kujdes tëbëhet me ushtrimet e vështira!Për të qenë më pak teorik, krahas planit mësimor, i ndërtuar sipas modelit të ri, dotë gjeni për çdo temë tri nivelet e objektivave dhe materialin e përzgjedhur, që duhetnë çdo orë mësimi për realizimin e këtyre objektivave. Mbështetur në udhëzimin eQendrës së Trajnimit dhe Kualifikimit për Arsimin (Grupi qendror për formulimin eobjektivave të kapitujve), në hartimin e objektivave janë përdorur tri nivele: I. Bazë,II. Mesatar, III. I Lartë.Në këtë udhëzues, i cili nuk merr përsipër të jetë ditar i mirëfilltë, do të gjeni shumëmateriale që përdoren sot në ditar, si metoda mësimdhënieje (që mbeten në kuadër tërekomandimeve), ashtu edhe mjete ndihmëse. Te këto të fundit, nëse ato përgatitenme kujdes mund të shkëputim plot të tilla për pasurimin e kabinetit të matematikës.Materiali i ndërtuar si udhëzues për çdo temë, ku shpesh theksohet: kujdes, “kjo duhettheksuar”, tema mund të ndahet në dy pjesë etj. Te temat ku është parashikuar testido të gjeni skemën e qortimit, pra do të gjeni vlerësimin e nxënësve hap pas hapi nëçdo ushtrim të testit. Ditari mund të bëhet sipas strukturës mësimore ERR (Evokimi,Realizimi i kuptimit dhe Reflektimi), ose siç quhet ndryshe PNP, (Punë përgatitore,Ndërtimi i njohurive dhe Përforcimi).Në këtë libër mësuesi janë planifikuar 130 orë mësimi, të cilat mund të realizohensipas kësaj renditjeje. Plani sintetik dhe analitik që është dërguar me tekstin nëshkolla, duhet të pasurohet me objektivat specifikë për çdo orë mësimi. Që të jeni mëtë suksesshëm me nxënësit, është mirë të ndiqen me kujdes këto udhëzime.

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”




Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”10

KREU IKUPTIMI I NUMRITMësimi 1.1Tema: Numrat natyrorë, veprimet me toObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë veprimet me numrat natyrorë. Të formulojë vetitë e veprimeveme numrat natyrorë. Të formulojë kuptimin e numrave të thjeshtë.II. Të ilustrojë në boshtin numerik vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë.Të gjejë PMP-në (SHVP-në) e dy numrave duke u mbështetur te rregullapraktike.III. Të vërtetojë duke i ilustruar në boshtin numerik vetitë e mbledhjes. Të gjejëPMP-në (SHVP-në) për më shumë se dy numra duke u mbështetur te përkufizimi.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Metoda që rekomandohet:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesi grafik.3. Punë individuale.Mjetet ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.Zhvillimi i temës së re:1. Shkruani një numër natyror.Shkruani tre numra natyrorë të njëpasnjëshëm. Këtu mësuesi të tregohet ikujdesshëm, sepse nxënësi mund të gabojë, ai mund të shkruajë p.sh.: 3, 5, 8.Mësuesi/ja do të kërkojë numra të tillë, si: 3, 4, 5. Këtu ai/ajo kontrollon nxënësit sipunojnë.- Pse themi se numrat 3, 4, 5 janë të njëpasnjëshëm?Nxënësit përgjigjen: sepse 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1.Mund të ndodhë që nxënësi të shprehet: Sepse 4 është më e madhe se 3 dhe 5më e madhe se 4.U kërkohet nxënësve të paraqitin në boshtin numerik këta numra.2. Veprimet me numrat natyrorë.Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:Shprehni numrin 5 si shumë e dy numrave:5 = 4 + 1, ose 5 = 3 + 2Ndaluni te 5 = 2 + 3.Dimë se 3 = 1 + 1 + 1, prandaj themi se 5 = 2 + 1 + 1 + 1Mësuesi/ja mund të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e shumës së numrit 2me numrin 3.Nëse nxënësit nuk arrijnë të shprehen saktë ndërhyn mësuesi/ja:Shuma e numrit 2 me 3 është numri që fitohet nga numri 2, duke shtuar në mënyrëtë njëpasnjëshme 3 njësi. Kërko ilustrimin në boshtin numerik. Nxënësit shohinpërkufizimin në tekst.11

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 1.3Tema: Numrat irracionalë. Bashkësia e numrave realëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e numrave irracionalë. Të shkruajë të paktën dynumra irracionalë.Të tregojë lidhjen ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R, duke përdorur kuptimine nënbashkësisë.II. Të paraqesë në boshtin numerik të paktën dy numra irracionalë.III. Të vërtetojë se ekzistojnë numrat irracionalë (të paktën në dy raste).Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Diagrami i Venit.3. Ilustruesi grafik.4. Puna individuale.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Kompas.4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:- Pse themi se = ; 0, 16 = 0, ?Gjeni ; .- A mund të themi se 3 = 1, ? Po 3 = 1, ?Këtu është e rëndësishme që mësuesi/ja të tregojë se ,1, 7 < 3 < 1,sepse ( 1, 7)< dhe ( 1, 8)> për të njëjtat arsye.1, 7 < < 1,71, < 3 < 1,1, 7320 < 3 < 1,7321Mësuesi/ja duhet të theksojë përfundimin se është një numër që nukmund të paraqitet në formën e një thyese m (thyesë e pathjeshtueshme).nKujdes! Te faqja 16 korrigjo n = 3l, rreshti i dytë dhe i tretë.Më pas kalohet te përkufizimi 1:Bashkësinë e numrave irracionalë do ta shënojmë me I.Çdo numër që nuk paraqitet në formën e një thyese, m n ku m ∈Z,n ∈Nquhet numër irracional (joracional).Bashkësia e numrave realë quhet bashkësia R = Q U IMësuesi/ja duhet të kërkojë nga nxënësit:- Cilat nga pohimet janë të sakta?N ⊂ Q, Z ⊂ N, Z ⊂ R, Q ⊂ I, Q ∩ I = ϕ,I ⊂ R14

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Skematikisht kjo veti paraqitet me diagramin e Venit.NëseA ⊂ B dhe B ⊂ C ⇒ A ⊂ CA B CNë këtë moment mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:- Çfarë do të thotë për ju shënimi: R = { X / X ∈ Q ose X ∈ I}(kujto bashkësinë e numrave realë)A = {x ∈ N / x < }A = { x ∈R / − < x ≤ }Paraqite në boshtin numerik.BIx 0II2II IPër më tepër vazhdo si te teksti i nxënësit.Mësuesi/ja duhet të theksojë rubrikat Kujdes, që janë te teksti dhe për çdo haptë ftojë nxënësit në paraqitjen e shembujve. Rikujtohet se rubrika Mbaj mendduhet parë me vëmendje në çdo orë mësimi.Pas kësaj kalohet në punë të pavarur.Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të shkruajnë në formën:A = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} dhe të paraqesin në boshtin numerik bashkësitë:]-3; -1[, [0; 5], ]-11; 3[Shkruani në formën e intervaleve (segmenteve) numerike bashkësitë:A = {x ∈ R / - ≤ x ≤ 5} B = {x ∈ R / - < x < 2}C = {x ∈ R / -30 < x < 32}!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 4, faqe 18.Për nxënësit e nivelit të lartë: Vërtetoni nëse A ⊂ B dhe B ⊂ A ,atëherë A = B.Mësimi 1.5Tema: Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësitë plotësueseObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë prerjen (bashkimin) e dy bashkësive duke i paraqitur me anë tëndryshorit. Të formulojë vetitë.II. Të gjejë prerjen e dy bashkësive të dhëna. Të gjejë bashkimin e dy bashkësive tëdhëna. Të paraqesë në boshtin numerik prerjen (bashkimin) e dy intervaleve numerike.Të gjejë plotësin e një bashkësie në lidhje me një bashkësi të dhënë.III. Të vërtetojë vetitë e prerjes dhe bashkimit të bashkësive. Të vërtetojë të paktënnjërën veti të bashkësive plotësuese.16

Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.4. Tabela që tregojnë prerjen, bashkimindhe plotësin e bashkësive (me ngjyra).AABBAMetodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesit grafikë.3. Diagrami i Venit.4. Punë individuale.BA B AZhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në tabelë shkruan dy bashkësi numerike:P.sh.: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}Kërkohen nga nxënësi elementet e përbashkëta të A-së dhe B-së.Po t’i paraqitim me diagramin e Venit, vihet në dukje seAEELibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”12xxxxx3 54 x6 ∈A dhe ∈Bdhe ∈A e . ∈BKëtu jepet përkufizimi i prerjes së dy bashkësive.Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të gjejnë prerjen në dy rastet e tjera.P.sh.:Gjeni A ∩ B , nëse A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {3, 4, 5, 7, 8} dhe B ∩ C nëseC = {4, 5, 9, 10}.Në këtë moment mësuesi/ja përmend vetitë e prerjes:1. A ∩ ϕ 2. A ∩ A = A 3. A ∩ B = B ∩ A të cilat janë rrjedhime të përkufizimit.Mësuesi/ja shtron këto pyetje për nxënësit:Te bashkësitë A = {1, 2, 3, 4} dhe B = {3, 4, 5, 6, 7}.- Cilat elemente të A-së nuk janë në B?- Cilat elemente të B-së nuk janë në A?Shënoni me D bashkësinë D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.- Çfarë mund të thoni për D-në?Kujdes! Shumë nxënës përgjigjen: “Bashkësia D ka elementet e bashkësisëA dhe të bashkësisë B”, kjo përgjigje nuk është e saktë, sepse lidhëza “dhe”është përdorur te kuptimi i prerjes së bashkësive.Përgjigjja e saktë është: “Bashkësia D ka për elemente ato që janë nëbashkësinë A ose në bashkësinë B”.Mësuesi/ja duhet të ndërhyjë në rastin kur nxënësit nuk shprehen saktë.17

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Pas formimit të përkufizimit mësuesi/ja kalon në shembuj dhe në formimine vetive:1. A ∪ ϕ = A 2. A ∪ A = A 3. A ∪ B = B ∪ APunë e pavarur.Jepet A = ] − ; ] , B = ] − ∞; ]Gjeni A ∪ B dhe A ∩ BZgjidhje:A-oo BA Bx’ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7xA BAI∩ B = ] ; ]A ∪ B = ] − ∞; ]Mësuesi/ja në tabelë shkruan bashkësitë: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dheA = {1, 2, 3, 4} pyet nxënësit.- Cilat elemente të E-së nuk janë në A?Shënoni në B elementet e sipërpërmendura.Mësuesi/ja duhet të theksojë për nxënësit se vetëm kur bashkësia A ⊂ E mundtë flasim për plotës të A-së në lidhje me E-në. Shënohet ⊂ A E(dhe jo ⊂ E A).Ilustrohet me diagramin e Venit.II II II IIIAAEKëtu jepet përkufizimi.Më pas, punohet me vetitë duke vërtetuar njërën prej tyre.AP.sh.: A ∪ ⊂E= E (kujdes A ⊂ E ).AVërtetim: 1. E zëmëse, x ∈A ∪ ⊂E⇒ x ∈AAose x ∈⊂E⇒ ( x ∈A ose x ∈E / x ∉ A)⇒ x ∈E2. E zëmë se x ∈ E (meqenëse A ⊂ E ) ⇒ ( x ∈A ose x ∉ A),AAose x ∈⊂E⇒ x ∈ A ∪ ⊂EAKëto vërtetime tregojnë se A ∪ ⊂E= E!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b (d/h për nxënës të nivelit të lartë), 2 dhe 3.18

Mësimi 1.6Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të gjejë PMP-në dhe SHVP-në e dy numrave njëshifrorë. Të tregojë lidhjenndërmjet bashkësive N, Z, Q, R.II. Të gjejë PMP-në për dy numra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë SHVP-në për dynumra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë bashkimin (prerjen) e bashkësive.III. Të gjejë numrin e elementeve të bashkimit të dy bashkësive.Të provojë formulën SHVP (m, n) • PMP (m, n) = m • n duke diskutuarme shembuj.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela për gjetjen e PMP-së nëmënyrë skematike.(P.sh.: PMP (192; 80)).Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustrues me tabela.3. Punë individuale.4. Punë në grup.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Herësi 2 2 2Veprimi 192 : 80 : 32: 16160 64 32Mbetja 32 16 0PMP (192 ; 80) = 16Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Kujtoni përkufizimin e PMP (SHVP) të dynumrave: m; n.Gjeni PMP (4; 6), SHVP (4; 6).Gjeni PMP (54; 162) duke zbatuar skemën e paraqitur te tabela.Gjeni PMP (25; 30; 60) (Shënim: në fillim gjeni PMP (25; 30).Gjeni SHVP (54; 162) dhe provoni se PMP (54; 162) • SHVP (54; 162) =54 • 162 ⇒ SHVP (54; 162) = • 162PMP ( ; 162)m • nNdërhyn mësuesi/ja duke theksuar se: ShVP ( m; n)= (1)PMP( m; n)Gjeni SHVP (144; 216) duke përdorur rregullimin e tabelës dhe formulën (1).Mësuesi/ja në tabelë të zezë shkruan bashkësitë:A = {1, 4, 5, 6, 8, 11, 12}; B = {2, 4, 8, 10}; C = {1, 4, 8, 11}19

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:Gjeni: A ∩ B; B ∩ C; ( A ∩ B) ∩ C, A ∩ ( B ∩ C)Krahasoni: ( A ∩ B) ∩ C me A ∩ ( B ∩ C)Gjeni: A ∪ B; B ∪ C; ( A ∪ B) ∪ C, A ∪ ( B ∪ C)Krahasoni: ( A ∪ B) ∪ C me A ∪ ( B ∪ C)Nga A ∩ B dhe A ∪ B tregoni se:n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)(2)Duke zbatuar formulën (2) gjeni n( B ∪ C).Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të punojnë ushtrimin 6.- Si do tì ktheni në numra dhjetorë thyesat: ; ?Ktheni në thyesa 0,53 dhe 0,5 . !Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1b/c, 4, 7/3, 8/3.Mësimi 1.7Tema: Fuqitë me eksponent racional. Lidhja e fuqive me rrënjët. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë përkufizimin e rrënjës aritmetike me tregues n ∈N, n ≥ Të shkruajë përkufizimin e fuqisë me eksponent racional.II. Të shkruajë vetitë e fuqive me eksponent racional, duke zbatuar vetitëe rrënjëve.Të shkruajë një rrënjë në formën e fuqisë, në të paktën dy raste. (P.sh.: ;a − 1 etj.)cIII. Të vërtetojë të paktën dy nga vetitë e fuqive. Të shkruajë si fuqi rrënjët e tilla,si: a b dhe anasjellas.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela në të cilat janë shkruar formula(p.sh.:m / n n ma = a etj.)Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrues me tabela.3. Punë individuale.20Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: a. Gjeni: = ; = ; 0, 1 =Kujdes! Kujtoni përkufizimin e rrënjës katrore. Duhet të kujdeseni që ajo të jetënumër pozitiv (marrëveshja) dhe se ekziston vetëm për numra jonegativë.b. A mund të themi se: = , sepse 2 3 = 8x = 16 ⇔ x = ± d.m.th. 16 = , sepse 2 4 = 16. Gjeni ⋅ dhe krahasoni me ⋅

Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të shkruajnë vetinë që rrjedh nga shembullii mësipërm.Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:- Pse 16 = (sepse 2 4 = 16), d.m.th. 16 = = ose Kështu: = = .12 - A mund të shkruajmë se 12 = = = ? - Po = = = ?Vini re me kujdes!Këtu shkruani përkufizimin mbi fuqinë me eksponent racional.Pas shembujve kalohet te vetitë. Këtu u jepet nxënësve punë e pavarur,punoni ushtrimet 1 dhe 2 pas rubrikës Mbaj mend.!12 = • • = • • = • • = = Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/c, 2/b, faqe 24.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 1.8Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë rrënjët si fuqi me eksponent racional. Të shkruajë fuqitë si rrënjë.II. Të tregojë zgjidhjet e ekuacioneve të fuqisë më të lartë se e para të formës,1si p.sh.: x = − x 4 = 256III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë, si p.sh.:10 x ; ( −a )10 . Të shkruajërrënjët me të njëjtin tregues. Të thjeshtojë shprehje më rrënjë. Të shkruajërrënjët si fuqi, p.sh.a .Të krahasojë rrënjët p.sh.: me Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula ose model ushtrimii shkurtër.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesi me tabela.3. Punë individuale.P.sh. am / nn m= a etj.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto ekuacione:1 1x 2 = 4; x = ; x = − ; x16 16 = -10; x 5 = -32; x 2 = -0,16; x =21

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësuesi/ja pyet klasën:- Cilat nga ekuacionet nuk kanë zgjidhje? Pse?Gjeni zgjidhjet e ekuacioneve që kanë një të tillë.Zbuloni veprimin që është kryer te shndërrimi:10• 10 • x = x = x = x = xThjeshtoni shprehjen: a , ( b) , ( −a)Jepen 10Shkruani:1, 1•315dhe 71 .15 • 15 = = = = 11•5 • 15 15 = = = = Kështu marrim15 ; 15 15dhe 71 ose1515 15; ; 71 .- Cila nga këto është më e madhe?Renditini nga më e madhja deri te më e vogla.Punë e pavarur:Mësuesi/ja jep këto ushtrime:1. Thjeshtoni: 16!;( ) ; ( − x )y . 2. Krahasoni: me ; me 16 ; me ;3. Shkruani më thjesht: a .Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/c, 4/c, 5 b/c, 6/a, faqe 25.22

Skema e qortimit të Testit (faqe 26)Ushtrimi 1:Nxënësi, nëse qarkon 1/d, fiton.Nëse qarkon 2/a, fiton.(1 pikë)(1 pikë)Ushtrimi 2:Nxënësi, nëse paraqet boshtin numerik, fiton.(1 pikë)Nxënësi fiton pikën e dytë nëse paraqet në boshtin numerik numrin 5.Nxënësi fiton pikën e tretë (+1) nëse nga ndarja 5 shton tre (3) ndarje të tjera.+3(5+3=8)x 1I0 5Shënim: Nëse një nxënës paraqet direkt figurën, fiton.IIIIIx 10I II IIIII88II II IIIxx(2 pikë)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Nxënësi fiton pikën e katërt nëse nga ndarja 5 zbret tri ndarje.-3x 10I2I5IxUshtrimi 3:Nëse qarkon 2 numra të thjeshtë, fiton.Nxënësi për çdo çift numrash të qarkuar fiton.(1 pikë)(1 pikë)Ushtrimi 4:a. Nëse nxënësi gjen faktorët e thjeshtë të numrit, fiton (1 pikë)p.sh.: 128 ka vetëm 1 faktorë.Nëse shkruajnë numrin si prodhim faktorësh të thjeshtë, fiton (1 pikë)p.sh.: 128 = 2 7 .b. Nëse gjejnë PMP-në për dy numra, fitojnë. (1 pikë). Nëse gjejnë PMP-në për tre numra i jepen. (1 pikë). Nëse gjejnë PMP-në për tre numrat njëherësh. (2 pikë)Njëlloj veprohet edhe për SHVP-në.Ushtrime 5/a. Shkrimi i numrit periodik (p.sh. , = 2,2222..) 10 ,= 22.222.. (1 pikë)Shkrimi i numrit në thyesë ( , = 20/9) (1 pikë)b. Njëlloj veprohet edhe për numrin 1, 0 .23

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Ushtrimi 6:Qarkimi i alternativës së saktë R = I ∪ Q(1 pikë)Ushtrimi 7:a. Shkrimi i [ − 7; 1, ] = { x ∈R / − ≤ x ≤ 1, 5}(1 pikë)Paraqitja në bosht.(1 pikë)x 1-7II II III0 1,5Kjo për secilën bashkësi.b. 1. Paraqitja e bashkësive A, B, C në boshtin numerik si më lart jepetpër secilën.(1 pikë)Shkrimi A ∩ B ; A ∪ B ; B ∩ C ; A ∩ C jepet për secilën. (1 pikë)2. Paraqitja në bosht e secilës. (1 pikë)IIxUshtrimi 9:Shkrimi i secilës fuqi si rrënjë.Llogaritja e rezultatit për secilën.⎛ ⎞ P.sh.⎝⎜⎠⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ (1 pikë)(1 pikë)(1 pikë) ⎛ ⎞ ⎝⎜⎠⎟ = ⎛ ⎞⎝ ⎜ ⎟ = ⎛⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ = (1 pikë)b. Shkrimi i saktë i secilës rrënjë si fuqi. (2 pikë)Nëse nxënësi në ndonjë rast shkruan diçka ndërmjetëse, por jo rezultatin.P.sh. • a = • a = • a11do të vlerësohet për çdo rast me 1 pikë.Shënim: Tek ushtrimi 6 alternativa e saktë është c) R = I ∪ Q (joR ⊄ I ∪ Q ).Tek ushtrimi 7/a duhet shënuar ⎡⎣− ; ⎤⎦që mungon.Tek ushtrimi 7/b bashkësitë të shënohen:A = { x ∈R / − < x ≤ } , B = { x ∈R / − ∞ < x ≤ 1, 5}C = { x ∈R / x ≥ − }(dhe jo si në tekst)24Kreu IIVEPRIMET ME NUMRAT REALËMësimi 2.1Tema: Mbledhja dhe zbritja e numrave realë. RregullatKujtesë për mësuesin/en! Dihet se nxënësi i di rregullat e mbledhjes dhe tëveprimeve të tjera të numrave realë nga klasat e mëparshme. Qëllimi i këtyre temaveështë që të përafrohet perceptimi i nxënësit, mbi veprimet me numrat realë, metrajtimin e tyre shkencor-matematik. Prandaj, në këto tema është e rëndësishme qëmësuesi/ja të këmbëngulë në zbatimin e vetive dhe rregullave, duke i evidentuar nëçdo hap të shndërrimeve që kryen gjatë veprimeve me numrat realë.

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Nxënësit përmendin vetitë e mbledhjes, në rast të kundërt duhet që mësuesi/jatì shkruajë saktësisht në tabelë dhe për çdo veti të sjellë shembuj.Kujdes! Është e domosdoshme të kërkojë që nxënësit të përsëritin rregullëne mbledhjes së dy numrave realë.Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Gjeni shumat duke evidentuar vetitë (rregullën):1. -10,2 – 17,6 =2. +21,2 + 32,3 – 20,15 =3.Mësuesi/ja së bashku me nxënësit zgjidh problemën 3, faqe 28.Zgjidhja: 103 + (9 – 15) + (27 – 13) + (8 – 53) =103 – 6 + 14 – 45 = [(103 – 6) + 14] – 45 == (97 + 14) – 45= 111 – 45= 66! , − ⎛ − 1 − 0, 5 + ⎡ − 1 + ⎛ − 0, 1 ⎞⎝⎜⎠⎟ + , ⎤⎢⎥⎝⎜⎣⎦− 0,8 + 1 ⎞⎠⎟Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2 b/c.Mësimi 2.2Tema: Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave realëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë përkufizimin e prodhimit (herësit) të dy numrave realë. Të formulojëvetitë e shumëzimit (pjesëtimit).II. Të formulojë rregullat e shumëzimit (pjesëtimit) të numrave realë. Të thjeshtojëshprehje me veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit.III. Të thjeshtojë shprehje me katër veprimet. Të vërtetojë të paktën njërën veti.26Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula(P.sh. 1.) m p m • p• =n q n • q2.)m p m • q m • q: = =n q n • p n • pZhvillimi i temës së re:Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabela.3. Punë individuale.4. Punë grupi.Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto shprehje aritmetike:2 + 2; + 2 + 2; + + + ;- Si mund t’i shkruani ndryshe këto shprehje? (2 + 2 = 2 2, 2 + 2 + 2 = 3 2,+ + + = • )

P.sh.:aa • b = a • b=bn n n nnmm nn na = a a = a për n-çiftZhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në fillim tregon tabelat dhe kërkon nga nxënësit të gjejnë:1. • ; • ; 16 • 81 12 182. • ; • • 10 ; −3.16 ; 125;Kujdes! - A zbatohen vetitë te: −( − ) ;nnab−16− ?( ) • ( −1)ax15.10Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësuesi/ja shkruan në tabelë: ; ; ( −)- A mund tì shkruani rezultatet e tyre?Vini re nga tabela kemiDuke u mbështetur nga sa thamë gjeni:( −) ;( x − ) ;( 1−2)nnn na = a për çift dhe a = a për n tek .( 1−3).( − );( − )( − )Mësuesi/ja shkruan në tabelë: ; ; 50 .- A mund të thjeshtohen këto rrënjë?Vini re: = 16 • 2 = 1 • = Njëlloj tregohet se: = ; 50 = ;Rrënjët ; ; quhen rrënjë të ngjashme.- A mund të përkufizoni rrënjët e ngjashme?Mësuesi/ja jep këtë shprehje: 1 50 1 dhe kërkonthjeshtimin.a. Në fillim nxirret faktori para rrënjëve: = • = • = = 16 • 2 = 1 • = 50 = • = • = = • = • = 29

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”b. Kështu shkruajnë:1 50 1 1 1− − + = − − + • = − − + = − Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Thjeshtoni shprehjen:1. 0 − 4 + 18 + − 02. 1 !− 0,5 + + Detyrë shtëpie. Ushtrimi 3, pika 1, 3/b faqe 33; ushtrimet 2 dhe 3,pika 3 në faqen 34, 3/a, faqe 36; 6/a, faqe 37.Mësimi 2.5Tema: Veprimet me rrënjëtObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të rikujtojë përkufizimin e shprehjeve të konjuguara të njëra-tjetrës. Të zhdukërrënjën nga emëruesi i një thyese, duke zbatuar shumëzimin e drejtpërdrejtë(si p.sh.: 1 1•2 =).= • II. Të zhdukë rrënjën nga emëruesi i një thyese duke zbatuar shumëzimin me tëkonjuguarën (si p.sh.: 12 1 2 1 2 12 1 2 − 1= ++ + )== = +( 2 − 1)( 2 − 1) ( 2)− 1 2 − 1III. Të thjeshtojë shprehje me thyesa, me rrënjë në emëruesit e tyre, duke zbatuarnë mënyrë të kombinuar: 1. shumëzimin e drejtpërdrejtë; 2. shumëzimin me tëkonjuguarën; 3. kthimin e thyesave në emërues të përbashkët.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula:Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabela.3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).n nP. sh. 1.a = a per a ≥ 02. a − b a b a b a b ( per a 0, b 0).( ) +()• + a b a a b b a b a bn n. a b =na b etj.( ) = ( ) − ( ) = − ≥ ≥( ) = ( ) ( ) =30

Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë shprehjet: ; dhe kërkon nga nxënësit të shkruhen më thjeshtë. • • Kujdes! Do të ketë nxënës që do të shkruajnë: 1 ; 1 ;== • • Ky shtjellim nuk është i gabuar, por veprohet duke larguar rrënjënnga emëruesi.⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ = = =⎝ • • ⎟ ⎜ = = = ⎟⎠ ⎝ • • ⎠Punë e pavarur. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës: ; ; a . a a − Mësuesi/ja në tabelë shkruan shprehjet: 1.( )( + ); 2. ( − ) ( + • + )Kërkon nga nxënësit që të thjeshtojnë duke zbatuar formulat në tabela(shih mjetet ndihmëse).Së bashku me nxënësit mësuesi/ja zhduk rrënjën nga emëruesi i thyesës: ; a − ; a − 1 ; − a + a − 1Kujdes! Që vlera a > 0 ose një fuqi e saj të nxirret nga rrënja me tregues n,duhet që a-ja të jetë baza e fuqisë me tregues shumëfish i n, d.m.th.n k • na = aP.sh.: a= a etj.Mësuesi/ja u jep nxënësve punë të pavarur.Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës:10 ; x − ; a − b ; a − . x − a + ba − !Detyrë shtëpie. Ushtrimi 7 a/b/c, faqe 37.kLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 2.6Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të llogaritë prodhimin e rrënjëve (herësin) duke zbatuar vetitë.Të nxjerrë faktorin para rrënjës.II. Të shprehë vlerat e lejuara të shkronjës në një shprehje me rrënjë.Të futë faktorin para rrënjës, brenda shenjës së saj.III. Të thjeshtojë shprehje që kombinohen me zhdukjen e rrënjëve nga emëruesii thyesave.31

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabelat me formula (shiko mësimet 2, 3, 4, 5),ku mund të shtohen formulat e rëndësishme,si: a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë: a. Gjeni: • ; a • a (a ≥ 0); x − 1 • x − 1 ;(x ≥ 1); 13 − 12 ;100 − Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë e pavarur.b. Në cilin rast janë të vërteta barazimet: x = x ; ( x − )= x − ( − b)= − b;c. Pse themi se nuk ka kuptim: − ; − ; (kujto përkufizimin)Mësuesi/ja shkruan në tabelë:x − 1 ; − x ; − xKërkon nga nxënësit që të gjejnë vlerat e lejuara të shkronjës x.Kujdes! Shumë nxënës mund të mos e kuptojnë pyetjen. Në këtë rastndërhyn mësuesi/ja:Le të merret x − 1 dhe vlerën e x = 2.- Çfarë do të ketë? ( 2 − 1 = 1 = 1). Thuhet se x = 2 është vlerë e lejuar.Vini re: x – 1 = 2 – 1 = 1 > 0Për shprehjen x − 1 dhe x = -1 do të kemi −1− 1 = − nuk ka kuptim.Themi se x = -1 është vlerë e palejuar. Vini re: x – 1 = -1 – 1 = -2 < 0.Përfundimisht nëse x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥1janë vlera të lejuara.Pas këtij përfundimi punohen me nxënësit rastet e tjera.Punë e udhëhequr. Nxirret faktori nga rrënja: ; ; xP.sh.: x = • = ( x) = ( x) • x = ( x)= x x32Futni faktorin brenda rrënjës: ; ; a aP.sh.: a a a a a aa= • = =Punë e udhëhequr.Nxënësit theshtojnë shprehjen:aa −−ba +=ba( a + b) − b( a − b)=a − b a bb( )( + )( )a + a • b − b • a + ( b)= =( a) − ( b)a + a • b − a • b + b=a − b

Për punë të pavarur jepet ushtrimi 8/a.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/c, 4/b në faqen 36; si dhe ushtrimet 7/c,. 8/c,në faqen 37.Mësimi 2.7Tema: Veprime të kombinuara të fuqiveObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë si rrënjë fuqitë me eksponent racional. Të shumëzojë (pjesëtojë)fuqi me baza të njëjta.II. Të shkruajë si fuqi rrënjë të ndryshme. Të thjeshtojë shprehje me fuqi.III. Të zgjidhë ekuacione të kombinuara (me ndryshore me eksponent të fuqive,me tregues të rrënjës).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:Metodat që rekomandohen:1. Teksti Matematika 9.1. Punë e udhëhequr.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula, si p.sh.: A = { x ∈R / − < x 2. ≤ Ilustrim }me tabela.3. Punë e pavarur.dhe vetitë e fuqive (rrënjëve) shikotemat përkatëse.Zhvillimi i temës së re:m−nMësuesi/ja u rikujton nxënësve formulënpër a ≥ 0 dhe a = 1 n m na = an .1 1 aKëtu kërkon të shkruhen si rrënjë fuqitë: ; 125 ; dhe të gjenden ato.Më pas mësuesi/ja shtron para nxënësve pyetjen:1- A mund të shkruhet si rrënjë ? (shiko Matematikën 9, faqe 38).−Njëlloj shkruani si rrënjë: 16 ; 100, 5 ; 0,3Shkruani si fuqi me bazë 3.3, 9, 1 1 ; ; 1 1 + ; ; P.sh.: • = • = = Më pas për punë të pavarur mësuesi/ja jep: Gjeni A • B nëse: −( • ) ;⎡ ( • )⎤A =B = − ( • )⎢ ⎥⎣( • )⎦1Zgjidhni ekuacionet: 2 x = 8; x = ; 3 x = 11Kujdes! Për të zgjidhur ekuacionin x = , në fillim duhet që 1 të shkruhet sifuqi me bazë 2.Domethënë 1 1 = = − x −, kështu = = ⇒ x = − . Njëlloj veprohet edhe me ushtrimet e tjera.33

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësuesi/ja jep për punë të pavarur.1. Shkruani si rrënjë: • ;!⎛ ⎞⎝⎜16⎠⎟1−2. Zgjidhni: (2 x – 1)(2 x – 8) = 0;− = Mësimi 2.8Tema: Makina llogaritëse. Tasti x y;x 2 −0,Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 3/b, 4/b, 5/b.Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të llogaritë me makinë llogaritëse x y , kur x dhe y janë numra të plotë pozitivë.II. Të llogaritë x y me makinë llogaritëse në rastet kur x e y janë thyesa pozitive.III. Të llogaritë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehjeje aritmetike, dukepërdorur me mënyrë të kombinuar tastet x y ; M + ; M - ; RM .Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Tabela në të cilën është shënuar mënyra se si bëhet llogaritja e njëshprehjeje me makinë llogaritëse, duke përdorur x y të kombinuar me tastete tjera (shiko shembullin, faqe 40).3. Makinë llogaritëse që ka tastin x y .Metodat që rekomandohen:1. Praktikë e udhëhequr (me makinë llogaritëse).2. Ilustrim me tabela (shih mjetet ndihmëse).3. Praktikë e pavarur.Zhvillimi i temës së re:Në fillim mësuesi/ja kërkon që nxënësit të llogaritin me makinë 2 3 ; 3 3 dhe njëritë komentojë veprimet që kreu.1 1 1Pas kësaj u drejtohet nxënësve. Provoni të llogaritni ; ; . Tregoni sibëhet llogaritja, kujdes,këtu do të merrni këto përgjigje:11. Shkruaj ,pastaj shtyp dhe në ekran marrim rezultatin për , sepse1 = .2. Shkruaj ,pastaj shtyp x y , më pas 0, dhe në fund shtyp = .Nëse nxënësit nuk shprehen për pikën 2, është e domosdoshme qëmësuesi/ja ta shpjegojë.Pas kësaj mësuesi/ja (nëse nga nxënësi nuk ka përgjigje) shpjegon hap pas1hapi si llogaritet ; 1 2 0 ,,3 (shih Matematika 9, faqe 40).34

Më pas mësuesi/ja jep si punë të pavarur.Llogarit: 1. − , + ; 2. ⎛ ⎞1⎝⎜⎠⎟ + ⎛ ,⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ − ,Në fund të jepen 1- 2 shprehje si detyrë shtëpie ku nxënësi të shkruajë hapat ellogaritjes me makinë (shiko shembullin, faqe 40).Test (skema e qortimit)Ushtrimi 1:Qarkimi i alternativës C.(1 pikë)Ushtrimi 2:Paraqitja e = + 1 = 2 + 1 . (1 pikë)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Ndërtimi i figurës.B(1 pikë)x 10 A 2CxSqarimet OA = 2 njësi, AB = 1 njësi, OAB trekëndësh kënddrejtë.Nga teorema e Pitagorës OB = .Ndërtojmë OC = OB.(1 pikë)Ushtrimi 3:Qarkimi i alternativës b(1 pikë)Ushtrimi 4/a:Shkrimi i numrave dhjetorë në thyesa.(1 pikë)Kryerja e veprimeve brenda kllapave ( ).(1 pikë)Shkrimi i rezultatit të saktë.(1 pikë)b. Njëlloj, si: a).Ushtrimi 5 a/b:Shkrimi i rezultatit të saktë.(1 pikë)c. Zbatimi i vetisë për rrënjën e herësit ose zbatimi i herësit të fuqive. (1 pikë)Shkrimi i rezultatit të saktë.(1 pikë)Ushtrimi 6:Qarkimi i alternativës b.(2 pikë)Shënim: Nëse nxënësi shkruan rrënjët, si 0 = 4 , por nuk ka qarkuarrezultatin i jepet.(1 pikë)Ushtrimi 7:Gjetja e një grupi (grupi I).(1 pikë)Gjetja e grupit tjetër (grupi II).(1 pikë)Ushtrimi 8/a:1Zgjidhja e ushtrimita .(1 pikë) Shkrimi =(1 pikë) • .III35

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Shprehja eb. Paraqitja = (1 pikë)a − b ( a − b) ( a − b)=a + b ( a + b) ( a − b)( a − b)( a) − ( b)( a − b)Shkrimi më tej:Më tej:a − b(1 pikë) (1 pikë)(1 pikë)c. Vendosja në emërues të përbashkët. (1 pikë) Shkrimi i emëruesit në formën ( 2 ) − 1 . (1 pikë)Shkrimi i rezultatit përfundimtar.(1 pikë)Ushtrimi 9/a:Shkrimi në formën 3 x = 3 3. .(1 pikë)Shkrimi x = 3.x (1 pikë)2x+1⎛ 1⎞.b. Shkrimi në formën ⎝⎜⎠⎟ =(1 pikë)2x+1Shkrimi −x= .(1 pikë)Gjetja e vlerës së x-it(1 pikë)1Njëlloj për ushtrimin • ⎛ x+⎝ ⎜⎞⎠⎟ = . (1 pikë)x+ ⎛ 1⎞Shkrimi⎝⎜⎠⎟ = = .− ( x+)Shkrimi = .(1 pikë)(1 pikë)Gjetja e vlerës së x-it(1 pikë)Kreu IIIMATJAMësimi 3.1Tema: Syprina e figurave. Vetitë themelore36Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e syprinës së figurave. Të formulojë vetitë e syprinëssë figurave.II. Të krahasojë syprinat e figurave të dhëna duke përdorur njohuritë emëparshme mbi syprinat. Të dallojë kuptimin figura kongruente nga kuptimifigura të njëvlershme.III. Të shkruajë lidhjen e njësive të syprinave me shumëfishat dhe nënfishate njësisë.

Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me figura (shih figurën 1, faqe 41).4. Vizore (e milimetruar).5. Fletë të milimetruar.6. Gërshërë për prerjen e figurave.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabela.3. Punë e pavarur (grupi).Përgatita e tabelës:Në një fletë të milimetruar (ose karton të kuadratuar me katrorë të vegjël) ndërtohenfigura të ndryshme (shih figurën 1, faqe 42).Kujdes! Figura A duhet të përmbajë 36 katrorë (9 x 4 = 36).Figura B duhet të përmbajë 36 katrorë (6 x 6 = 36)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja vendos para nxënësve tabelën me figura (të parapërgatitura më parë)dhe kërkon nga nxënësi që në fletë të milimetruara të ndërtojë këto figura.Pas ndërtimit kërkon që figurat të priten.- Sa katrorë të vegjël përmban figura A, po figura B?- A mund të themi se figurat A dhe B janë kongruente?Të njëjtat pyetje drejtohen edhe për figurat C e D.Në këtë moment mësuesi/ja kujton: Këta katrorë të vegjël do tì marrim si njësipër matjen e syprinave dhe do të quhen njësi katrore. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - Sanjësi kanë syprinat e figurave A, B, C, D, F 1 , F 2 , F 3 ?Duke shënuar: S A= 36 njësi katrore, S B= 36 njësi katrore, S C= 21 njësi katrore,S D= 21 njësi katrore.Plotëso: S F1= ; S F2= ; S F31= ;- A mund të themi se: S F= S F1+ S F2+ S F3?Mësuesi/ja tërheq vëmendjen e nxënësve. Vini re: 1. S A= 36 njësi katrore, S B=36 njësi katrore. Themi se figura A është drejtkëndësh, figura B është katror, pra nukjanë kongruente.Theksohet se: Dy figura që kanë syprina të barabarta quhen të njëvlershme(Kujdes: jo kongruente).Pritini figurat C, D dhe vendosini mbi njëra-tjetrën (duhet të jenë kongruente). Por,S C= S D= 21 njësi katrore. Këtu theksohet se: Dy figura kongruente kanë syprina tëbarabarta.Syprina e figurës F është e tillë që: S F= S F1+ S F2+ S F3. Pra, figura e përbërë ngafigura që nuk priten ka syprinë sa shuma e syprinave të figurave që e përbëjnë atë.Mësuesi/ja së bashku me nxënësit formulon vetitë për syprinat e figurave.Mësuesi/ja kujton se njësia themelore për matjen e syprinave është m 2 (metrikatror):37

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”1m 2 = 100 dm 2 = 10000 cm 21m 2 = 10 2 dm 2 = 10 4 cm 2 = 10 6 mm 21km 2 = 10 2 hm 2 = 10 4 dam 2 = 10 6 m 2Më pas jepet punë e pavarur për ushtrimet që lidhen me figurat 2, faqe 43 dhediskutohet ushtrimi 4, faqe 43.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3,faqe 43.Mësimi 3.2Tema: Syprina e drejtkëndëshit dhe e katroritObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulën që shpreh syprinën e drejtkëndëshit, duke e shprehur meanë të brinjëve.II. Të gjejë syprinën e drejtkëndëshit duke zbatuar formulat përkatëse.III. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të syprinës dhe anasjellas.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula mbi syprinën edrejtkëndëshit dhe syprinën e katrorit.4. Vizore të milimetruar.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustrim me tabela.3. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në tabelë ndërton një drejtkëndësh, si figura në faqen 43 dhe kërkonnga nxënësit të bëjnë të njëjtën gjë në fletoret e tyre.- Sa njësi katrore është syprina e drejtkëndëshit ABCD? (AB = 11 cm, AD = 5cm)- A ka lidhje syprina me prodhimin AB • AD?Përforcojmë se: S ABCD= AB • AD dhe tregojmë para nxënësve tabelën.Syprina e drejtkëndëshithS=b . hbPas kësaj mësuesi/ja jep punë të pavarur.Jepet drejtkëndëshi ABCD me brinjë AB = 8,6 cm dhe AD = 5,4 cm.a. Njehsoni syprinën në cm 2 .38

. Ktheni syprinën në mm 2 .c. Ktheni syprinën në m 2 .Jepet drejtkëndëshi me bazë b = 12 cm dhe diagonale d = 13 cm. Gjenisyprinën.Pas kësaj mësuesi/ja ndërton një katror me brinjë a dhe kërkon nga nxënësit tëllogaritin syprinën duke zbatuar formulën mbi syprinën e drejtkëndëshit S = a 2 .Gjeni një lidhje ndërmjet diagonales së katrorit dhe syprinës së tij.Dimë nga teorema e Pitagorës:Kujdes! da da + a = d ⇒ a = d ⇒ a =a dKështu themi se: S = a =Mësuesi/ja jep punë të pavarur:Jepet katrori me diagonale 8 cm. Gjeni syprinën e tij në cm 2 dhe në mm 2 .Drejtkëndëshi me brinjë 9 cm dhe 4 cm është i njëvlershëm me katrorin mebrinjë a.Gjeni gjatësinë e brinjës a.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/b, 3, faqe 45.Mësimi 3.3Tema: Syprina e paralelogramit dhe rombitLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulën për syprinën e paralelogramit.II. Të njehsojë syprinën e paralelogramit (rombit) duke zbatuar formulënpërkatëse.III. Të vërtetojë formulën për syprinën e paralelogramit (rombit), duke zbatuarkuptimin e njëvlershmërisë me drejtkëndëshin. Të zgjidhë problema, që kërkojnëzbatim jo të drejtpërdrejtë të formulave mbi syprinat.Mjetet ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula.4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.5. Fletë e milimetruar – kuadratuar.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabela.3. Punë e pavarur (grupi).DrejtkëndëshParalelogramibhS = b.hhbS = b.h39

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Në fillim mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një paralelogram(me fletore katrore),me brinjë AB = 8 cm dhe AD = 4 cm(ndërtimi sipas dëshirës).Mësuesi/ja drejton pyetjen:- A mund të gjeni syprinën?Kujdes! Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se S = 8 • 4 = 32 cm 2 , por,është gabim.Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se nuk njohim lartësinë.Në rast se nxënësit hasin vështirësi, ndërhyn mësuesi/ja dhe plotëson figurën,si ajo në faqen 45.Nxënësit provojnë se syprina e paralelogramit është: S = b • h, b – baza(njëra brinjë e tij), kurse h – lartësia (pingulja e ndërtuar nga njëri kulm mbibrinjën përballë).DCA. hEb.BFKujdes! Nëse merret AB = b (baza), atëherë DE = h (lartësia). Nëse BC = b(baza), atëherë DF = h (lartësi).Mësuesi/ja jep punën e pavarur:Njehsoni syprinën e paralelogramit me bazë 8 cm dhe lartësi 3 cm.Njehsoni syprinën e paralelogramit me brinjë 9 cm dhe 6 cm, që formojnëkënd të ngushtë 60 0 .Pas kësaj, nxënësit ndërtojnë një drejtkëndësh dhe masat e brinjëve të tij tëbashkohen me segmente (shiko figurën, faqe 46,lart).Trego se: a. ABCD romb; b. S ABCD= 1 S MNKL ; d.m.th. S ABCD = 1 ACBD ⇒ S ABCD= 1 d 1 d 2Meqenëse ABCD është paralelogram, atëherë S = b h (shiko figurën,faqe 16).Mësuesi/ja jep punë të pavarur ushtrimet 1 dhe 2, faqe 46.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 5, faqe 46.40

Mësimi 3.4Tema: Syprina e trekëndëshit. Formula e HeronitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë dy formulat për syprinën e trekëndëshit.II. Të njehsojë syprinën e trekëndëshit duke zbatuar formulën përkatëse.III. Të zgjidhë problema që kërkojnë zbatimin indirekt të formulave mbi syprinëne trekëndëshit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore4. Tabela me formula.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabelë.3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”bS = 1 b h S = 1 a b S = p( p − a)( p − b)( p − c)c bhaP a + b +=c.baZhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë paralelogramin me bazë 8 cmdhe lartësi 6 cm. Gjeni syprinën e paralelogramit. Ndërtoni diagonalen e tij.Kujto: diagonalja e ndan paralelogramin në dy trekëndësha kongruentë.Trego se syprina e secilit trekëndësh është . = 12 cmNxënësit vërtetojnë se syprina e trekëndëshit është S = 1 b h (shiko figurën).DCAhEbB41

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësuesi/ja jep punë të pavarur:Gjeni syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katete a, b.Zbatim numerik: a = 4, b = 5.abGjeni syprinën e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a.Kujdes: këtu udhëzohet nxënësi të gjejë lartësinë h me anë të teoremës sëPitagorës.Sa =Zbatim numerik a = 6.Ndërhyn mësuesi/ja: Përveç këtyre formulave për syprinën e trekëndëshit përdoretformula e Heronit, në trekëndëshin me brinjë a, b, c kemi:cbS = p( p − a)( p − b)( p − c) ku P a +=b + caGjeni syprinën e trekëndëshit me brinjë: a = 51,6 cm, b = 38,4 e 64 cm.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, 5/a, 6 faqe 48.Mësimi 3.5Tema: Syprina e trapezitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulën mbi syprinën e trapezit.II. Të llogaritë syprinën e trapezit duke zbatuar formulën. Të zbatojë në problemaformulat që rrjedhin nga S a +=b h .III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e trapezit. Të zgjidhë problema duke zbatuarformulat që lidhen me syprinën në mënyrë indirekte, problema që kërkojnë analizëpara zbatimit të formulave.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula.4. Vizore, shkumësa me ngjyra.habS a +=b h42

Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesi me tabela.3. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja ndërton në tabelë një trapez dhe kërkon të njëjtën gjë nga nxënësit.bDChA E a F BShkruani emërtimet:AB = abaza e madhe (a vlera numerike e gjatësisë)DC = b baza e vogël (b vlera e gjatësisë)DE = CF = h lartësia (h vlera e gjatësisë)Nëse shumë nxënës mund të shkruajnë formulën S =a + b h , kështu dukezëvendësuar do të gjejnë syprinën. Në këtë rast mësuesi/ja do të kërkojë argumentiminsi mund të provohet se S =a + b h .Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të ndërtojnë diagonalet e trapezit [BD] dhe lartësitë[DE], [BF].bD C F Vini re: S = 1 AB DE = a hABDhhS = 1BCDDC BF = 1 b h hLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”A E a B1 1 1S S S ah bh h a b S a + bTrapezit=ABD+BCD= + = ( + ) ⇒ = h Vërtetimi mund të bëhet si në tekst, por duhet treguar se AB 1C 1D ështëparalelogram.Mësuesi/ja organizon punë të pavarur me nxënësit:Veçoni h nga formula (1). Veçoni a + b nga formula (1).Njehsoni syprinën dhe brinjët anësore në trapezin ABCD (shiko figurën) nëse:AD = BC (trapezi dybrinjënjëshëm), a = 18, h = 3Me nxënës të nivelit të lartë mund të punohet ushtrimi 3, faqe 50,lart.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 4, faqe 50 (lart).43

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 3.6Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zbatojë drejtpërdrejtë formulat për llogaritjen e syprinave të figurave.II. Të llogaritë syprinat e figurave duke zbatuar formulat.III. Të zgjidhë problema me anë të analizës duke zbatuar indirekt formulat mbisyprinat.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formulat mbi syprinat,shiko mësimet 3.1-3.6.Metodat që rekomandohen:1. Ilustrimi tabelor.2. Analiza problemore.3. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Para orës së mësimit mësuesi/ja të përgatisë zgjidhjet e të gjitha problemave dhetë korrigjojë gabimet e mundshme.Ushtrimi 1. Gjeni koordinatat e pikës D, por kujdes pika D mund të ketë koordinata(0; 8) ose (-1; 8), (4; 8) ose (2; 10)).Mësuesi/ja pasi diskuton me nxënësit problemën 2, jep këtë ushtrim.Jepet ABCD romb:DAC = 48 cm,BD = AC, kërkohet S =? ACBZgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën:16S d d AC BD AC AC 12 = = ⇒ S = = = = 16 = cm 44Mësuesi/ja organizon një punë të pavarur me ushtrimin 5, faqe 50.Jepet: S = 2291 cm 2h = 58 cmD b Ca – b = ?hKërkohen: a = ? b = ?A aZgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën e syprinës.B1. a + b S = h , meqenëse S dhe h dihen, atëherë nga (1) nxjerrim . Sa + b = ⇒ a + b = hKemi të dhënë: a – b = 15, gjetëm a + b = 79 duke zgjidhur sistemin:⎧a− b = 15⎨ gjejmë a = 47 cm dhe b = 32 cm.⎩a+ b =

Nëse ka kohë nxënësve u jepet si punë e pavarur ushtrimi 8, faqe 50.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 7, 11, faqe 50.Mësimi 3.7Tema: Syprina e shumëkëndëshit të rregullt dhe shumëkëndëshittë jashtëshkruar të rrethitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të tregojë si ndërtohet një shumëkëndësh i rregullt. Të shkruajë formulën mbisyprinën e shumëkëndëshit të rregullt.II. Të njehsojë syprinën e një shumëkëndëshi të rregullt, duke zbatuar formulat.III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. Të zgjidhëproblema duke zbatuar në mënyrë indirekte formulën mbi syprinën e shumëkëndëshittë rregullt.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas4. Tabela me formula.Metodat ndihmëse:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).EDS = 1 p hFoAhaBCP = n aZhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja jep përkufizimin e shumëkëndëshit të rregullt. Më pas tregon se simund të ndërtojmë një shumëkëndësh të rregullt. Për këtë u kërkohet nxënësve tëndërtojnë rrethin me rreze 5 cm. Me atë hapje të kompasit ndani rrethin në 6 pjesëtë barabarta dhe pikat e ndarjes bashkohen në segment.EFDohCBKështu fitohet gjashtëkëndëshi irregullt. Këtu brinja është sa rrezja e rrethit.Nëse rrethi ndahet në 7, 8, 9.... n pjesëtë barabarta fitojmë 7, 8,....n këndësh tërregullt.MANë këtë rast shumëkëndëshi quhet i brendashkruar në një rreth.45

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Në qoftë se nga pikat e ndarjes ndërtohet tangjentja me rrethin, përsëri fitojmëshumëkëndësh të rregullt, por të jashtëshkruar.EFSARMhoQNDPCMësuesi/ja organizon punë përgatitore.Vini re! Në të dyja rastet formula përsyprinën do të jetë:S = 1 P h, P = n a.BNë rastin e shumëkëndëshit të jashtëshkruar rrethit me rreze r kemi h = r, d.m.th.S = 1 P • r.Nxënësit njehsojnë syprinën e shumëkëndëshit të rregullt të brendashkruar nërrethin me rreze 4 cm dhe me brinjë 4 cm.Zgjidhje: S = 1 P h, meqenëse a = r = 4cm, atëherë kemi të bëjmë megjashtëkëndësh të rregullt (shiko figurën 1).Në ∆ AOB kemi OA = OB = AB = 4, h lartësi e trekëndëshit barabrinjës, këtej h = = domethënë S = 1 6 4 2 ⇒ S = 24 cm 2 .Njehsoni syprinën e shumëkëndëshit të rregullt dhe me perimetër 25 dm tëjashtëshkruar rrethit me rreze 6 dm.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 4, 5 b/d, faqe 52.Mësimi 3.8Tema: Syprina dhe vëllimi i sferësObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë sipërfaqen sferike. Të përkufizojë sferën. Të shkruajë formulatpër syprinën (vëllimin) e sferës.II. Të njehsojë syprinën e sferës duke zbatuar formulën. Të njehsojë vëllimin esferës duke zbatuar formulën.III. Të shprehë me formulë lidhjen e syprinës me vëllimin e sferës.46Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.4. Tabela me formula.

Metoda që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesit grafikë (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në fillim kërkon nga nxënësi të sjellin shembuj për sferën ose formatë saj (p.sh. top, gjyle, glob etj.).Nxënësit ndërtojnë një gjysmërreth me diametër [AB]. Mendoni, sikur kygjysmërreth të rrotullohet rreth diametrit do të formohet në hapësirë një sipërfaqe qëquhet sipërfaqe sferike (shiko përkufizimin 1, faqe 53).Mësuesi/ja organizon punën e pavarur.Nxënësit duhet të vizatojnë një sferë me rreze 4 cm. Ata duhet të gjejnë syprinëndhe vëllimin e saj. Gjeni syprinën e sferës me vëllim 288 Π cm 3 .MOSferaS = ΠrV = ΠrLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9” VKujdes! V = Πr ⇒ r =Π ....!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3, faqe 53.Mësimi 3.9Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të njehsojë syprinën (vëllimin) e një sfere duke zbatuar drejtpërdrejt formulën.II. Të njehsojë rrezen e sferës duke zbatuar formulat mbi syprinën (vëllimin).III. Të vlerësojë vëllimin (syprinën) e sferës për të njehsuar elementet e tyre tësferës.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.4. Tabela me formula.Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që për dy sferat, njëra me rreze 3 cm dhetjetra me rreze 6 cm.Njehsoni syprinat e tyre.Njehsoni vëllimet e tyre.Gjeni raportin e syprinave (vëllimeve).47

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”- Çfarë vëreni?- A mund të themi se S S!1r1= ⎛ ⎞⎝ ⎜ r ⎠⎟ dhe V VMësuesi/ja organizon punën e pavarur:1r1= ⎛ ⎞⎝ ⎜ r ⎠⎟ ?1. Jepet r 1= dhe rr 1+ r 2= 52. Gjeni S 1= ? S 2= ? V 1= ? V 2= ?V12. Jepet = dhe VV1+ V 2= 10080 Π cm 3 . Gjeni V 1= ? V 2= ? S 1= ? S 2= ?⎧r1 r1 r2 13= ⇒ + +⎪= ⇒ = ⇒ r= cmVini re: ⎨r r r⎪⎩r1 + r2 = r1 = − r2 r1= cmS= Πr1 1S = ΠrV1 = Πr1V= ΠrSi për rastin e rrezeve veprohet dhe për V 1dhe V 2.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 6, faqe 54.Kreu IVGJEOMETRIA NË PLANMësimi 4.1Tema: Shumëkëndëshat e mysët. Paralelogrami. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë shumëkëndëshat e mysët dhe paralelogramin. Të formulojë vetitëe paralelogramit.II. Të shkruajë për një paralelogram në formën, k ⇒ P, vetitë e tij.III. Të vërtetojë vetitë e paralelogramit. Të vërtetojë pohimin mbi paralelograminduke zbatuar vetitë e tyre.48Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.4. Tabela.ADParalelogramiCABCD ParalelogramB[AB][AD]Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).IIII[DC][BC]

Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë vija të thyera dhe kërkon nga nxënësit tëbëjnë dallimet.fig. 1 fig. 2Më pas thekson se vija e figurës 1 quhet jo e mysët, ndërsa vija e thyer efigurës 2 quhet e mysët.Nxënësit duhet të përkufizojnë shumëkëndëshin.jo i mysëti mysëtfig. 3 EDfig. 4D CFECLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”ABMësuesi/ja ndërton një paralelogram ABCD, si në figurën 5, dhe kërkon nganxënësit të përkufizojnë paralelogramin ([AB] || [DC] dhe [AD] || [BC]) dhe elementet(brinjë, diagonale, lartësi). Më pas kalohet te vetitë e paralelogramit.fig. 5 D CABAMësuesi/ja organizon punën e pavarur me ushtrimin 1, faqe 57.Shënim: Teorema 1, që është vënë në tekst si punë e pavarur, të vërtetohet ngamësuesi/ja dhe nxënësit në tabelë.B!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4, 5, faqe 57.Mësimi 4.2Tema: Drejtkëndëshi. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e drejtkëndëshit. Të formulojë vetitë e drejtkëndëshit.II. Të shkruajë në një drejtkëndësh vetitë në formën k ⇒ P.III. Të vërtetojë vetitë e drejtkëndëshit. Të zgjidhë problema duke zbatuarvetitë e drejtkëndëshit.49

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.4. Tabela me formula.5. Drejtkëndëshi ABCD,DABMetodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.DrejtkëndëshiC ABCD DrejtkëndëshA ≡ B ≡ C ≡ D≡ dZhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të(d4)ndërtojnë dy drejtëza pingule (d 1) e (d 2) në Dpikën A dhe në secilën të zgjedhin pikatB dhe D. Nga pikat B dhe D të ndërtohenpingulet (d 3) e (d 4) përkatësisht me (d 1) eA(d 2).Gjeni emërtimin e figurës ABCD dhe jepni përkufizimin.(d2)C(d1)B(d3)Mësuesi/ja pyet: - A mund të themi se drejtkëndëshi është paralelogram?DCVërtetoni:ABMe nxënësit formohen vetitë e tjera të drejtkëndëshit.Mësuesi/ja organizon një punë të udhëhequr.Nxënësit duhet të vërtetojnë kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm qëkatërkëndëshi ABCD të jetë drejtkëndësh.Pas kësaj kalohet në punë të pavarur.DCQPJepet paralelogrami ABCD.ONë diagonalet [AC] e [BD] merren pikatM, N, P, Q, të tilla që OM = ON = OP = OQ.MNVërtetoni se MNPQ është drejtkëndësh.AB!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3, faqe 59.50

Mësimi 4.3Tema: Rombi. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë rombin. Të formulojë vetitë e tij.II. Të zbatojë vetitë në zgjidhjen e problemave.III. Të vërtetojë vetitë e rombit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”DRombi:ACABCD romb.BAB = BC = DC = ADZhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një katërkëndësh, që ështëparalelogram dhe të formulojë vetitë e tij.ADOMNBCABCD paralelogram1. AB = DC dhe AD = BC2. OA = OC dhe OB = ODNë brinjët [AB] dhe [DC] të paralelogramit zgjedhim M, N që [AM]=[AD]=[DN].- Çfarë vëreni te katërkëndëshi AMND?Përkufizohet rombi, më pas formulohen vetitë e tij.Mësuesi/ja organizon punën e pavarur.Jepet rombi ABCD. Në diagonalen [AC] merren pikat M dhe N, të tilla qëAM = CN. Vërtetoni se MBND është romb.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 60.51

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 4.4Tema: Katrori. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e katrorit. Të formulojë vetitë e katrorit.II. Të zbatojë vetitë e katrorit në zgjidhjen e problemave.III. Të vërtetojë vetitë e katrorit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula.DOCKatrorABCD katror1. AB = BC = DC = AD;2. A ≡ B ≡ C ≡ D≡ dMetodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Organizuesi grafik.3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.5. Bllokskema.ABZhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja duhet të fillojë me punënpërgatitore, por kërkon që nxënësi të ndërtojënjë romb dhe të formulojë vetitë e tij. Drejtohet kjopyetje: - A është e mundur që një katërkëndështë ketë kongruente brinjët (si rombi) dhe të ketëkongruente këndet?Vini re figurënDCFigura të tilla i quajmë katrorë. Kërkohet përkufizimi nga nxënësit dhe vetitë ekatrorit. Theksohet se katrori është romb.TrapezABKatërkëndëshParalelogramDrejtkëndësh52RombKatrorËshtë me shumë rëndësi të komentohet kjo bllokskemë, e cila tregon varësinëndërmjet figurave në këtë kapitull.Mësuesi/ja organizon punën e pavarur me problemën 1, faqe 61.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 61.

Mësimi 4.5Tema: Teorema e vogël e Talesit. Teorema për vijën e mesmedhe mesoret e trekëndëshitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë teoremën e Talesit në formën k ⇒ P. Të përkufizojë vijën e mesmetë trekëndëshit.II. Të zbatojë përfundimin e teoremës së Talesit në zgjidhjen e problemave.III. Të vërtetojë teoremën e Talesit. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar teoremëne Talesit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.4. Tabela me formula.CBAd1d2A1B1C1abcTeorema e Talesit(a) II (b) II (c)Nëse pika B ndërmjet A e Cdhe AB= BC ⇒ B1 ndërmjetA1 C1 dhe A1 B1= B1 C1Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore, duke u kërkuar nxënësve të ndërtojnëdrejtëzat çfarëdo (d 1) e (d 2). Në (d 1) marrim pikat A, B, C të tilla që AB = BC = 2 cm.CBAA1B1C1abcNga pikat A, B, C ndërtoni (a) || (b) || (c), që presin(d 2) në pikat A 1, B 1, C 1. Matni largesat A 1B 1; B 1C 1,çfarë vërehet?d1d2Kujdes! Mund të ketë nxënës që dalin në përfundimin se A 1B 1= B 1C 1= 2 cm, porkjo ndodh vetëm nëse (d 1) || (d 2).Do të kemi: A 1B 1= B 1C 1.Kështu dalim në formulimin e teoremës së Talesit.Më pas kalohet në përkufizimin e vijës së mesme të trekëndëshit dhe vërtetimine teoremës.53

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Pas vërtetimit kalohet në punë të pavarur. Nxënësit vërtetojnë vetinë e mesorevetë trekëndëshit.Nga udhëzimi kemi:FL = MN ku M, N janë meset e [GA] dhe [GB], këtej rrjedh se MNLF ështëparalelogram, nga këtej kemi se GM = GL dhe GF = GN, por GM = MA dhe GN = NB,d.m.th. GL = GM = MA ⇒ GL = 1 GA (shiko figurën 3, faqe 63)!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3, faqe 63.Mësimi 4.6Tema: Trapezi. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë trapezin. Të formulojë vetitë e trapezit.II. Të emërtojë në një trapez elementet e tij. Të zbatojë vetitë e trapezit në zgjidhjene problemave.III. Të vërtetojë teoremat mbi vetitë (vijën e mesme).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.4. Tabela me formula.5. Trapezi.MDbCNMetodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Trapezi[DC] || [AB][MN] vijë e mesmeMN = 1 (a + b)AaB[AC] diagonale[DE] lartësia54Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojmë dy drejtëza (d 1) e (d 2) joparalele, qëpriten në pikat A, B, C, D nga paralelet (a) || (b).d1 d2Në këtë rast katërkëndëshi ABCD quhet trapez.b[AB] është baza e madhe,DC[DC] është baza e vogël.EFDuhet të theksohet se: E - mesi i [AD],F - mesi i [BC].[EF] - vijë e mesme,A E a B[DE] - lartësia[AC] - diagonale.

Është e rëndësishme të vërtetohet teorema mbi vijën e mesme.Më pas kalohet te puna e pavarur.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 65.Shënim: Problema 4, faqe 65 të korrigjohet: AB = 26 cm, A = 60 0Mësimi 4.7Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të rikujtojë vetitë e katërkëndëshave (paralelogram, drejtkëndësh etj). Të rikujtojëformulat mbi syprinat e katërkëndëshave.II. Të zbatojë formulat për të llogaritur syprinat e katërkëndëshave.III. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar vetitë e figurave.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula (shih tabelat për vetitë e figurave te mësimet emëparshme).4. Vizore.Metodat që rekomandohen:1. Analizë problemore.2. Punë e udhëhequr.3. Punë e pavarur (grupi + individuale).Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të rikujtojnë disa veti të figurave, sidomos të atyreme të cilat lidhen problemat që mendon se duhen punuar problema 4, faqe 65).DCJepet ABCD trapez. [DE] dhe [CE] janëpërgjysmore të këndeve ADE ≡ EDC dheDCE ≡ ECB . Kërkohet të provohet seAEBAB = AD + BC.Vërtetim: Meqenëse ABCD trapez ⇒ [AB] || [DC] ⇒ EDC ≡ DEA , si këndeZ këtej trekëndëshi ADE dybrinjënjëshëm, pra AD = AE. Njëlloj trekëndëshi BCEdybrinjënjëshëm BC = BE.Këtej AB = AE + BE = AD + BC ç.d.v.55

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Për çdo hap gjatë vërtetimit duhet më parë të merret mendimi i nxënësit. Nëseniveli i klasës është i mirë, kjo problemë mund të zgjidhet nga ata.Mësuesi/ja trajton edhe problemën 6, faqe 65.DAoBJepen: AC = 54 cm; BD = 36 cm; A 1B 1= 3A 1D 1; S ABCD= S A1B1C1D1.Kërkohet P A1B1C1D1= ?AC BDZgjidhje: Dimë se S = = ABCD SABCD = 972 cm2CS A1B1C1D1= A 1B 1• A 1D 1= 3A 1D 1• A 1D 1⇒ 972 = 3A 1D 12D1A1C1B1A 1D 12= 324 cm ⇒ A 1D 1= = 18cm, kurse A B = cm1 1Kështu themi se P A1B1C1D1= 2(A1B1 + A1D1) = 2(54 + 18) = 144 cmP = 144 cmPunë e pavarur mund të jepet problema 7, faqe 65.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 8, faqe 65.Mësimi 4.8Tema: Segmentet përpjesëtimore. Teorema e TalesitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë segmentet përpjesëtimore. Të formulojë pohimet mbi segmentetpërpjesëtimore.II. Të llogaritë segmentet përpjesëtimore duke zbatuar pohimet mbi to. Të ndërtojësegmentin e përpjesshëm me segmente të dhëna, duke zbatuar pohimet mbi to.III. Të vërtetojë pohimet mbi segmentet përpjesëtimore.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula.4. VizoreoSegmente përpjesëtimoreBAB1A1(AB) II (A 1B 1)OA OA1AA⇔ = =OB OB BB11156

Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore për t’iu rikujtuar nxënësvepërpjesëtimet.Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto barazime: ; x = =; 5 10 x x = ; x + = ; 10U kërkohet nxënësve të gjejnë x=?Në këto barazime elementet e thyesave quhen vlera përpjesëtimore me njëratjetrën.Te barazimi i parë themi se 2 dhe 4 janë përpjesëtimore me 5 dhe x, ndryshethemi se 2 rri te 4 sikurse 5 rri te x (2 : 4 = 5 : x) etj.Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të përkufizojnë segmentet përpjesëtimore.Kujdes! Teorema nuk duhet vërtetuar. Nga teorema e Talesit kemi rrjedhimet 1dhe 2, të cilat duhen vërtetuar. (Një variant i thjeshtuar, që është teorema e vogël eTalesit, është vërtetuar te mësimi 4.5).Më pas, mësuesi/ja organizon punën e udhëhequr.Ndërtoni të katërtin e përpjesshëm me segmentet e dhëna a, b, c.aZgjidhje: Shënojmë me x segmentinbe kërkuar. Meqenëse segmentet a, b, c, xjanë përpjesëtimore, atëherë ato plotësojnëcbarazimin a c= .b xNga teorema e Talesit duhet që me brinjët e këndit O Æ të ndërtojnë segmentet edhëna dhe përkatësishtLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”oabBAxB1cA1OA = a, OB = b dhe AA 1= c.Nga pika A 1ndërtojnë (A 1B 1) II (AB)nga teorema segmenti [BB 1] është segmenti x.Gjeni gjatësinë e segmentit x nëse a = 3 cm, b = 2 cm dhe c = 6 cm.Këtu jepet punë e pavarur, shiko rubrikën në faqen 67.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 4, faqe 68.57

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 4.9Tema: Ngjashmëria e trekëndëshaveObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë ngjashmërinë e shumëkëndëshave. Të formulojë rastete ngjashmërisë së shumëkëndëshave.II. Të gjejë elementet e trekëndëshave duke zbatuar rastet e ngjashmërisësë tyre.III. Të vërtetojë të paktën dy raste të ngjashmërisë së trekëndëshave.Të vërtetojë pohime mbi trekëndëshat, duke zbatuar rastet e ngjashmërisë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.4. Tabela me formula.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.ARasti ICBRaste të ngjashmërisë së trekëndëshaveC1A1 B1ABC ~ A 1B 1C 1Rasti II Rasti IIIA ≡ A dhe B ≡ B 1 1Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja e fillon këtë orë mësimi me punë përgatitore. Ai/ajo kërkon nga nxënësittë ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një romb me brinjë 5 cm.D3CD15 53 3A1C1A3BA mund te themi se : ABA BPor, A≠ A1B≠ B1etj.BC CD DA = = = =B C C D D A 1 1 1 1 1 1 1 15 5B158

Ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një drejtkëndësh me përmasa3 dhe 6 cm.D1C1 - A mund të themi se: ?DCAB BC CD DA= = =A1B1 B1C1 C1D1D1A13Por, A≡ A1,B≡ B1,C≡ C1, D≡ D1.A 3 B A1B1Në këtë rast mësuesi/ja pyet: - A mund të ndërtojmë dy katërkëndësha qëtë plotësojnë të dyja kushtet: brinjët përpjesëtimore dhe këndet kongruente?P.sh.: 2 katror, 2 romb, 2 drejtkëndësha etj.Këtu kalohet në përkufizim (shiko faqen 68)Për ngjashmërinë e trekëndëshave është e domosdoshme të kalohet në vërtetimine teoremës, faqe 69. Pas kësaj kalohet te rasti i parë i ngjashmërisë, këmbëngulet teparaqitja e pohimit (rasti 1) në formën K ⇒ P . Është e domosdoshme të theksohetse AB= k (koeficienti i ngjashmërisë).A B1 1Punë e pavarur.Trekëndëshat kënddrejtë ABC dhe A 1B 1C 1janë të ngjashëm. Gjeni katetet,hipotenuzat dhe këndet e trekëndëshave nëse jepen:C = 90 0 A 1= 30 0 dhe AB = 10 cm A 1B 1= 20 cmLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zgjidhje: ∆ ABC ~ ∆ A 1B 1C 1⇒ A = A 1= 30 0 C = C 1= 90 0 B = B 1= 60 0Dimë se në ∆ kënddrejtë kateti përballë këndit 30 0 është sa gjysma e hipotenuzës,domethënë1020BC = = cm dhe B1C1= = 10cm, por nga teorema ePitagorës:AB 2 = AC 2 + BC 2 2 2, këtej gjejmë AC; A 1B 1= A 1C 1+ B 1C 12, këtej gjejmë A 1C 1Këtu është mirë të ndahet tema në dy orë mësimore.• Ora tjetër fillon me rastin e dytë. Megjithatë, nëse mësuesi/ja do të vazhdojë dyrastet e tjera duhet t’i shkruajë në formën K ⇒ P .Punë e pavarur.∆ ABC ~ ∆ A 1B 1C 1dhe brinjët e trekëndëshit ABC janë 5 cm, 6 cm, 7 cm, kursebrinja më e vogël e trekëndëshit ∆ A 1B 1C 1është 10 cm.Gjeni brinjët e trekëndëshit A 1B 1C 1.Trekëndëshat e ngjashëm ABC dhe A 1B 1C 1kanë diferencën e brinjëve më tëvogla të barabartë me 6 cm, kurse raportin e tyre e kanë .Gjeni këto brinjë.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 5, faqe 71.59

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”!Mësimi 4.10Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të dallojë trekëndëshat e ngjashëm duke zbatuar rastet e ngjashmërisë.II. Të gjejë elementet e trekëndëshave të ngjashëm duke zbatuar rastete ngjashmërisë.III. Të vërtetojë pohimin mbi trekëndëshat duke zbatuar rastet e ngjashmërisë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela, shih mësimin 3.6.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Punë e udhëhequr.3. Punë e pavarur (grupi).4. Analizë problemore.Zhvillimi i temës së re:Punë e pavarur. Punohen nga nxënësit ushtrimet 1, 3 dhe 4, ndërsa ushtrimet 3,5, 6, 7 diskutohen së bashku me mësuesin/en duke analizuar të dhënat.Ushtrimet 2 dhe 8 duhet të punohen në klasë, sidomos ushtrimi 2 (punohet vetia evijës së mesme së trekëndëshit dhe formula e Heronit), ndërsa tek ushtrimi 8 punohetme rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave.Kujdes! Në fillim zbatohet teorema e Pitagorës, që të zbatohet rasti i tretë ingjashmërisë. Kjo problemë mund të shtrohet në rastin kur jepen katetet përpjesëtimore(zbatohet rasti i dytë i drejtpërdrejtë).Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4/1-2, 6 në faqen 72.Mësimi 4.11Tema: Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshavetë ngjashëm60Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë raportin e perimetrave (syprinave) të trekëndëshave të ngjashëm.II. Të llogaritë perimetrat (syprinat) e trekëndëshave të ngjashëm.III. Të gjejë elementet e panjohura të trekëndëshave të ngjashëm, duke analizuartë dhënat dhe raportet e segmenteve përpjesëtimore.AMjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela.CBC1D A1 D1 B1Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave tëngjashëm:∆ ABC ~ ∆ A 1B 1C ⇒ CD1= k ; P = k ; S = kC D P S1 111

Zhvillimi i temës së re:Puna përgatitore është mirë të ndryshohet.Jepet trekëndëshi ABC me brinjë 6, 8, 12 (cm).1. Gjeni brinjët e trekëndëshit ∆ A 1B 1C 1të ngjashëm me trekëndëshin e dhënënëse brinja A 1B 1= 3 cm.2. Gjeni raportin e perimetrave të këtyre trekëndëshave.3. Gjeni raportin e syprinave të këtyre trekëndëshave (për syprinat zbato formulëne Heronit).Duhet theksuar seKështu themi se P PABA B1= = edhe P = , kurse S = = .P 1S 11 1= k dhe S S1= k (1)Mësuesi/ja kalon te përgjithësimi i përfundimit të mësipërm.a. Për perimetrat. Nëse ∆ ABC ~ ∆PA 1B 1C 1⇒ = kP1Vërtetim: Nga ngjashmëria e ∆ ABC dhe ∆ A 1B 1C 1kemi:Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”ABA BBC CA AB + BC + CA= = = k ⇒B C C A A B + B C + C A1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ABP= = .... = k ⇒ = kA BP1b. Para se të provojnë se S = k duhet të vërtetojnë teoremën mbi raportinS1e lartësive dhe mbi raportin e syprinave.E rëndësishme është që në këtë temë, nxënësit të mbajnë mend formulat.Punë e pavarur.Trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A1B1C1 me koeficientngjashmërie k dhe raport të syprinave S : S1 = .Gjeni perimetrat, nëse shuma e tyre është 45 cm.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 /njëri rast, 2, 3, faqe 74.Mësimi 4.12Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë barazimet mbi raportin e perimetrave (syprinave) tëshumëkëndëshave të ngjashëm.II. Të njehsojë perimetrat (syprinat) e shumëkëndëshave të ngjashëm dukezbatuar formulat.III. Të zgjidhë problema duke zbatuar indirekt ngjashmërinë eshumëkëndëshave dhe formulat mbi raportin e perimetrave (syprinave).61

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela, shih mësimet e mëparshmenë këtë kapitull.4. Vizore.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të shkruajnë në fletore përkufizimin e ngjashmërisësë shumëkëndëshit. Pas kësaj u kërkon nxënësve të ndërtojnë dy katrorë me brinjë,i pari a = 6 cm dhe i dyti b = 12 cm.Shtrohen këto pyetje para nxënësve: - A janë të ngjashëm katrorët? Gjeni k = ?Gjeni raportin e perimetrave (syprinave).-A mund të themi se P = k dhe S = k ?P S11Metodat që rekomandohen:1. Analiza problemore.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Këtu ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se përfundimet e pikës 3 do t’i pranojmëpër çdo shumëkëndësh të ngjashëm, d.m.th. nëse ABCDEF ~ A 1B 1C 1D 1E 1F 1,atëherë P= k dhe S = k .P S11Punë e pavarur.Jepen nga mësuesi/ja ushtrimet 1 dhe 4, faqe 75.Punë e udhëhequr.Punohet nga nxënësit problema 2.Zgjidhje: Dimë se: P = 4 • 91 dheAPP1 • P 91= ⇒ P1 = ⇒ P1 = • • ⇒ P1= cm DDimë se AC = 169 ⇒ Ao = 8491Nga teorema e Pitagorës OD 2 = AD 2 – OA 2 ⇒84 oOD 2 = 8181 – 7056 = 1225 ⇒ OD = 35 cm.C62AC BDS = = 168 70=ABCD5880cm AC 168= = A1C1= = 210A C SS!1 11B S 5880= ⎛ S19187 cm⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ ⇒ = 16= 16= ,Detyrë shtëpie. Ushtrimet 5, 8, faqe 75.S = 5880ABCDcmA1C1 = 210cmS1 = 9187,cm

Mësimi 4.13Tema: Teoremat e EukliditObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë teoremat e Euklidit dhe rrjedhimet e tyre.II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar rrjedhimet e teoremave.III. Të vërtetojë teoremat e Euklidit. Të zgjidhë trekëndëshat kënddrejtë,duke zbatuar në mënyrë të kombinuar teoremat e Euklidit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formulat e teoremavetë Euklidit.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”CTeoremat e EukliditAD1. ∆ ABC kënddrejtë në C:[CD] ⊥ [AB] ⇒CD 2 = AD • DBB2. ∆ ABC kënddrejtë në C:[CD] ⊥ [AB] ⇒AC 2 = AD • AB dhe BC 2 =BD • ABZhvillimi i temës së re:Punë përgatitore. Mësuesi/ja sjell një shembull praktik.Jepet trekëndëshi kënddrejtë në C me elemente:C[CD] [AB] dhe CD = 12 cm1512AD = 9 cm BD = 16 cmAC = 15 cmA 9 D 16 BGjeni CD 2 , AD BD ; AC 2 , AD • AB- Çfarë vëreni? (CD 2 = AD • BD, AC 2 = AD • AB)Vëmë re se CD i mesëm i përpjesshëm me segmentet AD e BD.Jepen përkufizimet 1, 2, të cilat janë në tekstin e nxënësit.Më pas formulohen teoremat e Euklidit dhe vërtetohen.Pas teoremave formulohen dy rrjedhime.63

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”AKorda në skajin e diametrit dhe skajin tjetër në gjysmërreth është e mesme epërpjesshme me diametrin dhe projeksionin e saj në diametër (BC 2 = BD • AB).Punë e pavarur.Mësuesi/ja jep për punë të pavarur ushtrimin 2, faqe 77.!CDDetyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 5, faqe 77.BRrjedhim 1: Në çdo gjysmërreth pingulja endërtuar nga një pikë e tij mbi diametër është emesme e përpjesshme me segmentet që caktonnë diametër, domethënë CD 2 = AD • BDMësimi 4.14Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zbatojë teoremat e Euklidit në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë.II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar dy teoremat e Euklidit.III. Të zgjidhë problema duke zbatuar teoremat e Euklidit në forma indirekte.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula, shih mësimete mëparshme.4. VizoreMetodat që rekomandohen:1. Analizë problemore.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur këtë problemë:Në trekëndëshin kënddrejtë lartësia mbi hipotenuzë e ndan atë (hipotenuzën) nëdy segmente me gjatësi 9 cm dhe 144 cm. Duke zbatuar teoremat e Euklidit gjeni: a.lartësinë mbi hipotenuzë, b. katetet.Punë e udhëhequr.Punohen nga nxënësit problemat 2 dhe 7.Problema 2. Shih figurën në faqen 78CJepet CD = 8 cmAC = 10 cmKërkohet AD?BD?ADB64

Zgjidhje: Trekëndëshi ABC është kënddrejtë në C; nga teorema e Euklidit kemi:⎧AC = AD AB⎨ ⎩CD = AD DBShënojmë: AD = x dhe BD = y, AB = x + ySistemi merr formën: ⎧10= x( x + y)⎧10= x + y ⎨⇒10 8 10 8⎨⇒ = x + ⇒ x = − ⇒ x = ⇒ x = cm⎩= x y⎩= x y Duke zëvendësuar: = x y ⇒ = y ⇒ y = ⇒ y = cm keshtu kemi:AD cm BD= =Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Problema 7.CJepet ACAD = kërkohet S = ?AC = AD + 3, h = ?ADBh lartësia e D-së të njëvlershëm, ku h = 2CDZgjidhje: Shënojmë AC = x dhe AD = y.⎧x ⎧x+ ⎪ = ⎪ =⎨y ⇒ ⎨ y ⎩⎪x= y + ⎩⎪x= y + Zgjidhje: x + = ⇒ y + = y ⇒ y = ⇒ y = ,cmy x = 7,5 cmNga teorema e 2 e Euklidit kemi: AC AD AB AB AC ,= ⇒ = = = 12,AD ,AB = 12, 5cm ⇒ BD = 1, − , = cmNga teorema 1 e Euklidit kemi: CD 2 = AD • BD = 4,5 • 8 = 36CD = cm , prej këtej S AB •=CD 12, • = = , cm, S = ,cm Për trekëndëshin e dytë kemi S b =h , ku h = 2 • CD = 12 cm.b • 12 • ,, = ⇒ b = ⇒ b = ,cm12!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 5, faqe 78.65

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 4.15Tema: Teorema e Pitagorës. Teorema e anasjellë e PitagorësObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë teoremën e Pitagorës në formën k ⇒ P . Të formulojë teoremëne anasjellë të Pitagorës.II. Të zbatojë teoremën e Pitagorës në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë.III. Të vërtetojë teoremën e Pitagorës duke zbatuar teoremat e Euklidit. Të zgjidhëproblema duke zbatuar të kombinuara teoremat e Euklidit dhe të Pitagorës.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustrim grafik (figura, tabela).3. Punë e pavarur (grupi).CTeorema e Pitagorës∆ ABC kënddrejtë në C ⇒ AB 2 = AC 2 + BC 2ADBZhvillimi i temës së re:Punë përgatitore.Mësuesi/ja jep këtë shembull:Jepet trekëndëshi kënddrejtë ABC me katete AC dhe BC, dhe me lartësi mbihipotenuzë CD = 12 cm, që e ndan hipotenuzën në segmente AD = 9 cmdhe BD = 16 cm.Gjeni katetet AC dhe BC.Krahasoni AB 2 , kur AC 2 + BC 2 ⇒ Pra, AB 2 =AC 2 + BC 2 .Këtu formuloni teoremën e Pitagorës dhe vërtetojeni atë,duke u mbështeturte teoremat e Euklidit. I rëndësishëm është formulimi dhe vërtetimi i teoremëssë anasjellë.Punë e pavarur.Njehsoni perimetrin e drejtkëndëshit ABCD, nëse njëra brinjë AB = 16 cmdhe diagonalja e tij BD = AB .!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 80.66

Mësimi 4.16Tema: ZbatimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të brinjës së tij. Të shprehëlartësinë e trekëndëshit barabrinjës me anë të brinjës së tij.II. Të zbatojë lidhjet midis brinjës së katrorit dhe diagonales për tëllogaritur syprinën e katrorit.III. Të gjejë syprinën e trekëndëshit barabrinjës me anë të brinjës së tij.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë përgatitore.3. Punë e pavarur.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore.Jepet katrori me brinjë a = 4 cm. Gjeni diagonalen.Jepet katrori me diagonale 6 cm. Gjeni brinjën e tij.Më pas mësuesi/ja duhet të kalojë në rastin e përgjithshëm.Jepet katrori me brinjë a. Gjeni diagonalen d në lidhje me brinjën a.d = a . Gjeni brinjën a në lidhje me diagonalen d. Jepet syprina e katroritnë lidhje me diagonalen d . S =Punë e pavarur.Jepet drejtkëndëshi ABCD. Në meset e brinjëve të tij formohet katrori mebrinjë 4 cm. Gjeni syprinën e drejtkëndëshit ABCD.Pas punës së pavarur kalohet te zbatimi 3, 4 (shih Matematikën 9, faqe 81).Është e rëndësishme të shprehet syprina e trekëndëshit S =a Më pas shprehen katetet e trekëndëshit kënddrejtë me hipotenuzën a dhenjërin kënd të ngushtë 30 0 .!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 81..67

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 4.17Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zbatojë teoremat e Pitagorës drejtpërdrejt në zgjidhjen e trekëndëshitkënddrejtë.II. Të gjejë vlerën e segmentit të panjohur në figura të dhëna duke zbatuarteoremën e Pitagorës.III. Të zgjidhë problema duke zbatuar të kombinuara teoremat e Euklidit dhetë Pitagorës.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.Metodat që rekomandohen:1. Analizë problemore.2. Punë individuale.3. Punë e pavarur (grupi).4. Ilustrim grafik (figura, tabela).Zhvillimi i temës së re:Punë e pavarur.Mësuesi/ja jep si punë të pavarur këtë ushtrim:Gjeni lartësinë e ndërtuar mbi hipotenuzë dhe katetet në trekëndëshinkënddrejtë me segmente në hipotenuzë 4 cm dhe 9 cm të caktuar nga lartësia.CahbA4D 9cBMë pas nxënësit punojnë ushtrimin 3.D AC = xACB = 90 0BAD = 3cm,8 CAD = 120 03120 o AD = 8cmBD = x.C3AZgjidhje: Në trekëndëshin kënddrejtë ABC kemi nga teorema e Pitagorës:AB = AC + BC ⇒ AB = + ( )AB = + ⇒ AB = ⇒ AB = cm68

Vëmë re se: AB = = BC ⇒ CAB = 30 ⇒ BAC = 90nga ku: BD = AB + AD ⇒ x = + = + = 100x = 100 ⇒ x = 10cmNxënësit punojnë me kujdes ushtrimin 7.AaRCaoRDa2 0 0BJepet OA = OB = OC = R Gjeni a = ?AB = BC = AC = aZgjidhje: Meqenëse trekëndëshi ABC është barabrinjës, atëherë:Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”0AOB 3600= = 120 ⇒ ∆AODkënddrejtë, ku:AOB = 60 ⇒ CAD = 30 ⇒ OD = OA =R0 0 Ndërsa: OA 2 = AD 2 + OD 2R! = ⎛ R a a R a R⎝ ⎜ ⎞RR ⎠⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ ⇒ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟ ⇒ = − a R − R= a⇒ a = R ⇒ a = R ⇒ R = a = cmZbatim numerik për R = 6 cm.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, figura 2; 5 dhe 8, faqe 82.Mësimi 4.18Tema: Formula për largesën ndërmjet dy pikave në planin koordinativObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulën mbi largesën ndërmjet dy pikave me koordinata tëdhëna.II. Të gjejë largesën ndërmjet dy pikave duke zbatuar formulën për largesën.III. Të zgjidhë problema duke zbatuar formulën mbi largesën të kombinuar meformula të tjera.y BLargesa ndërmjet dy pikave:Mjete ndihmëse:A1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.oA (x 1; y 2); B (x 2; y 2);x3. Tabela me formula.AB = ( x2 − x1) + ( y2 − y1)69

Si te rastet e mësipërme kemi:AC = x 2– x 1dhe BC = y 2– y 1⇒ AB 2 = AC 2 + BC 2 2 2= (x 2- x 1) + (y 2- y 1) ⇒ .AB = ( x − x ) + ( y − y )!2 12 1Këtë formulë do të pranojmë për çdo rast.Kështu do të pranojmë se për dy pika: A (x 1; y 1) dhe B (x 2; y 2) kemi largesë:AB = ( x2 − x1) + ( y2 − y1) .Punë e pavarur.Gjeni AB, nëse A (3; 2), B (-6; 4).Gjeni perimetrin e trekëndëshit ABC, nëse A (1; 1), B (-3; 0), C (4; 3).Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2/d, 3, faqe 83.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 4.19Tema: Problema ndërtimiObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të rikujtojë formulimet e teoremave të Euklidit dhe Pitagorës për një trekëndëshkënddrejtë.II. Të dallojë segmentet, gjatësitë e të cilave janë në formulimin e barazimit tëEuklidit dhe Pitagorës.III. Të ndërtojë segmentin x që lidhet me segmentet e dhënë me anë të barazimevetë Euklidit dhe Pitagorës.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formulat e teoremavetë Euklidit dhe Pitagorës.Metodat që rekomandohen:1. Ilustrim grafik (figura, tabela).2. Analizë + sintezë.3. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Kujdes! Problemat e ndërtimit janë ndër problemat e vështira të gjeometrisë,prandaj mësuesi/ja duhet t’u kushtojë një vëmendje të veçantë.Këto problema zgjidhen në 4 etapa: analizë, ndërtim, vërtetim, diskutim.Analiza: është etapa e parë, në të cilën problema mendohet si është zgjidhur.Ketej lidhen të dhënat dhe të panjohurat.Ndërtimi: është etapa e dytë. Në këtë fazë të zgjidhjes mbështetemi te lidhjet qëzbuluam në etapën e analizës,behet ndërtimi.Vërtetimi: është etapa e tretë. Verifikohet nëse ndërtimi është ai që duhet apoështë i gabuar.71

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Diskutimi: këtu diskutohet numri i zgjidhjeve të problemave (d.m.th. përveç ndërtimittonë ka një ndërtim tjetër apo ky ndërtim është vetëm i imagjinuar dhe nuk është imundshëm).Meqenëse këto problema kanë ngarkesë, mësuesi/ja duhet të zbatojë problematë “thjeshta”, të cilat kanë një etapë analize e ndërtimi të shkurtër. Problematduhet të jenë sa më të kuptueshme nga nxënësit.P.sh. Le të marrim këtë problemë:Ndërtoni segmentin x të tillë që lidhet me segmentet e dhënë a dhe b me anëtë barazimit x = a b .Zgjidhje: Mendoj se segmentet janë:abKërkojmë segmentin x.Analizë: Mendojmë se prodhimi është i zgjidhur, që do të thotë se segmentiështë x = a bndërtuar nga x =a b ⇒ x = a • b (x-i i mesëm i përpjesshëmi a dhe b).Kujtojmë se një lidhje të tillë e gjejmë te teoremat e Euklidit, d.m.th. x ështëose njëri katet i trekëndëshit kënddrejtë ose lartësi e ndërtuar mbi hipotenuzë.CCxosexA D aBbAaDbBNdërtimi: Duhet të përdorim kompas, sepse dimë se këndi rrethor që mbështetetnë diametër është i drejtë. Ndërtojmë gjysmërrethin me diametrin e segmentit më tëmadh (në këtë rast segmentin b). Në diametrin AB ndaj segmentin AD = a.CAxaDBNga D ndërtojmë pingulen me diametrin[AB], që do të presë rrethin në C.Segmenti [AC] është segmenti x, osenjëlloj si më lart për diametrin AB = a + b.72Vërtetim: Vërtetohet ABC, meqenëse AC = x është katet i ABC kënddrejtënë C, dimë nga teorema e Euklidit se AC 2 = AD • AB ⇒ x 2 = a • b ⇒ x = a • bose njëlloj për x = CD.

Diskutimi: Problema ka një zgjidhje të vetme, sepse gjithnjë ndërtohet njëgjysmërreth dhe në të (gjysmërreth) pika C është gjithnjë e vetme.!Mësimi 4.20Tema: UshtrimeDetyrë shtëpie. Ushtrimi 1/a, c.Kjo temë ka të njëjtat objektiva me temën 4.19. Prandaj do të zhvillohet njëlloj.Përveç zbatimit të drejtpërdrejtë të teoremave të Euklidit dhe të Pitagorës, ka rastetë zbatimit të ndërthurur te të dyja teoremat. Për të ndihmuar mësuesit po japimzbërthimet e segmentit x, sipas ushtrimeve dhe teoremës që zbatuam.Ushtrim 1: a. x = a + b ⇒ x = ( a) + b T.P.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”b. xa = ⎛ b⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ + T.P.c. x ab ( a) bT.E. d. x = a + ab= = + ( )Këtu në fillim ndërtohet segmenti y, i tillë që y 2 = ab, T.E. dhe pastaj segmenti x,i tillë që x 2 = a 2 + y 2 . e. Njëlloj si pika d) x = a − ab ⇒ x = a − yf. x = ( a) bT.E.Ushtrim 2:a. x = a ⇒ x = a ⇒ x = a + a T.P.ose x = ( a)• a a a ab. x = ⇒ x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟aose x aa ⎛ ⎞= = ⎝⎜⎠⎟T.P.T.E.c. x = a ⇒ x = a − a = ( a) − a T.P.ose x = ( a) aT.E. a a a ad. x = ⇒ − = ⎛ a a ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ T.P. a ⎛ a⎞ose x = ⇒ x = a ⎝⎜⎠⎟T.E. Ushtrimi 3, njëlloj si ushtrimi 1 me zëvendësimet e segmenteve a, b.Ushtrimi 4 është dhënë gabim. Ai zgjidhet në mësimet e mëvonëshme.73

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Ushtrimi 5/a:x 2 = a 2 + b 2 + c 2 . Në fillim ndërto y të tillë që y 2 = a 2 + b 2 – T.P., pastaj x i tillë që x 2= y 2 + c 2 – T.P. b. Njëlloj si a vetëm x 2 = y 2 – c 2 .Për çdo ushtrim që do tú jepet nxënësve këto udhëzime janë të domosdoshme.Mësimi 4.21Tema: Ushtrime për përsëritjeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të rikujtojë vetitë e figurave. Të rikujtojë teoremat e Euklidit dhe Pitagorës. Tëgjejë elementet e drejtkëndëshit duke zbatuar teoremat.II. Të zgjidhë problema duke zbatuar në mënyrë të kombinuar teoremat mbifigurat.III. Të zbatojë në mënyrë të kombinuar teoremat e Euklidit dhe Pitagorës përndërtimin e segmenteve të panjohura.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formulat e teoremavetë Euklidit dhe Pitagorës.Metodat që rekomandohen:1. Analizë problemore.2. Ilustrim grafik (figura, tabela).3. Punë e pavarur (grupi).4. Kllaster.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja duke tërhequr mendimet e nxënësve paraqet tabela të gatshme përkëto bllokskema:TrapezKatërkëndëshParalelogramDrejtkëndëshRombKatrorFjalët: katërkëndësh, trapez, paralelogram, drejtkëndësh, romb, katror. Diskutohenvetitë e tyre.Punë e udhëhequr.Nxënësit punojnë problemën 1, faqe 86.74

Shënim: Korrigjoni bazën e madhe 38 cm.Jepen:ABCD trapez,AB = 38 cm,CD = 22 cm ,AD = 26 cm,BC = 30 cm.Zgjidhje: Shënojmë BF = x ⇒ AE = 38 – 22 – x ⇒ AE = 16 – xNë ∆ AED h 2 = 26 2 – (16 – x) 2 . Në ∆ BCF h 2 = 30 2 – x 2 .26 2 – 16 2 + 32x – x 2 = 900 – x2 ⇒ 32x = 900 – 676 + 256 ⇒ 32x = 480.x = 15 BF = 15 cm AE = 16 – 15 = 1 AE = 1cmh 2 = 30 2 – 15 2 ⇒ h 2 = 900 – 125 ⇒ h 2 = 675 ⇒ h = ⇒ h = 15 .Përgjigje: Lartësia 15 3.Projeksionet e brinjëve anësore janë AE = 1 cm dhe BF = 15 cm.Punë e pavarur.Mësuesi/ja u jep nxënësve ushtrimin 5.!Kërkohen:DE = CD = h (lartësia),AE = ?, BF = ?Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, 6, faqe 86.26D 22hCA E F38h30BLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 4.22Tema: Këndi, harku dhe matja e tyreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e këndit. Të dallojë kuptimet kënd 1 0 dhe kënd 1 radian.Të dallojë këndet qendrore me këndet rrethore. Të dallojë masën e harkut ngagjatësia e tij.II. Të gjejë masat e këndit rrethor (qendror) duke zbatuar lidhjen me masën eharkut ku mbështetet.III. Të shprehë masën e një këndi nga masa në gradë, në minuta etj.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me figura.BKëndiMetodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustruesi grafik (figura, tabela).3. Punë e pavarur (grupi).AoAoB75

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Punë e pavarur. Gjatë punës së pavarur duhet të këmbëngulet te kuptimi i kënditsi figurë gjeometrike, me qëllim që në mënyrë të thjeshtë të futim në kuptimin e kënditrrotullimin dhe kahun e tij. Nxënësit ndërtojnë një kënd AOB . - A mund të përkufizonikuptimin e këndit? -Ku ndryshojnë AOB dhe BOA ? Vini re figurën.BoPër të kuptuar më qartë, vëreni akrepat e orës.Nëse është e nevojshme ndërhyn mësuesi/ja duke dhënë përkufizimin për këndin.Ai/ajo tregon para nxënësve figurat. Nëse gjysmëdrejtëza [OA) për tú bashkuar me[OB) rrotullohet sipas drejtimit të rrotullimit të akrepave të orës, këndi do të marrëmasë numër negativ. P.sh. -30 0 ; -45 0 ; -90 0 etj.ABoANëse gjysmëdrejtëza [OA) për tù bashkuar me gjysmëdrejtëzën [OB) rrotullohetnë drejtimin të kundërt, këndi do të merret me masë pozitive.P.sh. +30 0 ; +45 0 ; +60 0 ; +90 0 etj.Themi se AOB dhe këndi BOA janë të kundërt. Më pas kalohet te masae këndit.Në këtë pjesë është e rëndësishme të theksojmë masën në radian të këndit.P.sh. Π ; Π ; − Π , − Π etj.Nxënësit ndërtojnë një rreth. Në të ndërtojnë një kënd qendror AOB (O qendrae rrethit) dhe AMB (M një pikë në rreth). Nxënësit duhet të krahasojnë këndet dhetë tregojnë lidhjen ndërmjet masës së këndit AOB me masën e harkut AB .BMoA76

Kujdes! Masa e harkut AB nuk është e njëjtë me gjatësinë e AB .Këtu duhet theksuar se veprimet me masat e këndeve (harqeve) janë të njëjta meveprimet me numrat e emëruar.P.sh. 20 0 + (-40 0 ) – (-15 0 ) = 30 0 – 40 0 + 15 0 = 45 0 – 40 0 = 5 0!OseΠ Π Π Π Π Π Π Π Π Π+ ⎛ ⎞− ⎝⎜ ⎠⎟ − ⎛ − ⎞⎝⎜ ⎠⎟ = − + = − +=12 12Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 4, faqe 88.Gjeni vlerën 15 0 – 30 0 – (-150 0 + 20 0 ); Π ⎛ ΠΠ⎞− Π− − ⎝⎜ ⎠⎟ =Mësimi 4.23Tema: Formula për gjatësinë e harkut(radian)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulat mbi gjatësinë e harkut me masë në gradë (radian). Tëshkruajë formulën mbi kalimin e masës së harkut (këndit) nga masa gradë në masënradian dhe anasjellas.II. Të gjejë gjatësinë e harkut duke zbatuar formulën. Të kthejë masën e këndit(harkut) nga masa në gradë në masën radian dhe anasjellas.III. Të vërtetojë formulën mbi gjatësinë e harkut. Të vërtetojë formulën mbi kalimine masës së këndit nga gradë në radian.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Në këtë orë mësimi është e rëndësishme të nxirret formula mbi gjatësinë l tëharkut R l = Π α , ku α masa në gradë e harkut, e njëjtë me njësinë e rrezes.180 dhe l gjatësia në cm, dm etj.l = a R, ku a masa në radian e harkut.Vini re formulën l = a R, nëse a = 1 radian, atëherë l = R (harku 1 radian ështëharku me gjatësi sa gjatësia e rrezeve të rrethit). Formula e kalimit të masësnga gradë në radian dhe anasjellas është: α180 = a ().ΠPunë e pavarur.Gjeni gjatësinë e harkut me rreze R = 4 cm dhe masa α = 30 0 ( a = Π radian).Ktheni masat e këndeve (harqeve) nga gradë në radian dhe anasjellas nëse:1. a. α = 45 0 ; b. α = -150 0 ; c. α = -30 0 ;2. a. a = Π ; b. a = − Π ; c. a = Π − ;Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 4, 6, faqe 89.!77

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 4.24Tema: Përkufizimi i sinusit dhe kosinusit të një këndi nërrethin trigonometrikObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin rreth trigonometrisë. Të përkufizojë sinusin e këndit(harkut). Të përkufizojë kosinusin e këndit (harkut).II. Të gjejë sinusin dhe kosinusin e këndit (në të paktën 4 raste të dhëna).III. Të thjeshtojë shprehje trigonometrike. Të gjejë vlerën e këndit kur jepet vlera esinusit (kosinusit) të tij. Të ndërtojë kënde, kur njihet vlera e sinusit (kosinusit).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me vlerat e sinusit dhekosinusit (shih faqe 91).4. Tabela me rrethin trigonometrik.Metoda që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustruesi grafik (figura, tabela).3. Punë e pavarur (grupi).RrethitrigonometrikyB1(0;1)A1(-1;0)aoM(x;y)xpA1(1;0)Zhvillimi i temës së re:B1(0;-1)Punë përgatitore.Në punën përgatitore të kërkohet nga nxënësit që të ndërtojnë njësistem koordinativ dhe me qendër O (origjinën e sistemit koordinativ) tëndërtojnë rrethin me rreze 1 njësi.Mësuesi/ja thotë përkufizimin e rrethit trigonometrik.Kujdes! Figura që gjendet te teksti i nxënësit duhet plotësuar si figura më lart.Më pas kërkohet që nxënësit të zgjedhin një pikë M në rreth (sipas dëshirës).Nxënësit duhet të gjejnë koordinatat e pikës M.Më pas ndërhyn mësuesi/ja me pyetjen:- A mund të themi se pika M cakton këndin AOM me masë α (gradë) oseharkun AM me po atë masë?Në këtë moment kalohet te përkufizimet 2, 3.Kujdes! Te figurat e faqes 90-të, të bëhen plotësimet përkatëse.Punë e pavarur.Punohet me ushtrimin 4/a. Gjeni x nëse sin x = 0,5 ⇒ sin x = 1 , nga tabelakemi x = 30 0 ose x = 150 0 , 3/b, c, N. 4/b, d, faqe 51.78!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4/b, d, faqe 91.

Mësimi 4.25Tema: Studimi i funksionit sinusObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shprehë me anë të barazimit funksionin sinus (kosinus).II. Të skicojë grafikun e funksionit sinus (kosinus).III. Të studiojë nga grafiku monotoninë e funksionit sinus (kosinus).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me grafikët e funksionevetrigonometrike, të përgatitur në letërtë milimetruar.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustruesi grafik (figura, tabela).3. Punë e pavarur (grupi).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”fig. 1Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja thekson:Funksioni që çdo x ∈ [0 0 ; 360 0 ] ose x ∈ [0; 2 Π ] e lidh me vlerën e y = sinxnë [-1; 1] quhet funksioni sinus i x.Njëlloj veprohet edhe me y = cosxMë pas kalohet te studimi i funksionit y = sinx, y = cosx.1. x = 0. Këtu pika M është te pika A në rrethin trigonometrik.sin0 = 0, cos0 = 12. x = 30 0 .Shiko tabelën në faqen 91.sin30 0 = 1 , cos300 =Kështu vazhdohet deri te vlera x = 360 0 (x = 2 Π ).Të theksohet se duke bashkuar pikat me koordinata (x; sinx) në formë pak tëlakuar fitohet grafiku i funksionit y = sinx, që quhet sinusoidë dhe duke bashkuar pikatme koordinata (x; cosx) në formë pak të lakuar fitohet grafiku i funksionit y = cox qëquhet kosinusoidë.Pas ndërtimit të grafikut është e rëndësishme të studiohet zmadhueshmëria dhezvogëlueshmëria e vlerave të sinx (cosx). Shiko punën e pavarur, faqe 93.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, faqe 93.79

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 4.26Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të lidhë shprehjen trigonometrike me shenjën që merr vlera e saj. Të krahasojëvlerat e sinusit (kosinusit).Të gjejë këndin kur dihet vlera e sinusit (kosinusit) duke përdorurtabelën përkatëse.II. Të ndërtojë këndin në rrethin trigonometrik, kur dihet vlera e sinusit(kosinusit) të tij. Të zgjidhë ekuacione trigonometrike të thjeshta.Të ndërtojë grafikun e funksionit të formës y = a sinx (y = b cosx).III. Të gjejë vlerën më të madhe dhe më të vogël të shprehjeve trigonometrike(p.sh. 1 ). Të zgjidhë inekuacionin trigonometrik duke u mbështetur te rrethisin x + 1trigonometrik (p.sh.: sinx > sin 50 0 ).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me rreth trigonometrik dhegrafikët e funksioneve trigonometrike.Metodat që rekomandohen:1. Analizë problemore.2. Ilustruesi grafik.3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.Zhvillimi i temës së re:Në këtë orë mësimi mësuesi/ja si punë të udhëhequr jep këto ushtrime:1. a. Ndërto këndin α të tillë që sinα = (gjejme x nëse cos x = )b. Ndërto këndin α të tillë që cosα = − 1 (gjejme x nëse sin x = )Si ilustrues të përdoret rrethi trigonometrik.MBfig. 1x 1 A1PNoAx80M1Zgjidhja e pikës b: Meqenëse vlera e cos α është abshisa e pikës, atëherë nëboshtin (x’x) ndërtojmë pikën P me abshisë − 1 dhe nga kjo pikë ndërtojmë ⊥ me(x’x) që do të presë rrethin trigonometrik me dy pika M e M’, shiko figurën.1. Këndi α është AOM ose AOM' .B1

2. Ushtrimi 3 (është i thjeshtë, kujto vlerat e sinusit (kosinusit)).3. Gjeni x të tillë që sinx > sin50 0 .Zgjidhje: Përsëri në rrethin trigonometrik ndërtojmë me masë 50 0 , kështumarrim m ( AOM ) = 50 0 , d.m.th. pika M.yx 1A1M1B130o50MAxMeqenëse vlerat e sinusit janë koordinata tëM-së, atëherë nga M-ja ndërtojmë ⊥ me (y’y),që pret rrethin në M’, nga figuram ( AOM’ ) = 130 0 .Në rreth duket se pikat e fundit të harqeve(këndeve) që plotësojnë sinx > sin50 0 do të jenënë harkun MBM , d.m.th. 50 0 < x < 130 0 1.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”!B1y1Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 f/ i, 4/d, 5 d/f, faqe 94.Mësimi 4.27Tema: Formula themelore e trigonometrisëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulën themelore të trigonometrisë.II. Të zbatojë formulën themelore të trigonometrisë për të gjetur vlerën sin α(cos α ), kur dihet vlera e njërit.III. Të vërtetojë formulën themelore të trigonometrisë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Rrethi trigonometrik.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustruesi grafik.3. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të ndërtojnë rrethin trigonometrik dhe në tëtë zgjedhin pikën M. Ai/ajo kërkon të shënojnë koordinatat e pikësM (cos α ; sin α ), dihet se O(0, 0) dhe OM = 1.Mësuesi/ja kërkon që të shprehet largesa OM me anë të formulës.OM =(cos a − o) 2 + (sin a − ) 2 2⇒ a + sin 2 20 1 = cos a ⇒ cos a + sin2 a = 1...etj.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, 4, faqe 95.81

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 4.28Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë sinusin e këndit kur jepet katrori i tij dhe anasjellas.II. Të thjeshtojë shprehje trigonometrike duke zbatuar formulën themelore.III. Të zgjidhë ekuacione trigonometrike.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Ilustruesi grafik.2. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Në këtë orë mësimi, nxënësit në formën e punës së udhëhequr të zgjidhinushtrimet 1 dhe 2, faqe 96.Zgjidhje: Kujdes! Meqenëse këndi është në kuadratin e dytë( Π Π2 < α < ), atëherë vlera e kosinusit është negative, domethënëcosα= − 1− sin α = − 1− 4821 1= − = −49 49 7Ushtrimi 3/b.Këtu duhet kujtuar A + 2AB + B = ( A + B) ⇒ A + 2A 2 B + B = ( A + B) 2 .4 2 2 4 2 2 2Kështu që cosα + 2cos α • sin α + sin α = (cos α + sin α)2= 1 = 1Për ushtrimin 5 shikohet zgjidhja e tekstit.Punë e pavarur.Gjeni cosα sin , = nëse − 4 cosα = − 4 5 dhe Π Π52 < α < .Ushtrimi 4/b, ky ushtrim zgjidhet njëlloj si pika 2, por këtu vlera është e dhënë2 2përpara, që do të thotë se duhet të tregohet se:sin α sin α+ ka vlerë 2.1+cosα1 − cosα!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3/c, 4/c, 6/d, faqe 96.82

Mësimi 4.29Tema: Tangentja dhe kotangentja e një këndiObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë tangjenten (kotangjenten) e një këndi.II. Të gjejë vlerat e tangjentes (kotangjentes) së një këndi.III. Të ndërtojë këndin në rrethin trigonometrik, kur dihet vlera e tangjentit(kotangjentit) të tij.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me rrethin trigonometrik(figurat 1 dhe 2 në faqet 97-98).Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore. Mësuesi/ja duhet të tregojë kujdes në realizimin e kësajpune:a. Ndërto një rreth trigonometrik,b. Nga pikat A dhe B ndërto tangjentet me rrethin,c. Zgjidh këndin AOM me masë α . Shëno me T e S pikëprerjet e [OM)me tangjentet,d. Kujto koordinatat e pikës M ( cosα,)ysinαe. Shëno koordinatat e pikave T, S.B(0;1)SaMT(-1;0) oP A(1;0)xB1(0;-1)y1Nxënësi do të përgjigjet T(1; y T); S(x S; 1).Mësuesi/ja thekson përkufizimet 1 dhe 2.Më pas vazhdohet si në tekst, ku y ky T MyMyT1 = kx⇒ = .MxMxMα(Kujdes! Në tekst është shënuar gabim yT= ), domethënë tgα = sin (1).yMcosαcosαNjëlloj cot gx =sinα (2) duke krahasuar 1 me 2 trego se 1tgx = ose .cot gxcotgα= 1 tgα83

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Është e rëndësishme të theksohet se për vlerat e tgα = do c të kërkohet ordinatae pikës T (vëmë re ku është pika T), që do të thotë kur jepet vlera e tgα = c përtë ndërtuar këndin α mjafton të zgjedhë [AT], të tillë që y T= c, njëlloj për rastincotgα = d .Këtu mësuesi/ja merr një shembull: 1 tgα = ose cotgα = − 1 .Punë e udhëhequr.2Diskutohen ushtrimet 4 dhe 5, faqe 98.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/a, 3/b, c, faqe 98.Mësimi 4.30Tema: Studimi i funksionit tangent dhe kotangentObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shprehë në formën y = f(x), x ∈ E funksionin tangjent (kotangjent).II. Të skicojë grafikun e funksionit tangjent (kotangjent).III. Të ndërtojë këndin në rreth nëse jepet vlera e tangjentes (kotangjentes).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Rrethi trigonometrik i plotë.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesi grafik (figura, tabela, grafikë).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Kujdes! Te puna përgatitore nxënësi të ketë parasysh:y = tgx për x ≠ Π 2 dhe x 3Π2Duke punuar sa më thjesht në rrethin trigonometrik, mësuesi/ja kërkon nganxënësit të gjejnëduke diskutuar ordinatën e pikës T për rastet kur x = 0; x = Π 6 ; x = Π 4 ; x = Π 2 ;x = Π etj.Më pas kërkohet që të skicohet grafiku (shiko tekstin, faqe 99).Njëlloj për y = cotgx, përsëri në formë të punës së udhëhequr (mos harro sepër nxënësit nuk do të jetë e lehtë të skicohen këta grafikë).Nga grafikët të studiohet kur tangjentja (kotangjentja) është rritëse ose zbritëse.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, faqe 100.84

Mësimi 4.31Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të gjejë vlerën e tangjentes (kotangjentes) kur duhet vlera e njërës prej tyre.II. Të gjejë tangjenten (kotangjenten) kur duhet sinusi i këndit.III. Të zgjedhë inekuacionin trigonometrik (p.sh., tgx ≤ 1).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Rrethi trigonometrik.4. Grafikët për tangjenten (kotangjenten).Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesi grafik.3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Punë e pavarur. Mësuesi/ja u jep nxënësve për punë të pavarur:Gjeni tg α , nëse cotg α = − Gjeni tg α dhe cotg α , nëse sin α = 1 dhe α ∈ ] Π Π ; [, por për këtë shikoushtrimin e zgjidhur, faqe 100.Më pas kërko që nxënësit të krahasojnë p.sh. tg 32 0 me tg 46 0 .Nxënësve u vjen në ndihmë grafiku i y = tg x. Të cilin në një tabelë mund tapërdorim si mjet mësimor.Meqenëse y = tg x është rritës për x ∈ [0 0 ; 90 0 [, atëherë themi setg 32 0 < tg 46 0 .Njëlloj veprohet edhe për rastet e tjera.Tek ushtrimet tregoni shenjën, p.sh. tg 135 0 – tg 120 0 , duhet krahasuartg 135 0 me tg 120 0 .Më pas mësuesi/ja së bashku me nxënësit punon ushtrimin 2.Në fund duhet punuar ushtrimi 10, po paraqesim zgjidhjen e pikës a ( tgx ≤ )yZgjidhje: Në tangjenten me rrethin(të ndërtuar në A).BGjej AT = (pikën T, që ka ordinatëM T), bashko pikën T me O dhe ex zgjatur që presë rrethin në M dhe M’.ATë gjitha këndet (harqet) që kanëM1fundin në MAB' ose në BA MA1B1kanë vlerën tgx ≤1 185

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Kështu 0 ≤ α ≤Π ose Π < α ≤Π ose Π !< α ≤ΠSiç vihet re, ushtrimet 2 dhe 10 nuk janë të lehta, prandaj këshillohen përnxënës të nivelit të lartë.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 c/d, 4 c/d, 5, 9/c, faqe 101.Mësimi 4.32Tema: Lidhja ndërmjet vlerave të funksioneve trigonometriketë disa këndeveObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulat e trigonometrisë për këndet shtuese (plotësuese).II. Të gjejë vlerën e sinusit (kosinusit) të një këndi, kur duhet vlera e tij përkëndin shtues (plotësues). Të zbatojë tabelat në llogaritjen e vlerave tëfunksioneve trigonometrike të këndeve nga 0 0 në 90 0 .III. Të thjeshtojë shprehje trigonometrike, duke zbatuar formulat e trigonometrisëpër këndet shtuese (plotësuese).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Rrethi trigonometrik.4. Tabela e vlerave të funksionevetrigonometrikeMetodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesi grafik.3. Punë e pavarur (grupi).4. Shpjegimi arsyetues.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në fillim jep këndet:a. 30 0 , 150 0 ; b. 50 0 , 130 0 ; c. Π , Π etj.Kërkohet shuma.E rëndësishme është që nxënësit të shkruajnë formulat (1), faqe 102.86Punë e pavarur.Mësuesi/ja e organizon punën e pavarur në formën e punës me grupe osepunë individuale. Ai/ajo duhet të shpjegojë si do të përdoret tabela e faqes 227.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 4, 5 b/c/h (kërkesa x ∈ [0; Π [), 5/h0 0 0Udhëzim: tgx = cot g 0 ⇒ tgx = tg 20 ⇒ x = 20

Mësimi 4.33Tema: Marrëdhëniet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë lidhjen ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve nënjë trekëndësh kënddrejtë dhe brinjëve.II. Të shkruajë një formulë për syprinën e trekëndëshit duke zbatuar lidhjennë trekëndëshin kënddrejtë (zbatim).III. Të vërtetojë formulat që lidhin funksionet trigonometrike të këndevenë trekëndëshin kënddrejtë me brinjët.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Rrethi trigonometrik.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesi grafik.3. Punë e udhëhequr.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u rikujton nxënësve nga klasa e tetë prodhimin e vektorit me njënumër.Më pas fillon puna me teoremën në fillim të faqes 104.Pas vërtetimit të teoremës 1, mësuesi/ja thotë se në çdo trekëndësh kënddrejtëABC ku:Ba. kateti përballë këndit α ose kateti anash këndit β .b. kateti përballë këndit β ose kateti anash këndit α . abc. hipotenuza.Kemi: sin α = a c =kateti përballë (gjatësia)hipotenuza (gjatësia)cos α = b c = kateti anëshkruarhipotenuzaCcADuke zbatuar formulat e mësimit 3.32: sin α = cos β , cos α = sin β , dheformulat për tangjentin gjejmë:tg α = a kateti përballë= dhe tg α = cotg βc kateti anëshkruarcotg α = b c =kateti anëshkruarkateti përballëdhe cotg α = tg βTheksojmë se këto formula janë të rëndësishme për trekëndëshin kënddrejtë.Punë e udhëhequr. Gjeni një formulë për syprinën e trekëndëshit çfarëdo nësejepen brinjët AB = c, AC = b dhe m(BAC ) = α .87

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”bBc DAZgjidhje: Dimë se S =AB h(1), por nga që ∆ ABC kënddrejtë dhe h katetipërballë këndit α , kurse b hipotenuzë, kemi sin α = h b ⇒h = b sin α , duke zëvendësuar te (1) kemi:S c =bChsinα⇒ S = 1 b csinα!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3 te teksti Ushtrime Matematika 9.Mësimi 4.34Tema: Marrëdhëniet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulat e zgjidhjes së trekëndëshit për secilin rast.II. Të zbatojë formulat e gjetura në të katra rastet duke zëvendësuar të dhënat.III. Të gjejë syprinën e trekëndëshit kënddrejtë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Punë në grup.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja trajton katër ushtrimet duke shkruar formulat e zgjidhjes.Nxënësit bëjnë vetëm zbatimet e duhura.Kujdes! Problema 2 duhet korrigjuar, duhet hipotenuza me gjatësi c dhekënd α .Te zbatimi vlerat e funksioneve trigonometrike i gjeni te faqja 227.!Detyrë shtëpie. Ushtrimi 1 b/c, faqe 106.88

Mësimi 4.35Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të gjejë syprinën e një trekëndëshi (paralelogrami).II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë.III. Të gjejë elementet e panjohura në një trekëndësh çfarëdo dukezbatuar formulat.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula trigonometrike.Metodat që rekomandohen:1. Analizë.2. Punë individuale.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja bën zgjidhjen e problemave 2/b dhe 8.Zgjidhja e problemës 2/b:CNë ∆ ABC: x c= cosα⇒ x = c cosα;xhyyc= sinα⇒ y = c sinαAu DvBNë ∆ ADC: u = cosα ⇒ u = x cosα ⇒ u = c cosα cosα ⇒ u = c cosαx v = c− u ⇒ v = c − c cos α ⇒ v = c( 1− cos α) ⇒ v = c sinαhx= sinα ⇒ h = x sinα ⇒ h = c cosα sinαZgjidhja e problemës 8:bCaNë ∆ ABC: h h= sinα⇒ b =bsinαhNë ∆ BDC: h h= sinβ⇒ a =asinβAC1DC2BB89

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Kurse: a = cosα⇒ a = b cosα⇒bhc1 = cosα⇒ c1= hcotgαc = cosβ⇒sinαahc = acosβ⇒ c = cosβ⇒ c= h cotgβsinβc = c1 + c2 = hcotg α + hcotg β ⇒ c = h ( tgα+ tgβ)S = 1 ab sin CC = 180 0 − ( α + β)1S = ab sin( α + β)!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/a, 4, faqe 117.Test kontrolli (mbi figurat plane)1. Jepet katërkëndëshi ABCD. Qarko pohimin e vërtetë:a. Këndet e tij janë të gjera.b. Shuma e këndeve të tij është 4d (katër kënde të drejta).c. Njëri kënd i tij është 2d.d. Shuma e dy këndeve të tij është 2d. (1 pikë)2. Jepet paralelogrami ABCD. Qarko pohimin e vërtetë:a. Diagonalet i ka pingule.b. Diagonalet i ka kongruente.c. Të gjitha brinjët i ka kongruente.d. Këndet me kulme në njërën brinjë i ka shtuese. (1 pikë)3. Në figurë (AA 1) || (BB 1). Qarko barazimin e vërtetë:B1A1oA BOA OBa. = ;AA BB1 1OA OBb. = ;OB OA1 1c.OB1OA= ;OA OB1AA OAd. = ;BB OA1 1(1 pikë)90

4. Në ∆ ABC dhe ∆ A 1B 1C 1kemi A≡ B1dhe B≡ C1. Atëherë ata:a. kanë C≡ A1≡ d .b. janë kongruentë.c. kanë [AB] ≡ [B 1C 1].d. janë të ngjashëm. (1 pikë)5. Paralelogrami ABCD ka bazën AB sa e AD, lartësinë mbi bazën sa 11e perimetrit.Gjeni syprinën, nëse perimetri i tij është 286 cm.(5 pikë)6. Katrori është i njëvlershëm me rombin me diagonalen 18 cm dhe 9 cm.Gjeni perimetrin e katrorit.(5 pikë)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”7. Gjeni gjatësinë e segmentit x me të dhënat e figurës.E2 C4(3 pikë)[DE] || [BC]xxAE3DB8. Trekëndëshi ABC ka perimetër 148 cm 2 dhe është i ngjashëm me trekëndëshinme brinjë 13 cm, 25 cm, 36 cm. Gjeni syprinën e trekëndëshit ABC. (5 pikë)9. Jepen pikat A (3; 2), B (-6; 4). Gjeni AB. (2 pikë)Vlerësimi:Nota 4 5 6 7 8 9 10Pikët 6 7-9 10-12 13-15 16-18 19-21 22-24Skema e qortimit1/b, 2/d, 3/a, 4/d 4 x 1 = 4 (1 pikë)Ushtrimi 5:1. Shkrimi AB = AD (ose b = a ). (1 pikë)2. Gjetja e lartësisë h nga barazimi h = 11 . (1 pikë)3. Shkrimi i perimetrit P = 2AB + 2AD = AD + 2AD (1 pikë)4. Gjetja e AB (AD). (1 pikë)5. Gjetja e syprinës. (1 pikë)91

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Ushtrimi 6.1. Barazimi i syprinave. (1 pikë)2. Gjetja e syprinës së rombit. (1 pikë)3. Paraqitja e syprinës së katrorit në formën a 2 = 81. (1 pikë)4. Gjetja e brinjës së katrorit. (1 pikë)5. Gjetja e perimetrit. (1 pikë)Ushtrimi 7.1. Shkrimi i raportit x= x + (1 pikë)2. Kthimi në emërues të përbashkët ose në formën 4(x + 3) = 6x (1 pikë)3. Gjetja e x-it. (1 pikë)Ushtrimi 8.1. Gjetja P 1= 13 + 25 + 36 = 74 (1 pikë)2. Gjetja e k nga P = k = (1 pikë)P13. Shkrimi S = k = (1 pikë)S14. Gjetja e S 1me formulën e Heronit.(1 pikë)5. Gjetja e S. (1 pikë)Ushtrimi 9.1. Shkrimi AB =( x2 − x1) + ( y2 − y1)(1 pikë)2. Gjetja e AB. (1 pikë)1. Këndi qendror a (radian), rrezja R dhe gjatësia l e harkut ku mbështetet këndiα lidhen me barazimin.a. lTest kontrolli (mbi trigonometrinë)a= ; b. lRR= ; c. laRa= Π 180; d. l = a • R (1 pikë)2. Shprehja cos 90 0 – sin 45 0 ; cos 45 0 + sin 30 0 është e barabartë me:a. 0; b. 1; c. -1; d. -2 (1 pikë)3. Jepet cosα = 1 dhe α është kënd i ngushtë, atëherë sin α është:a. 1 ; b. ; c. ; d. (1 pikë)4. Këndet α dhe β janë plotësues, atëherë vlera e shprehjes sin 2 α + sin 2 β :a. 0; b. cos 2 α + cos 2 β ; c. 2; d. sin 2 α + cos 2 β .(1 pikë)92

5. Thjeshto shprehjen:1 1+ ( α ≠ Π 1+sinα1 − sinα dhe α ≠ Π )6. Gjeni x ∈ [0; 2 Π ] të tillë që:3sin 2 x + 2cos 2 x = 37. Gjeni x ∈ [0; 2 Π ], të tillë që:tgx = cotg30 0(2 pikë)(4 pikë)(2 pikë)8. Krahasoni:a. tg32 0 me tg46 0b. sin134 0 me sin142 0c. cos50 0 me cos130 0 (3 pikë)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”9. Jepet trapezi dybrinjënjëshëm me baza 20 cm dhe 8 cm dhe këndin mekulm nëbazën e madhe 60 0 . Gjeni syprinën e tij.(4 pikë)10. Gjeni vlerat e x ∈ [0; 90 0 ] të tilla që: sinx < . (3 pikë)11. Gjeni vlerën e segmentit x në figurë: (3 pikë)BDxVlerësimi:CNota 4 5 6 7 8 9 10Pikët 6 7-9 10-12 13-15 16-18 19-21 22-24Skema e qortimit1/d, 2/a, 3/c, 4/b 4 x 1 = 4 (1 pikë)Ushtrimi 5.1. Vendosja në të njëjtën emërues. (1 pikë)2. Gjetja e vlerës . (1 pikë)Ushtrimi 6.cos α1. Zbatimi i formulës themelore. (1 pikë)2. Paraqitja e ekuacionit në sin 2 x = 1 (1 pikë)A93

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”3. Gjetja e 2 vlerave të x-it. (1 pikë)Ushtrimi 7.1. Paraqitja e ekuacionit në formën tgx = tg60 0 ose tgx = . (1 pikë)2. Gjetja e vlerës së x-it. (1 pikë)Ushtrimi 8.a. tg46 0 > tg32 0 (1 pikë)b. sin134 0 > sin142 0 (1 pikë)c. cos50 0 > cos130 0 (1 pikë)Ushtrimi 9.1. Ndërtimi i figurës me të dhënat. (1 pikë)2. Gjetja e brinjës anësore (12 cm). (1 pikë)3. Gjetja e syprinës së trapezit (të ndarë në dy ∆ ) në formulë trigonometrike.(2 pikë)Gjetja e lartësive ose gjetja e syprinës nga S a +=b h(2 pikë)Ushtrimi 10.1. Ndërtimi i rrethit trigonometrik. (1 pikë)2. Ndërtimi i këndit α që sinα = (1 pikë)3. Shkrimi i këndeve 0 ≤ x ≤ α (1 pikë)Ushtrimi 11.1. Gjetja e segmentit AC = 6 (1 pikë)2. Gjetja e x nga formula x = tg30 (1 pikë)Kreu VGJEOMETRIA NË HAPËSIRËMësimi 5.1Tema: Plane pinguleObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë planet prerëse dhe pingule. Të përkufizojë prerjen e drejtë tënjë dyfaqëshi.II. Të vizatojë plane prerëse dhe pingule. Të ndërtojë modele planeshprerëse dhe pingule.III. Të vërtetojë të paktën njërën teoremë mbi planet pingule.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Modele planesh, plane prerëse, plane pingule, shiko figurën në tekst. Këtomodele ndërtohen me kartonë me ngjyra, plani paraqitet në formë paralelogrami.4. Vizore, shkumësa me ngjyra.94

Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutimi problemor (leksioni i avancuar).3. Ilustruesit (me modele, figura).4. Përgjithësimi i arsyeshëm.5. Punë grupi.Zhvillimi i temës së re:Në këtë temë mësuesi/ja të evidentojë:1. Kur dy plane janë prerëse, duke e ilustruar me modele, figura në tabelë.2. Kur dy plane janë pingule; këtu kanë rëndësi modelet duke treguar dhemjedisin e klasës.3. Nga teoremat e pohimet që jepen, nxënësve t’u kërkohet një për vërtetim,të tjerat me dëshirë.Është e rëndësishme që pohimet të paraqiten në formën K ⇒ P , dhe në çdorast nxënësit të stërviten për të vizatuar bukur figurat në tabelë.Punë përgatitore. Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të vizatojnë në fletore një plan.Vizatoni një drejtëz në plan dhe një drejtëz jo të planit (shiko figurën).(a)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”(b)Mësuesi/ja u drejton nxënësve këto pyetje:- A mund të ndërtoni një plan tjetër β përveç planit α ?- A mundet që këto plane të jenë prerëse, po jo prerese? (Mendoni tavanine klasës me dyshemenë ose faqet e mureve përballë dhe jo përballë.)Mësuesi/ja vizaton dy plane prerëse dhe jo prerëse, më pas jeppërkufizimet përkatëse.Dy plane prerëse në hapësirë formojnë figurën hapësinore që do ta quajmëdyfaqësh.Planet do tì quajmë faqe të dyfaqëshit, ndërsa drejtëzën e ndërprerjes brinjëtë tij.Mësuesi/ja përkufizon prerjen e drejtë. Më pas vërtetohet teorema 1.!Detyrë shtëpie. Ushtrimi 2, faqe 110.95

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 5.2Tema: Sipërfaqja sferike. SferaObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të rikujtojë përkufizimin e sipërfaqes sferike (sferës) dhe të elementeve të saj.Të formulojë teoremën e prerjes së sipërfaqes sferike me një plan.II. Të llogaritë largesën qendrore të një prerjeje të sipërfaqes sferike.III. Të vërtetojë teoremën mbi prerjen e sipërfaqes sferike me një plan.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Modele me kartonë.Model i sipërfaqessferike mund të merret njëtullumbace e fryrë.4. Vizore, kompas.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutimi problemor.3. Ilustruesit grafikë (modele, figura).4. Punë e pavarur(punë grupi, punë individuale).Zhvillimi i temës së re:Meqenëse kuptimi i sipërfaqes sferike dhe i sferës është dhënë te kapitulli imatjeve, në këtë orë mësimi mësuesi/ja rikujton përkufizimet 1 dhe 2 dhe kalon tedhënia e kuptimeve: kordë, rreze, diametër. Ai/ajo jep përkufizimin e sferës, si pjesëe hapësirës e kufizuar nga sipërfaqja sferike.Më pas formulohen teoremat mbi prerjen e sipërfaqes sferike me një plan.Punë e pavarur.Mësuesi/ja jep problemat 1 dhe 2 për punë individuale.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, faqe 113.Mësimi 5.3Tema: Plani tangjent me një sferëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë sferën. Të dallojë gjendjet plan-sferë, duke i paraqitur mefigura në fletore.Të formulojë teoremën mbi planin tangjent me sferën.II. Të zbatojë vetinë e planit tangjent me sferën në problema, në të paktëndy raste.III. Të vërtetojë teoremën mbi planin tangjent.96

Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Modele, figura (shiko figurat në tekst).4. Vizore, kompas.Zhvillimi i temës së re:Në fillim mësuesi/ja do të rikujtojë me nxënësit përkufizimin e sferës.Nxënësit ndërtojnë figurat që tregojnë marrëdhëniet reciproke sferë-plan.Më pas ata duhet tì vendosin përpara një modeli, si figura 3, faqe 114 (p.sh. njëtop mbi një fletë xhami). Mësuesi/ja formulon teoremën mbi planin tangjent me sferën,kështu vërtetohen teoremat 1 dhe 2.Punë e udhëhequr.Sipas shembullit 1 punohet për punën e udhëhequr edhe ushtrimi 2, faqe 115.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, faqe 115.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia e integruar.2. Diskutimi problemor.3. Ilustruesit grafikë (figura, modele).4. Punë e udhëhequr(punë individuale).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 5.4Tema: ProblemaObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zbatojë kuptimin e prerjes së sferës me një plan në zgjidhjene problemave.II. Të gjejë raportet e syprinave të dy prerjeve të sferës me dy plane.III. Të zbatojë të kombinuar me kuptimet e tjera, kuptimin e prerjes së drejtë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Modele, figura.4. Vizore, kompas.Metodat që rekomandohen:1. Analiza problemore.2. Punë e udhëhequr.3. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Për objektivat e vëna në këtë temë duhet të punohen problemat 1, 5, 6, faqe116.97

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Duhet pasur kujdes në ndërtimin e figurave.Problema 1:AProblema 5:oMJepen OA = 20 cm; OM = 12 cm.Kërkohet: MA = ?Zgjidhje: Zbato teoremën e Pitagorës në ∆ OAM.BZgjidhje: Gjeni OO 2nga teorema e Pitagorës në ∆ OO 2B.Gjeni OO 1= OO 2+ O 1O 2.Gjeni O 1A me teoremën e Pitagorës në ∆ OAO 1.S (O2)= Π r 22= Π (O 2B) 2 S (O1)= Π r 12= Π (O 1A) 2SS(O)(O1)AΠ( OB)( OB)= =Π( O A)( O A)Problema 6:R1yMoo2o1T1BJepen: O 1O 2= 6 cm;S(O)Kërkohet: = ?OA = OB = 20 cm;S(O1)O 2B = 16 cm.S (O2)– syprina e qarkut me qendër O 2.S (O1)– syprina e qarkut me qendër O 1.. Këtu zëvendëso.Jepen: α ⊥ β ; Kërkohet: NR = ?,NMR = 90 0 ;NT = ?,MN = 12 cm; RT = ?,MR = 9 cm.MT = ?N x98

Zgjidhje: NR gjendet me teoremën e Pitagorës në ∆ NMRNT gjendet me teoremën e Euklidit NM 2 = NT • NR; RT = NR – NTMT me teoremën e Euklidit MT 2 = MT RT!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, faqe 116.Shënim: Figurat për problemat është mirë të jenë të gatshme, që të mos humbasëshumë kohë në orën e mësimit.Kreu VIVEKTORËTLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 6.1Tema: Gjysmëdrejtëzat dhe drejtimet e tyreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë gjysmëdrejtëzat me drejtim të njëjtë dhe të kundërt.II. Të ndërtojë gjysmëdrejtëzën duke treguar origjinën dhe drejtimin.III. Të tregojë gjysmëdrejtëza me drejtim të njëjtë dhe të kundërt, që përmbajnëbrinjët e figurave të njohura.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesi grafik.3. Punë e udhëhequr.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja punën përgatitore e kalon me nxënësit në mënyrë të drejtpërdrejtë,ndërsa te përkufizimi 2, faqe 118, duhet ndryshuar: Dy gjysmëdrejtëza [AB) dhe[CD) janë me drejtim të njëjtë, nëse ndodhen në drejtëza paralele dhe drejtëza qëbashkon origjinat e tyre (AC) i vendos ato (gjysmëdrejtëzat) në të njëjtën anë të saj(të (AC)).Pjesa tjetër e mësimit vazhdon si në tekst.Punë individuale.Mësuesi/ja u jep nxënësve ushtrimin 1, faqe 119.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 5, 6, faqe 120.99

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 6.2Tema: Vektori. Vektori me drejtim të njëjtë, me drejtim të kundërt.Vektorë të barabartë dhe të kundërtObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë vektorin, vektorët e barabartë dhe vektorin e kundërt.II. Të gjejë vektorë të barabartë (të kundërt) që formojnë brinjët e figuravetë njohura.III. Të përkufizojë me ndihmën e vektorëve figura gjeometrike(paralelogramin, rombin etj).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Shpjegimi i arsyeshëm.3. Diskutimi problemor.4. Punë e udhëhequr.5. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja ndjek tekstinMatematika 9.Kujdes! Drejtimi i AB është drejtimi [AB). (gjysmëdrejtëza [AB));ABKujdes! Këtu AA me O (vektor zero).Vektorët me drejtim të njëjtë:Do ta paraqitimshkurt.Themi se AB ↑↑ CD, atëherë dhe vetëm atëherë kur [AB) ↑↑ [CD).A BC Dose A B C DVektor me drejtim të kundërt, shëno AB ↑↓CD, atëherë dhe vetëm atëherë kurgjysmëdrejtëzat [AB) e [CD) janë me drejtim të kundërt.100Më pas kalohet te përkufizimi i vektorëve të barabartë e vektorëve të kundërt.Mësuesi/ja kalon te puna individuale, jepet ushtrimi 1 për tù zgjidhur nganxënësit.Më pas mësuesi/ja ndërton një paralelogram ABCD. -A mund të përkufizoni me anë të vektorëve? Ç’do të thotë AB = CD .!ABDCoseD C A BDetyrë shtëpie. Ushtrimet 5, 7, 8 (për rombin), faqe 123.

Mësimi 6.3Tema: Mbledhja e dy vektorëveObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë shumën e dy vektorëve.II. Të komentojë rregullën e mbledhjes.III. Të ndërtojë shumën e dy vektorëve duke u mbështetur te rregullae mbledhjes.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra.4. Model vizatimi për rregullën e mbledhjes.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Punë e udhëhequr.3. Punë individuale.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja tregon si zhvendoset një vektor në një pikë. P.sh., jepet vektori a .Të zhvendoset vektori a në pikën O.Në O ndërtojmë OA = a .AOKëtu përkufizojmë shumën e vektorëve.Më pas me anë të rregullave të mbledhjes tregohet si të gjendet vektori shumë.Pas kësaj, punë individuale jepet ushtrimi 2.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 125.Mësimi 6.4Tema: Vetitë e mbledhjes së vektorëveObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë vetitë e mbledhjes së vektorëve.II. Të zbatojë vetitë e mbledhjes në thjeshtësimin e shprehjeve vektoriale.III. Të vërtetojë vetitë e mbledhjes së vektorëve.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë individuale.101

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja formulon vetitë e mbledhjes së vektorëve, duke ndjekur mekujdes tekstin.Më pas, nxënësit punojnë për punë individuale ushtrimin në faqen 127.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/b, 4/b, faqe 127.Mësimi 6.5Tema: Zbritja e vektorëveObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë diferencën e vektorëve.II. Të ndërtojë diferencën e dy vektorëve të dhënë.III. Të gjejë diferencën e vektorëve duke u mbështetur te rregulla.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Modele figurash për zbritjen e vektorëve.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustruesi grafik.3. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Nxënësit duhet të fillojë me punën përgatitore, duke bërë ndërtime për çdohap të punës së pavarur. Më pas kalohet te përkufizimi i diferencës së dyvektorëve. Vëmë re se:MB- MA=AB . Kjo vihet re dhe te rregulla e paralelogramit.Themi se: MA - MB = ABEkstremi i vektorit të dytë merret si origjinë e vektorit diferencë dhe ekstremitetit ivektorit të parë si ekstremitet i vektorit diferencë.Punë individuale.Jepet ushtrimi 2, faqe 128.Mësuesi/ja zgjedh ushtrimin 2, faqe 129:Vërtetoni se –( c + d ) =Zgjidhje: Vektori c + d - c - d është i kundërt me –( c + d ) d.m.th.:1. – ( c + d ) + c + d = 0 nga vetitë e mbledhjes.1022. dhe - c - d + c + d = (- c ) + (- d ) + c + d = (- c ) + c + (- d ) + d = 0 + 0 = 0 nga 1, 2, kemi se: –( c + d ) = - c - d .!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 5/b, 6, faqe 129.

Mësimi 6.6Tema: Shumëzimi i vektorit me një numërObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë prodhimin e vektorit me një numër. Të formulojë vetitë eprodhimit të vektorit me një numër.II. Të ndërtojë vektorin ka kur jepen numri k dhe vektori a (në dy raste).Të zbatojë vetitë në thjeshtimin e shprehjeve vektoriale.III. Të zgjidhë ekuacione vektoriale.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë e udhëhequr.3. Ilustruesi grafik.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja fillon me punën përgatitore duke bërë ndërtimet përkatëse.a. vektori a me vektorin a + a = 2 a .b. vektori a me vektorin - a - - a = -2 a .Çfarë kanë të njëjtë, të kundërt, të ndryshëm?Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”a Vini re: |2 a | = |-2 a | = 2| a 2 a -2 a |. Këtu jepet përkufizimi.Është e rëndësishme të theksohen marrëveshjet. Më pas kalohet te vetitë eshumëzimit të vektorit me një numër. Ka shumë rëndësi për nxënësin të theksohet:a // b ⇔ b = k a ( a = k b ). I rëndësishëm është ndërtimi i vektorit k a ,kur jepet a dhe k:1. në rastin kur k është i plotë, ndërtimi është i thjeshtë (çdo nxënës duhet taketë këtë aftësi).2. ndalemi te rasti kur k është thyesor: p.sh, k = (shiko shembullin 2,faqe 130),ose k = në këtë rast thyesën e shkruajmë si thyesë të përzier: = 4 + 1 = 1 . +1 Kështu: a = (1 + 1 ) a = a + 1 a - vetia e shpërndarjesNdërtimi: a + 1 a bëhet si te pika 1 + 2.Punë e pavarur.Thjeshto: 5 a - 3(2 a - b ) + 3 b Ndërto vektorin: − a dhe a nëse jepet vektori a .Gjeni x nëse 3 x - 3 x = 6 x .!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3 b/d, 4/b, 5/c, faqe 131.103

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 6.7Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të dallojë vektorë të barabartë (të kundërt). Të ndërtojë shumën(diferencën) e vektorëve.II. Të thjeshtojë shprehje vektoriale duke zbatuar vetitë dhe rregullat embledhjes (zbritjes). Të zgjidhë ekuacionin vektorial, të paktën në dy raste.III. Të vërtetojë vetinë e vijës së mesme të trapezit (trekëndëshit).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Analiza.3. Ilustruesi grafik.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Në fillim mësuesi/ja mund të marrë ushtrimet 1, 2 dhe tì diskutojë me nxënësit.Punë individuale.Jepen ushtrimet 5/b, 6/b.Të zgjidhet ushtrimi 7:AMDCNB Zgjidhje: Shkruajmë vektorin MN : MN = MA+ AB +BN oseMN = MD + DC+ CNduke i mbledhur tëdybarazimet marrim: 2MN = MA + AB + BN + MD + DC + CN 2 MN = ( MA +MD ) + AB + DC + ( CN +BN ). Meqenëse MA = - MD (M mesi i [AD]) CN = - BN (N mesi i [BC]) kemiMA + MD = 0 dhe CN + BN = 0 . 1 Shkruajmë: 2 MN = 0 + AB +DC + 0 ⇒ MN = AB + DC ( ) .1Ushtrimi 10 për vektorin : ka1Për ka kemi | 1 ka | = 1 |k| | a |, meqenëse -2 < k < 2 ⇒ |k| < 2, ngaku 1 |k| | a | < 1 2 | a | ⇒ | 1 ka | < | a |. Kështu vektori 1 ka ka gjatësi më të104vogël se gjatësia e vektorit a .!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 5/a, 6/c, 10/c.

Mësimi 6.8Tema: Koordinata e pikës dhe e vektorit në boshtin koordinativObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë koordinatat e një pike dhe të një vektori në bosht.Të shkruajë koordinatat e një pike në bosht.II. Të gjejë koordinatën e vektorin në boshtin koordinativ, kur dihen koordinatate ekstremitetit.III. Të vërtetojë formulën e paraqitjes së vektorit me anë të vektorit njësi (p.sh.: AB = ( x − x ) i )2 1Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutim problemor.3. Ilustruesi grafik.4. Punë individuale (punë e pavarur).Zhvillimi i temës së re:Meqenëse koordinatat e pikës dhe të vektorit në boshtin koordinativ janë trajtuarnë klasat e mëparshme, mësuesi/ja rikujton:1. Në boshtin koordinativ:Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”x 1xxB O i A x Pika A me origjinën 0 e caktojmë OA , të tillëqë OA = Xi (në përkufiziminnumri xquhet koordinatëe pikës A ose koordinatë e OA dhe shënohet A(x) ose OA = (x).Vektori OA quhet rreze, vektor i pikës A. Për pikën B e njëjta gjë, por koordinatat do të jenë negative, sepse . Me përkufizim, nëse kemi a = xi , atëherë xquhet koordinatë e vektorit a OB ↑↓ inë bosht dhe shënohet a = (x).2. Në rastin e vektorit AB , shiko figurën 2, ku A(x1 ) dhe B(x 2).x 1xxA O i B x AB = AO!+ OB= OB- OA= x 2i - x 1i = (x 2– x 1) i Kështu AB = (x2 – x 1) i dhe AB = (x2 – x 1), vektori AB ka koordinatëx 2– x 1= x = x B-x A, kurse | AB | = |x2 – x 1|.ABPunë individuale.Ushtrimet 2/b, 4, faqe 135.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, c, 2/d, 3/c, 5, faqe 135.105

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 6.9Tema: Koordinata e pikës dhe e vektorit në planin koordinativObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë koordinatat e pikës (vektorit) në plan.II. Të gjejë koordinatat e vektorit AB , kur dihen koordinatat e pikave ekstreme.Të gjejë largesën ndërmjet dy pikave.III. Tëvërtetojë formulat e paraqitjes së vektorit me anë të vektorëve njësi( AB = (xB – x A) i + (y B– y A) i ).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutim problemor.3. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja të fillojë me punën përgatitore dhe të ndjekë tekstin Matematika 9.Ka rëndësi të theksohet:. xOA = x⎛ ⎞ + x⇒ OA =⎝⎜y⎠⎟ose A(x; y)i ja ⎛ x⎞= x x+ y y⇒ a =⎝⎜y⎠⎟ , nëse A(x ; y ) dhe B(x ; y ),1 1 2 2 atëherë AB = (x2 – x 1) i⎛ x − x ⎞ 2 1+ (y 2-y 1) AB =⎝⎜ y − y ⎠⎟dhe AB = ( x2 − x1)j+ ( y2 − y1)2 1Është e rëndësishme që pas çdo rubrike të jepet punë individuale.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2/a, 5/a, 6/a.Mësimi 6.10Tema: Veprimet e vektorëve në koordinataObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë koordinatat e shumës së dy vektorëve dhe të prodhimit tëvektorit me një numër.II. Të gjejë koordinatat e shumës së vektorëve dhe të prodhimit të vektorit menjë numër.III. Të vërtetojë barazimet mbi veprimet e vektorëve në koordinata. Të llogaritënë koordinata shprehje të kombinuara me vektor.106

Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në këtë orë duhet të punojë me formulat që shprehin veprimet evektorëve në koordinata.Punë e pavarur.Formulo si në tekst: ⎛ x ⎞ 1 ⎛ x ⎞ ⎛ x1 ± x2⎞Nëse a =⎝⎜ y ⎠⎟ , b =1 ⎝⎜ y ⎠⎟ , atëherë a ± b =⎝⎜ y ± y ⎠⎟ . Vërtetim: Shprehni vektorët a , b me anë të vektorëve njësi: a = x1i + y1 j ,b = x i + y j .Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutim problemor.3. Punë individuale.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mbledhim (zbresim) këto barazime: a ± b = x i ± y j x i y j( 1 1 ) ± ( ± ) ⇒( 1 2 ) ± ( 1±2 ) ⇒ a ± b = x i ± x i y j y j a ± b = x ± x i y y j a b( ) ± ( ± ) ⇒ ± =1 2 1 2⎛ x⎝⎜ y± x ⎞± y ⎠⎟1 21 2 ⎛ x + x ⎞ 1 2⎛ xNga barazimi i fundit del se vektori a + b =⎝⎜ y + y ⎠⎟ dhe a − b =1 2⎝⎜ y ⎛kx1⎞Njëlloj provohet se ka =⎝⎜ky⎠⎟ . Kjo le të bëhet si punë në grup.Tregohet se a dhe ka përpjesëtimor (me koordinata).1− x ⎞− y ⎠⎟1 21 2.Më pas jepet punë individuale.Ushtrim: Jepen a = ⎛ ⎞⎝ ⎜ ⎠⎟ ; b = ⎛ 0⎞⎝ ⎜ ⎠⎟. Gjeni a. a - b , b. 1 a + b . !Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/d, 2/a, b, 3/a.107

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 6.11Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të ndërtojë shumën (diferencën) e vektorëve. Të shndërrojë shprehjeme vektor.II. Të ndërtojë në planin koordinativ vektor me koordinata të dhëna. Tëllogaritë shumën (diferencën) e vektorëve në koordinata.III. Të gjykojë për natyrën e trekëndëshit duke u mbështetur te largesandërmjet pikave.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë individuale.3. Punë e udhëhequr.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja punon ushtrimet 1 dhe 2.Punë individuale.Nxënësit punojnë për zgjidhjen e ushtrimeve 4 c/d dhe 5.Punë e udhëhequr.Për punën e udhëhequr shikohet ushtrimi 9.Zgjidhje: Gjeni gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit:( ) + ( − ) = = AB = 10 − AC =BC =( ) + ( − ) = + = 10 − ( ) + ( − ) = = 10 − 10 Meqenëse AB = BC = a njësi, atëherë ABC dybrinjëshëm.Që trekëndëshi të jetë kënddrejtë mjafton të plotësojë teoremën e Pitagorës.Vini re: AC 2 = AB 2 + BC 2 . 16 2 16 1 .( ) = + ⇒ = + ⇒ =Kështu themi se trekëndëshi ABC është kënddrejtë në B.Përfundimisht ABC është kënddrejtë dybrinjëshëm.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 7/c, d, 10, 11.108

Mësimi 6.12Test kontrolli (skema e qortimit)Ushtrimi 1.1. Ndërtimi i shumës. (1 pikë)2. Ndërtimi i diferencës. (1 pikë)Ushtrimi 2.1. Ndërtimi i figurës (shiko faqen 130). (1 pikë)2. Shkrimi i vektorit a AB= (1 pikë)Ushtrimi 3.1. Gjetja e shumës. (1 pikë)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Ushtrimi 4.1. Heqja e kllapave pa gabim. (1 pikë)2. Shkrimi i rezultatit. (1 pikë)Ushtrimi 5. 1. Gjetja e koordinatave a− b(1 pikë)2. Gjetja e koordinatave b− a(1 pikë)Ushtrimi 6.a. 1. Gjetja e koordinatave të AB(1 pikë)2. Shkrimi i vektorit me anë të vektorit i e j (1 pikë)b. 1. Shkrimi i formulës për largesën. (1 pikë)2. Gjetja e largesës. (1 pikë)Ushtrimi 7.1. Ndërtimi i figurës. (1 pikë)2. Shkrimi i barazimit në formënBA = − ( DC) (1 pikë)3. Përfundimi nga BA = ( DC) , rrjedh se [BA] || [DC] dhe BA = DC, d.m.th. ABCDparalelogram.(1 pikë)Ushtrimi 8.1. Gjetja e vektorit a (1 pikë)2. Gjetja e a − b(1 pikë)3. Shkrimi i barazimit në koordinata -27 + 3k 2 = 0 (1 pikë)4. Gjetja e vlerave të k-së (k = ± 3) (1 pikë)109

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 6.13Tema: Pasqyrimi gjeometrik. IzometriaObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë pasqyrimin. Të formulojë kuptimin e izometrisë dhe vetinëe saj.II. Të ndërtojë të anasjellën e një shndërrimi gjeometrik. Të gjejë largesat epikave shëmbëllim, kur dihen largesat e fytyrave në një izometri të dhënë.III. Të vërtetojë vetitë e izometrisë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutim problemor.3. Punë e udhëhequr.Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore. Merret shembulli i tekstit që tregon si pasqyrohen pikat ediametrit me pikat e gjysmërrethit. Është e rëndësishme të dalë i qartë kuptimi që:çdo pikë A të F 1e lidhim me (përgjigjet) një pikë të vetme A 2te figurës F 2, që do tëthotë se pika A 2lidhet me pikën A 2dhe nuk mund të lidhet me pikë tjetër të figurësF 2. Pika A 1nuk mund të jetë e palidhur.Për të treguar se ka shndërrime gjeometrike që nuk janë pasqyrime, duhet të merretshembulli me rrethin. Këtu mund të merren si punë grupi ushtrimet 1 dhe 2.Më pas kalohet në përkufizimin e izometrisë.Mësuesi/ja duhet të sqarojë se fjala izometri vjen nga greqishtja e vjetër, që do tëthotë: izos – e njëjtë dhe metros – masë (gjatësi).Ka rëndësi të formulohen vetitë 1 – 5 të izometrisë. Me rëndësi për izometrinë tëformulohen vetitë e 1. pasqyrimit, 2. simetrisë, 3. kalimit.Për punë individuale jepet ushtrimi në faqen 144.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, 4, faqe 145.Mësimi 6.14Tema: Simetria qendroreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë simetrinë qendrore. Të formulojë vetitë e simetrisë qendrore.Të dallojë figurat që kanë qendër simetrie.II. Të ndërtojë simetriken e një pike dhe të një figure në një simetri S o.III. Të vërtetojë vetitë e simetrisë.110

Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Modele figurash simetrie nënjë simetri S o.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutimi problemor.3. Ilustruesi grafik.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në fillim merr si punë përgatitore: Ndërton dy pika M e M 1në plan.Shënon me O mesin e segmentit [MM 1].- Çfarë kushti plotëson pika O? - Si janë vektorët OM e OM 1 ?M o fig 1M1Mësuesi/ja jep përkufizimin: Simetri me qendër O quhet pasqyrimi gjeometrik që çdo pikë M të planit e lidh me pikën M 1potëplanit të tillë që OM 1 = - OMSo(pika O mesi i [MM 1]). Shëno M ⎯⎯→M1 ⇔ OM1= − OM .Punë individuale.Jepen pikat A, B dhe pika O jashtë segmentit [AB].Ndërtoni simetriket e A 1dhe B 1në simetrinë S otë tyre. Shiko figurën.BLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Aofig 2Nxënësit duhet të vërtetojnë vetinë 1: simetria qendrore është izometri.E zëmë se jepen dy pika çfarëdo M, N dhe qendra O e simetrisë.Shënohet me M 1e N 1simetriket e pikave M, N.N M1SoM ⎯⎯→M1 ⇔ OM1= − OMKështu SoN ⎯⎯→N ⇔ ON = − ONofig.31 1MDuke zbritur barazimet e fundit kemi: OM1 − ON1 = −OM − ( −ON)⇒ OM1− ON1= −OM− ON ⇒ N1M 1= MN ⇒ MN = −M1N 1⇒ [ MN] ≡ [ M1N 1] dhe [ MN] [ M1N1] . (Vërtetimi 1, 2, 3)!N1Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 6, faqe 147.111

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 6.15Tema: Simetria boshtoreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë simetrinë sipas një drejtëze. Të formulojë vetitë esimetrisë boshtore.II. Të ndërtojë simetriken e një figure në lidhje me një drejtëz.III. Të vërtetojë të paktën njërën veti të simetrisë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Modele figurash simetrie.4. Vizore, kompas.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutimi problemor.3. Punë e udhëhequr.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja të fillojë me punë përgatitore.Jepet segmenti [MM 1]. Ndërtoni përmesoren e [MM 1]. (shiko figurën).(d)Vëreni: H mesi i segmentit [MM 1] dhe (d) [MM 1].M H M1fig. 1Punë individuale.Ndërtoni simetriket e pikave A, B në simetrinë sipas një drejtëze(shiko figurën 2).B(d)fig. 2Këtu përkufizimi i figurës simetrike të njëfigure të dhënë në një simetri Sd.A112

Nxënësit formulojnë vetitë: Simetria boshtore është 120 metri.Vërtetim: E zëmë se jepen pikat A, B dhe drejtëza (d), shënojmë A 1e B 1simetriket e A dhe B në S d. (shiko figurën)A!Bfig. 3MNB1A1Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 3, 5, faqe 150.Vërtetim: ∆ AMA 1është trekëndëshdybrinjënjëshëm, sepse M mepërmesoren e segmentit:[ AA1] ⇒ [ AM] ≡ [ A1M]dheAMN ≡ NMA BMA A1⇒ ≡1MB1SoMeqenëseB ⎯⎯→B 1kemi [BM] ≡ [MB 1]Kështu ∆ABM ≡ ∆A1B 1M ⇒ [ AB] ≡ [ A1B1]Më pas vërtetimi vazhdon si në tekstin enxënesit.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 6.16 (ora I)Tema: Zhvendosja paraleleObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë zhvendosjen paralele. Të formulojë vetitë ezhvendosjes paralele.II. Të ndërtojë shëmbëllimin e një figure në një zhvendosje paralele.III. Të vërtetojë të paktën njërën nga vetitë e zhvendosjes paralele.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutimi problemor.3. Punë e udhëhequr.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja organizon punën përgatitore si më poshtë:Jepet vektori a dhe pika A. Shiko figurën 2.a Ndërtoni vektorin AA 1 të tillë që AA1.A= aPunë grupi.Jepen pikat A, B,C nënjë drejtëz, ndërtojmë shëmbëllimit e tyre në zhvendosjenparalele me vektor a = AB .A1113

AA1= a BB1= aLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Nxënësit duhet të vërtetojnë vetinë: Zhvendosja paralele është izometri.Vërtetim: E zëmë se pikat A, B në zhvendosjen paralele a kanë shëmbëlliminA 1e B 1.a A A1 AA 1= a⇒ ⇒ AA1 = BB1⇒ ABCD paralelogram,aBB1= aB B1nga ku: [AB] ≡ [A 1B 1] dhe [AB] || [A 1B 1]BB1AA1Më pas vazhdohet si në tekst deri te rrotullimi, i cili zhvillohet si temë e veçantënga orët e lira.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/a, 3, 4, faqe 153.Mësimi 6.16 (ora II)Tema: RrotullimiObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë rrotullimin me qendër O dhe kënd α . Të formulojë vetitëe rrotullimit.II. Të ndërtojë shëmbëllimin e një figure në një rrotullim të dhënë.III. Të vërtetojë të paktën njërën veti mbi rrotullimin.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutimi problemor.3. Punë e udhëhequr.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja duhet të fillojë me kuptimin e këndit nga trigonometria.Punë përgatitore.Ndërtoni simetriken e pikës A në simetrinë S d. Merrni një pikë O nëdrejtëzën (d).114

(d)AA1- A mund të themi se OA = OA 1?Tregoni duke u mbështetur te ndërtimim( AOA 1) = α është negative apopozitive?OMësuesi/ja kalon te përkufizimi:Rrotullim me qendër O dhe kënd α quhet pasqyrimi që çdo pikë të planit A epasqyron në një pikë të vetme A 1të planit, të tillë që OA = OA 1dhe m( AOA 1) = α .( O, )Shëno A ⎯⎯⎯ α→ A 1Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Punë individuale.Pika M në rrotullimin (O, α ) pasqyrohet në M’.Ndërtoni shëmbëllimin e një pike të tretë N. Më pas formuloni vetitë. Vërteto vetinërrotullimi është izometri.Vërtetim: E zëmë se A 1, B 1janë shëmbëllime të pikave A e B në rrotullimin(O, α ). Shiko figurën.BB1AA1xo( O, )A ⎯⎯⎯ α→ A 1OA = OA 1AOB = AOA 1- x⇒ OB = OB 1⇒ A 1OB1= BOB 1- x( O, )B ⎯⎯⎯ α→B1AOA 1= BOB 1= α⇒ AOB ≡ A1OB1Meqenëse [OA] ≡ [OA 1] dhe [OB] ≡ [OB 1] ⇒ ∆ AOB ≡ ∆ A 1OB 1⇒ [AB] ≡[A 1B 1].Duhet theksuar se rrotullimi me kënd me masa ± 180 0 është S o. Më pas vazhdosi teksti, faqe 152-153.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 5, faqe 153.115

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 6.17Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të ndërtojë shëmbëllimet e figurave të dhëna në simetrinë S o(S d). Të ndërtojëshëmbëllimet e figurave në zhvendosjen paralele.II. Të zbatojë vetitë e simetrisë dhe të zhvendosjes në zgjidhjen e problemave.III. Të zgjidhë problema duke zbatuar në mënyrë të integruar kuptimin mbipasqyrimet gjeometrike.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.Metodat që rekomandohen:1. Analizë e problemit.2. Diskutimi problemor.3. Punë individuale.4. Puna në grup.Zhvillimi i temës së re:Në fillim mësuesi/ja në formë të një diskutimi me grupe nxënësish diskutonushtrimet 3 dhe 4.Më pas në formën e punës së udhëhequr punon shembullin 1, në faqen 154.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 5 dhe 6, faqe 154.Kreu VIISHPREHJET SHKRONJOREMësimi 7.1Tema: Shprehje shkronjore. Programi i një shprehjejeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë shprehjet shkronjore dhe vlerat e palejuara (lejuara) tëshkronjave.Të dallojë shprehjen shkronjore nga shprehja numerike.II. Të hartojë një program për një shprehje shkronjore. Të gjejë bashkësinë evlerave të lejuara (palejuara) të një shkronje në një shprehje.III. Të gjejë vlerat e shprehjes për vlera të dhëna të shkronjës.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diskutimi problemor.3. Punë individuale (punë grupi).116

Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore.Nxënësi duhet të kuptojë se shprehje të tilla si: 1 + ( − ) − 0 , 4 quhen shprehjenumerike ose aritmetike. Më pas vazhdohet me programin në faqen 155.Kujdes! Kur themi numrin a nuk kemi thënë se a-ja është numër (ajo është njëshkronjë), por në këtë rast përfaqëson një numër. Nxënësit përkufizojnëshprehjen shkronjore dhe tregojnë disa shembuj. Mësuesi/ja pyet nxënësit:- Kush shkruan një shprehje aritmetike? Po një shprehje algjebrike?- A ka shkronja në një shprehje aritmetike?- A ka numra në një shprehje algjebrike?- Ku ndryshojnë shprehjet algjebrike nga ato aritmetike?Më pas kalohet te puna e pavarur, faqe 156, që u jepet nxënësve si punëindividuale.Jepet shprehja − x . Gjeni vlerën e saj për x = 2; x = 0. - A ekziston vlera esaj për x = 7?Nëse nga nxënësit merr përgjigjet e sakta, kujdes për rastin x = 7.Këtu − = − 1 nuk ekziston.Mësuesi/ja jep përkufizimin e vlerave të lejuara dhe vlerave të palejuara tëndryshores për një shprehje të dhënë.Më pas duhet të theksohet se si rregull për të gjetur bashkësinë e vlerave tëlejuara të një shkronje për një shprehje, duhet të gjendet bashkësia e vlerave tëshkronjës ku ka kuptim shprehja (nëse shkronja nuk ka kufizime të veçanta).Pas këtyre sqarimeve jep punë individuale:Ushtrimi në fund të faqes 156 dhe ushtrimi 1/1.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/3, 2/2, 3/2, faqe 157.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 7.2Tema: Monomi. Veprime me monometObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë monomin dhe fuqinë (gradën) e tij. Të dallojë monomete ngjashme.II. Të mbledhë monome të ngjashme.III. Të shumëzojë (të ngrejë në një fuqi) monomet.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie e integruar.2. Punë grupi.3. Punë individuale.117

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore.Te përkufizimi mund të shtohet se shkronjat në një monom renditen sipas renditalfabetik. Më pas vazhdohet si teksti, duke shpjeguar dhe duke marrë shembuj pasçdo përkufizimi. Në çdo rast nxënësit i kërkohet të përsëritë përkufizimin dhe të sjellëshembuj.Më pas kalohet te veprimet me monome. Klasa organizohet në punë grupi.Jepet shembulli, kurse mësuesi/ja udhëheq duke shkruar në fillim veprimin.P.sh.: Mblidhni monomin, shumëzoje dhe ngrije në fuqi të dytë (-3a 2 b 2 c).!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4, 5/b, 7/c, 8/b, faqe 159.Mësimi 7.3Tema: Polinomi. Veprimet me polinome. Disa formula të rëndësishmeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të kujtojë përkufizimin e polinomit. Të shkruajë formulat e rëndësishme.II. Të thjeshtojë shprehje algjebrike që paraqiten si shumë polinomesh.Të thjeshtojë shprehje duke zbatuar formulat e rëndësishme në mënyrëtë drejtpërdrejtë.III. Të thjeshtojë shprehje algjebrike duke zbatuar të integruar formulate rëndësishme.Zhvillimi i temës së re:Meqenëse polinomi është një temë që është zhvilluar në klasë të 8-të nuk duhettë zgjatet shumë. Mjafton me përkufizimin dhe të insistohet te kuptimi i kufizësdhe reduktimi i tyre.Më pas kalohet te veprimet me polinome.Mësuesi/ja duhet të ndalet te rubrika Kujdes!E rëndësishme është të shkruhen drejt formulat 1, 2, 3, 4, 5 nga nxënësit dhepas çdo formule të merret një zbatim.Punë individuale.Jepen ushtrimet 1/b, 4/a.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/d, f, 4/b, d, faqe 48 te Fletorja e punës.118

Mësimi 7.4Tema: Thyesat racionale (algjebrike). Vetitë themeloreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e thyesës algjebrike. Të formulojë vetitë themeloretë thyesave.II. Të gjejë vlerat e lejuara të shkronjave në një thyesë algjebrike.Të thjeshtojë thyesat racionale duke faktorizuar në mënyrë të drejtpërdrejtënumëruesin dhe emëruesin.III. Të thjeshtojë thyesa, racionale duke zbatuar formulat e rëndësishme përfaktorizimin.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Punë grupi.3. Punë individuale.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:E domosdoshme është që mësuesi/ja të fillojë me punën përgatitore.Përgjigjet që duhet të marrë mësuesi/ja janë:a. S + 30 (km) - polinomb. 2 + t (orë) - polinomc. S + 30(km/orë) - + traport polinomeshPasi të formulojmë përkufizimin, nxënësit sjellin shembuj.Kujdes! Shembujt x xx−+ , x + etj., vërtet janë thyesa, por nuk janë − x− 1thyesa racionale (me thyesa të tilla do të meremi më vonë).Pasi mësuesi/ja bindet se nxënësit kanë fituar aftësinë të shkruajnë thyesaracionale, ai/ajo formulon vetitë.Pas çdo vetie të formuluar marrin shembuj si punë grupi.Si punë individuale marrin ushtrimet te puna e pavarur.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, d, 2/c, faqe 164.119

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 7.5.6Tema: Veprimet me thyesat racionale (algjebrike)Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë rregullën e shumëzimit (pjesëtimit) të dy thyesave racionale.Të mbledhë dy thyesa me emërues të njëjtë.II. Të shumëzojë (pjesëtojë) dy thyesa racionale. Të mbledhë (zbresë) dythyesa me emërues të njëjtë.III. Të mbledhë (zbresë) 2 a më shumë thyesa me emërues të ndryshëm.Të thjeshtojë shprehje me të 4 veprimet e kombinuara të thyesave racionale.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formulat e rëndësishme.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Punë grupi.3. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:ORA INë këtë temë zhvillohet shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave:1. a c a c = (b ≠ 0 dhe d ≠ 0)b d b d2. a c a d a d: = =(b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0)b d b c b cNë fillim mësuesi/ja jep punë përgatitore, ku nxënësit punojnë në grup methyesa aritmetike.Më pas duke rikujtuar edhe për thyesat racionale rregullat 1, 2, jep si punëtë grupit:Shumëzo duke gjetur më parë bashkësinë e vlerave të lejuara:4x− 1 x − x − 2x− 1Kujdes! Mësuesi/ja duhet tì udhëzojë nxënësit se faktorët që shumëzohen(numëruesit, emëruesit) të shkruhen në prodhim faktorësh më të thjeshtë, që gjatëshumëzimit të bëjnë thjeshtimin. Kjo vlen dhe në rastin e pjesëtimit.Punë individuale.Jepet ushtrimi 3/a, 3, faqe 167.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3/2, 4, faqe 167.120

ORA IIMbledhja e thyesave:Mësuesi/ja këtu fillon me punë përgatitore duke i dhënë nxënësit të gjejë vlerën:1. !1+ − .181 1 1 1 1 a a + a = ⎛a − + ⎞⎝⎜⎠⎟ =Më pas, mësuesi/ja formulon rregullën për mbledhjen e thyesave racionale.1. Gjeni vlerat e lejuara të shprehjes si shumë e thyesave.2. Shprehni emëruesit e thyesave si prodhim i faktorëve të thjeshtë.3. Gjeni emëruesin e përbashkët (SHVP-në e emëruesve).4. Mblidhni thyesat duke i vendosur në emërues të përbashkët.5. Në fund thjeshtoni thyesën e re.Punë grupi.Ushtrimet 1 (gojor), faqe 166.Punë individuale.Ushtrimet 1, 3, 5, 6, te puna e pavarur, faqe 166.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/a, 2/3, 2/5, 3/1, faqe 166.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 7.7.8Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të thjeshtojë thyesat racionale duke bërë më parë faktorizimin në numëruesdhe emërues. Të shumëzojë (pjesëtojë) thyesat racionale.II. Të mbledhë dhe zbresë thyesat racionale.III. Të thjeshtojë shprehje me 4 veprimet me thyesat racionale.Zhvillimi i temës së re:ORA INë këtë orë mësuesi/ja duhet të punojë në grup ushtrimet nga 1-4 .Në fillim merren ushtrimet 1/b, c.x − x+ ( x − )=për x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2.x− ( x − )Kemi: ( x − ) x − = (x ≠ -1)( x − ) Kujdes! Ka rëndësi që vlerat e lejuara të gjenden pa bërë thjeshtimin.x − 1 ( x − 1)( x + 1)=x + 1 x + 1Punë individuale. Të punohen ushtrimet 1/I dhe 2/c dhe 3/3.Kujdes! Nxënësi ka përpara formulat e rëndësishme.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/e, f, N. 2/e, N. ¾, faqe 167.121

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Tema 7.8 fillon tek ushtrimi 4Në fillim mësuesi/ja kujton hapat si do të mbledhim disa thyesa. Më pas nxënësitpunojnë me punë grupi ushtrimet 4/1, 3. Pas kësaj si punë individuale jepenushtrimet 4/5, 5/1.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4/2, 6, N. 5/2, 3, faqe 167.!Test kontrolli (skema e qortimit)Ushtrimi 1.1. Tregimi i polinomit. (1 pikë)2. Tregimi i thyesave racionale. (1 pikë)Ushtrimi 2.a. Gjetja e x ≠ . (1 pikë)b. Shkrimi i inekuacionit x – 2 ≥ 0 (1 pikë)Gjetja e x ≥ 2(1 pikë)c. Gjetja x ≥ ± 2 (1 pikë)d. Shkrimi: 4 – 2x 0 dhe x + 3 ≠ 0 (1 pikë)Gjetja e x ≤ 2 dhe x ≠ -3(1 pikë)Ushtrimi 3.1. Shkrimi i shprehjes 2y + 3 (1 pikë)2. Shkrimi i shprehjes 2y + 3 – y 2 (1 pikë)3. Shkrimi i y + − yy − Ushtrimi 4.x − y( x + y)a. x + y(1 pikë) x − y= ( x + y) x + y= ( x − y )( x + y ) x y= ( x + y) x + y ( x + y)(1 pikë)( x − y)( x + y ) x − y==( x + y)x + y( )( ) = −(1 pikë)b. Kthimi i pjesëtimit në shumëzim. (1 pikë)Shkrimix( x + a) x( x − a)x + a( a − x)( a − x)( a + x) a + a(1 pikë)Thjeshtimi, shkrimi i rezultatitx ( x − a)( a − x)a − x( )(1 pikë)c. Bashkësia e vlerave të lejuara. (1 pikë)Gjetja e emëruesit të përbashkët.(1 pikë)Vendosja në emërues të përbashkët.(1 pikë)Shkrimi i rezultatit të saktëax + a(1 pikë)122

d. Bashkësia e përcaktimit. (1 pikë)Emëruesit e përbashkët.(1 pikë)Vendosja në emërues të përbashkët në numërues dhe emërues. (1 pikë)Rezultati a= a(1 pikë)Kreu VIIIZGJIDHJA E EKUACIONEVEMësimi 8.1Tema: Ekuacioni. Rrënjët, mjedisi. Ekuacione të njëvlershmeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë ekuacionin dhe rrënjët e tij. Të tregojë nëse një vlerë endryshores është rrënjë e ekuacionit.II. Të formulojë teoremat e njëvlershmërisë. Të shkruajë një ekuacion nëtrajtë kononike. Të tregojë nëse dy ekuacione janë të njëvlershme.III. Të vërtetojë teoremën mbi njëvlershmërinë e ekuacionit.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia e integruar.2. Diskutimi problemor.3. Punë e udhëhequr.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja nis me punën përgatitore në faqen 169. Më pas formulon kuptimin eekuacionit duke u mbështetur te barazimet 4x = 100.Punë e udhëhequr.Për punën e udhëhequr shihet rubrika Vini re.Nxënësit formulojnë përkufizimet për rrënjët e ekuacioneve. Këtu punohenushtrimet 1, 2, 3, faqe 169.Punë e pavarur. Pas përkufizimit të ekuacioneve të njëvlershme formohet ngamësuesi/ja teorema e parë, e cila është e domosdoshme të vërtetohet, ndërsa teoremae dytë mund t’i lihet nxënësit si detyrë shtëpie (duke e udhëzuar që shenja (+) tëzëvendësohet me( • )Si teorema e parë.Mësuesi/ja formulon rrjedhimin e teoremës së parë:Një kufizë kalon nga njëra anë e ekuacionit në anën tjetër duke ndryshuar shenjënnë të kundërt.Punë individuale.Ushtrimet te puna e pavarur, faqe 170.Kujdes! Tek ushtrimi 1, numrat në kllapat e përdredhura janë zgjidhje të123

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”ekuacioneve të dyta.Ktheni në trajtë kononike (në formën f(x) = 0) ekuacionin:3(x – 1) = -2x – (x – 1) ⇒ 3x – 3 = -2x – x + 1 ⇒3x – 3 + 2x + x – 1 = 0 ⇒ 6x – 4 = 0!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 4 a/c/g, 5/c, 6, faqe 171.Mësimi 8.2Tema: Ekuacioni i fuqisë së parë ax + b = 0Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë ekuacionin e fuqisë së parë me një ndryshore. Të gjejërrënjën e ekuacionit kur paraqitet në formën ax + b = 0 (ax = -b), a ≠ 0.II. Të zgjidhë ekuacione të fuqisë së parë duke i kthyer më parë në formënax + b = 0.III. Të interpretojë gjeometrikisht zgjidhjet e ekuacionit të fuqisë së parë, dukei kthyer më parë në formën ax + b = 0.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me interpretimin gjeometrik tëzgjidhjes së ekuacionit të fuqisë së parëax + b = 0.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesi grafik.3. Punë grupi.4. Punë individuale.5. Diskutimi problemor.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja duhet të fillojë me punën përgatitore, e cila mund të merret sipunë grupi.Më pas te zgjidhja e ekuacionit ax + b = 0, mësuesi/ja duhet ta trajtojë nëformë diskutimi duke tërhequr vëmendjen te rastet.Mësuesi/ja u jep nxënësve punë individuale, pas çdo rasti, shembujt e tekstit,faqe 172-173.Punë individuale.Zgjidhni grafikisht (me mënyrën gjeometrike) ekuacionin: 2(x – 3) = x + 3Zgjidhni me metodën algjebrike ekuacionet: 4x + 11 = 3, x x− + 19 = x !Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/b, d, 3/b, 4/b, d, faqe 174.124

Mësimi 8.3Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zgjidhë ekuacione të formës ax + b = 0.II. Të zgjidhë ekuacione duke i kthyer në formën ax + b = 0. Të zgjidhëekuacione me emërues numerik.III. Të zgjidhë problema që kthehen në zgjidhje ekuacionesh të formësax + b = 0.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Zhvillimi i temës së re:Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Punë e udhëhequr.3. Punë individuale (grupi).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Shënim: Vini re, në këtë temë ka një numër të konsiderueshëm ushtrimeshdhe problemash.Ushtrimet 1/9-12 dhe problemat 3 – 5 të lihen për nxënës shumë të mirë.Mësuesi/ja në klasë duhet të punojë me nxënësit për çdo rubrikë së paku nga 1ushtrim në temën e mësimit. Në fillim të temës mësuesi/ja u drejtohet nxënësve.Zgjidhni ekuacionet:1. x x− + 19 = x; 2. 16 − x 13 − x + x = + 1 ; 3. ( x − ) − = ( x − )( x − )Kujdes! Të theksohet se ekuacioni 3 mund të zgjidhet duke zbatuar faktorizimin.Vini re: ( x − ) − = ( x − )( x − ) ⇒ ( x − − )( x − + ) = ( x − ) x − )⇔( x − )( x − ) − ( x − )( x − ) = 0 ⇔ ( x − 6)( x − − x + ) = 0 ⇔ ( x − 6) ⇔ x − = 0 ⇔ x = 6Një nxënës punon në tabelë, kurse mësuesi/ja me klasën ndjek dhebën korrigjimet.Më pas punohet problema 1.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet ¼, 9, 2/2, 3/2, faqe 175.125

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 8.4Tema: Ekuacione thyesoreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë ekuacionet thyesore. Të shkruajë një ekuacion thyesor.II. Të zgjidhë ekuacionet thyesore duke zbatuar hapat e zgjidhjes.III. Të zgjidhë problema që kthehen në zgjidhje ekuacionesh thyesore.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula të rëndësishme.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie e integruar.2. Punë e udhëhequr.3. Punë individuale (grupi).Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në formë diskutimi me nxënësit trajton punë përgatitore.Kujdes! Hapat te zgjidhja e ekuacionit kanë një ndryshim.Më pas punohet me ushtrimin në tekst, në formën e një pune të udhëhequr.Pas zgjidhjes së ekuacionit merret zgjidhja e problemës. Duhet të zbatohetskema e dhënë në tekst d.m.th. në fillim bëhet një analizë ku vendosetnjë marrëdhënie ndërmjet madhësive me të cilat kemi të bëjnë. Shënohetme x (ndryshore) madhësia që kërkohet të gjendet (e panjohur).Kujdes! Pas formimit të ekuacionit, për mjedisin duhet të merren nëkonsideratë kushtet që plotëson ndryshori në problemë.Pasi të shkruhen zgjidhjet e problemës, nëse ka kohë, merren si punëindividuale: ushtrimet 1/a, 2/1, faqe 178.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/4, faqe 178.Mësimi 8.5Tema: Ekuacione shkronjoreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë ekuacionin shkronjor. Të dallojë ekuacionin shkronjornga ekuacionet e tjera.II. Të zgjidhë ekuacionin shkronjor të formës ax + b = 0.III. Të zgjidhë ekuacione shkronjore me thyesa.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula të rëndësishme.Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë grupi.3. Punë individuale.126

Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja fillon me punën përgatitore. Është e rëndësishme që nxënësi nënjë barazim me disa shkronja të veçojë shkronjën e duhur. Më pas kalohette përkufizimi dhe sillen shembuj.Është e rëndësishme të tërhiqet vëmendja e nxënësve për ekuacioninshkronjor (shiko rubrikën Kujdes!).Në punë të udhëhequr punohet shembulli i tekstit. Kujdes duhet kushtuar terastet 1, 2, 3.Punë individuale.Nxënësit punojnë ushtrimin 1/a.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 1/d, faqe 179.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 8.6Tema: Ekuacioni i fuqisë së dytë ax 2 + bx + c = 0. Formulate VietësObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë një ekuacion të formës ax 2 + bx + c = 0. Të shkruajë formulat përzgjidhjen e ekuacionit. Të zgjidhë një ekuacion të dhënë në formënax 2 + bx + c = 0.II. Të zgjidhë ekuacione të fuqisë së dytë duke i kthyer më parë në formënax 2 + bx + c = 0. Të zbatojë formulat e Vietës në ushtrime, pa zgjidhurekuacionin e formës ax 2 + bx + c = 0. Të shkruajë ekuacionin kur dihen rrënjëte tij.III. Të vërtetojë formulat e Vietës. Të vërtetojë formulën që jep ekuacionin efuqisë së dytë duke njohur rrënjët e tij.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formulat e zgjidhjes sëekuacionit të fuqisë së dytë, shikopunë përgatitore.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë e udhëhequr.3. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore.Nxënësit punojnë ushtrimet:1. Zgjidhni: x 2 + 3x + 2 = 0, z 2 + 6z + 9 = 0Më pas kalohet te vlerat e x 1+ x 2dhe x 1 • x 2, duke ndjekur hapat e tekstit.Punë individuale.Pa e zgjidhur ekuacionin: x 2 2+ 7x + 10 = 0 gjeni: x 1+ x 2, x 1+ x 22, 1 +1 x x1127

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Kujdes! x 12+ x 22= (x 1+ x 2) 2 – 2x 1x 2Pas kësaj vazhdohet me rubrikën Vini re!Të theksohet se ekuacioni x 2 – Sx + P = 0 është ekuacioni që ka për rrënjëx 1, x 2ku S = x 1+ x 2dhe P = x 1• x 2.Punë individuale.Punohen ushtrimet 1, 2, te puna e pavarur.!Detyrë shtëpie. Ushtrimi 2, faqe 181 (lart).Mësimi 8.7Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zgjidhë ekuacione të formës ax 2 + bx + c = 0. Të gjejë shumën dheprodhimin e rrënjëve të ekuacionit ax 2 + bx + c = 0 pa e zgjidhur ekuacionin.Të shkruajë ekuacionin kur dimë rrënjët e tij.II. Të zgjidhë ekuacionet që kthehen në formën ax 2 + bx + c = 0.III. Të zgjidhë ekuacione që më zëvendësim kthehen në zgjidhjen eekuacionit ax 2 + bx + c = 0.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Zhvillimi i temës së re:Punë individuale.Zgjidhni ekuacionin:a. 2x 2 + x – 21 = 0; b. 2x 2 + 3 = x 2 + 4xMetodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë e udhëhequr.3. Punë individuale.Gjeni 1 + 1 nëse xx x1e x 2janë rrënjë të ekuacionit: x 2 + 3x – 10 = 0 pa e1 2zgjidhur ekuacionin.128Punë e udhëhequr.Zgjidhni ekuacionin:(x 2 + 1) 2 – 4(x 2 + 1) + 4 = 0Këtu me zëvendësim: x 2 + 1 = yKëtej gjejmë y = 2 duke zëvendësuar te 1 marrim ekuacionin:x 2 + 1 = 2 ⇒ gjejmë x 1= -1 e x 2= 1Pa zgjidhur ekuacionin x 2 – 3x + 2 = 0.Gjeni x1 + x2

Vini re:( 1 2 ) =( 1 ) +1 2+ ( ) ⇒1+2( ) = + + ⇒ ( + )1 2 1 2 1 2x + x x x x x x x x x x x x x = S + P( ) = +x + x S P1 2Nga formulat e Vietës: SS = − − =1 ; P= c = a 1b= − ; P =c aaduke zëvendësuar: x1 + x2 = + Pa e zgjidhur ekuacionin x 2 – 6x + 5 = 0, gjeni rrënjën x 2nëse x 1= 1.Nga formulat e Vietës x 1+ x 2= 6 dhe x 1• x 2= 5 ⇒ 1 + x 2= 6 ⇒ x 1 • x 2= 5Kështu themi x = = oseLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/6, 8, ushtrimet 2/c dhe 5, faqe 181.Mësimi 8.8Tema: Sisteme të ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshoreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formojë sisteme të ekuacioneve. Të tregojë nëse një çift numrashështë zgjidhja e sistemit.II. Të zgjidhë një sistem ekuacionesh me njërën nga metodat algjebrike.III. Të zgjidhë grafikisht një sistem ekuacioni.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Modele zgjidhjesh të sistemeve(grafikisht).Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja duhet të fillojë me punën përgatitore. Këtu është e rëndësishme qëtë tregohet se ekuacioni ax + by + c = 0 ka një pafundësi zgjidhjesh dhe se zgjidhjete ekuacionit janë çiftet e renditura (x 1; y 1), që shërbejnë si koordinata të pikave tëdrejtëzës ax + by + c = 0.Këtu jepet kuptimi i sistemit.Më pas kalojmë në zgjidhjen praktikisht të sistemeve, në fillim me metodatalgjebrike, më pas me metodën grafike.129

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Meqenëse në çdo rast metodat sqarohen me shembuj është me vend të organizohetme punë të udhëhequr.Punë individuale.Jepen ushtrimet 1, 2, faqe 184.!Mësimi 8.9Tema: UshtrimeDetyrë shtëpie. Ushtrimet 1/2, 2/2, 4, faqe 184.Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zgjidhë me njërën nga metodat algjebrike sisteme të ekuacioneve tëdhënat në formë standarde.II. Të zgjidhë sisteme të ekuacioneve të fuqisë së parë, duke i kthyer në fillimnë formën standarde.III. Të zgjidhë sisteme të ekuacioneve që pas zëvendësimit kthehen nësisteme të fuqisë së parë.Të zgjidhë problema që kthehen në zgjidhjen e sistemeve të fuqisë së parëme dy ndryshore.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë grupi.3. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Punë individuale. Bëhet zgjidhja e sistemit:⎧x− y= 10⎨⎩x− y= Me punë grupi zgjidhin sistemin:⎧( y − x)= + x⎨⎩( y + x)= − y!(Nxënësi zgjedh metodën e zgjidhjes)(Këtu zëvendësojmë 1 = x dhe 1 v= y )Më pas mësuesi/ja me anë të diskutimit të etapave punon problemën 1 tëzgjidhur, faqe 185.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/3,8, problema 3, faqe 185.130

Mësimi 8.10Tema: Mosbarazime numerike. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë mosbarazimet. Të formulojë vetitë e mosbarazimeve.II. Të zbatojë vetitë në zgjidhjen e ushtrimeve.III. Të vërtetojë të paktën 3 veti të mosbarazimeve.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me vetitë e mosbarazimeve.4. Tabela me formulat e rëndësishme.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Punë e udhëhequr.3. Punë individuale.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja fillon me punën përgatitore. Këtu është e rëndësishme të theksohetse 5 > 2, sepse 5 – 3 = 2, numër pozitiv.Më pas formulohet përkufizimi. Më parë merret mendimi i nxënësve.Punë individuale.Tregoni pse 7 > 5, a 2 ≥ 2a – 1Kujdes! (a – 1) 2 ≥ 0).Metodë zgjidhjeje: Në përgjithësi për të vërtetuar mosbarazimin A > B merretdiferenca A – B. Nëse pas shndërrimeve kjo diferencë (A – B) gjendet pozitive (> 0),atëherë mosbarazimi është vërtetuar. Më pas formulohen dhe vërtetohen vetitë dukediskutuar me nxënësit.Punë individuale.Nxënësit punojnë me ushtrimet 1, 2, 3, faqe 187.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/a, b, c, faqe 188.Mësimi 8.11Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të tregojë vërtetësinë e mosbarazimeve që rrjedhin nga formulat dhe vetitëe mosbarazimeve.II. Të vërtetojë mosbarazimet që kthehen te formulat e rëndësishme.III. Të vërtetojë mosbarazime, që në mënyrë të kombinuar zbatohen formulate rëndësishme dhe vetitë e tyre.131

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula të rëndësishmedhe vetitë e mosbarazimeve.Zhvillimi i temës së re:Punë individuale.Punohen këto ushtrime:Vërtetoni se:11. Kur a > b, atëherë − a < −2. Kur a > b > 0, atëherë a 2 > b 21bMetodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë grupi.3. Punë individuale.Punë e udhëhequr.Vërtetoni se për çdo dy numra realë pozitivë është i vërtetëmosbarazimi a + b ≥ ab .Zgjidhja shikohet në tekstin e nxënësit në faqen 188.Punë individuale.Nxënësit punojnë ushtrimet 5, 6/a, faqe 188.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3/b, 6, 9 tek Ushtrime dhe problema, faqe 57.Mësimi 8.12.13Tema: Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshoreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë inekuacionin e fuqisë së parë dhe inekuacionet e njëvlershme.Të tregojë kur një vlerë e ndryshores është zgjidhje e inekuacionit.Të formulojë teoremat e njëvlershmërisë.II. Të tregojë nëse dy inekuacione janë të njëvlershme. Të zgjidhë inekuacionetë fuqisë së parë me një ndryshore.III. Të vërtetojë të paktën njërën nga teoremat e njëvlershmërisësë inekuacioneve.132

Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Zhvillimi i temës së re:Në këtë temë duhet të punohen teoremat e njëvlershmërisë.Punë përgatitore.Mësuesi/ja jep përkufizimin e inekuacionit dhe atë të rrënjës së inekuacionit.Punë individuale.Tregoni nëse x = -1 është zgjidhje për inekuacionin 2x – 1 > x dhe 6x – 3 > 3xE njëjta kërkesë për x = 3 dhe x = 5Pas përkufizimit për inekuacionet formulohen teoremat mbi njëvlershmërinë.Është e domosdoshme të vërtetohet teorema. Në fund diskutohen me nxënësitushtrimet, pas çdo teoreme.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/ 4, 7, 9, 10, 11.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie e integruar.2. Punë e udhëhequr.3. Punë individuale.• Ora II. Kjo temë do të fillojë me zgjidhjen e inekuacionit. Në fillim mësuesi/jarikujton teoremat e njëvlershmërisë dhe rrjedhimin.Punë e udhëhequr. Zgjidhni inekuacionin 3(x – 2) – 5 > 4x, duke përkufizuar hapatme anë të teoremave.3(x – 2) – 5 > 4x-3x – 6 – 5 – 4x > 0 Rrjedhimi i teoremës 1- x – 11 > 0 Reduktimi i kufizave të ngjashme- x > 11 Rrjedhimi i teoremës 1x < 11 Teorema 4Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Bashkësia e zgjidhjeve A = {x ∈ R / x < -11} duhet të paraqitet në boshtinnumerik.Themi se zgjidhja e inekuacionit është A = ]- ∞ ; -11[Përkufizohet nga mësuesi/ja inekuacioni i fuqisë së parë. Më pas si punë grupishikohet shembulli 2, faqe 191.Pas kësaj punohet ushtrimi 3/1, faqe 192.Punë individuale.Nxënësit punojnë me kujdes ushtrimet 1, 2, 3, te puna e pavarur.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3/3, 7, 11, faqe 191; 3/2, faqe 192.133

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 8.14Tema: Studimi i shenjës së binomit të fuqisë së parëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë binomin e fuqisë së parë me një ndryshore. Të ndërtojë tabelënpër shenjën e binomit.II. Të studiojë shenjën e binomit në të paktën dy raste. Të zgjidhë inekuacioninduke zbatuar studimin e shenjës së binomit.III. Të interpretojë gjeometrikisht shenjën e vlerave të binomit të fuqisë së parëme një ndryshore.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela mbi shenjën e binomit.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Punë e udhëhequr3. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja fillon me punë përgatitore. Shkruani një binom dhe tregoni fuqinë e tij.Jepni përkufizimin e binomit të fuqisë së parë. Më pas merrni si punë individuale.Jepet binomi f(x) = 2x – 3, x ∈ R⎛ ⎞Gjeni: f(0), f(1), f(2), f(3), f⎝⎜⎠⎟Për binomin f(x) = ax + b gjeni f(0), f ⎛ b⎞−⎝⎜⎠⎟ , këtej nis studimi i shenjës sëavlerave të f(x) = ax +b (shiko Matematika 9, faqe 193)Pas tabelës mbi shenjën e binomit merr si punë grupi:Studioni shenjën e binomeve f(x) = 2x – 10 dhe f(x) = 2(x – 2) – 3(x + 1).Pas punës individuale bëhet interpretimi gjeometrik.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/e, f, 2/d, f, 3, faqe 194.134

Mësimi 8.15Tema: Inekuacione në formë prodhimi dhe herësiObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë inekuacionet në formë prodhimi (herësi).II. Të zgjidhë inekuacionet në formë prodhimi (herësi), kur ato janë nëformë standarde.III. Të zgjidhë inekuacione, të cilat kthehen në formë prodhimi (herësi).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela mbi studimin e shenjës.Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë grupi.3. Punë individuale.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Punë individuale.Zgjidhni 2x – 6 = 0, 3 – 2x = 0, (2x – 6)(3 – 2x) = 0, x − = 0 − xZgjidhni inekuacionet: 2x – 6 > 0, 3 – 2x > 0.- A mund të zgjidhni (2x – 6)(3 – 2x) = 0, x − = 0 ? − xMësuesi/ja jep përkufizimin dhe formulon rregullën për zgjidhjen einekuacioneve në formë prodhimi (herësi).Punë e udhëhequr.Nxënësit punojnë shembujt 1 dhe 2.Më pas, me punë grupi, ata punojnë ushtrimin 1/f, faqe 196, ndërsa përpunë individuale marrin 1 b/c, faqe 195.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/a, d, e; 2/c, faqe 196.Mësimi 8.16Tema: Ushtrime dhe problemaObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zgjidhë ekuacione të fuqisë së parë të dhëna në formën standarde(ax + b > 0).II. Të zgjidhë inekuacione që kthehen në inekuacione të fuqisë së parë.Të zgjidhë inekuacione në formë prodhimi dhe herësi.III. Të zgjidhë inekuacione duke i kthyer më parë në formë prodhimi (herësi).Të zgjidhë problema që kthehen në zgjidhjen e inekuacionit.135

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula të rëndësishme.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja duhet të fillojë me punën individuale.Zgjidhni inekuacionet:a. 2 x − 1x − 1 x + 1 x> , b. − < + Me punë të udhëhequr në formë diskutimi:Zgjidhni inekuacionin:x 2 – 6x + 13 > 0Zgjidhje: Shiko tekstin faqe 196.Punë individuale:x 2 – 2x – 3 > 0Inekuacioni merr formën:(x – 3)(x + 1) > 0Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Punë e udhëhequr.3. Punë individuale.Kujdes!x 2 – 2x – 3 = x 2 – 2x + 1 – 4 == (x – 1) 2 – 4 = (x – 1 – 2)(x – 1 + 2) == (x – 3)(x + 1)Inekuacion në formë prodhimi.Më pas me punë të udhëhequr nxënësit punojnë problemën në faqen 197.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/a, c, 4.Mësimi 8.17Tema: Sisteme inekuacionesh të fuqisë së parë me njëndryshoreObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zgjidhë sisteme të inekuacioneve të dhëna në formë të thjeshtë,.⎧x− 2x> 0p.sh. ⎨⎩ − x< 0 .⎧ax+ b > 0II. Të zgjidhë sisteme të inekuacioneve duke i kthyer më parë në formën: ⎨⎩cx+ d < 0III. Të zgjidhë inekuacione me vlerë absolute.136

Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja e fillon orën e mësimit me punën përgatitore të tekstit.Punë individuale.Zgjidhni inekuacionet: 8 – 2x ≥ 0, 4x + 12 < 0Shënoni A 1bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit të parë, ndërsa meA 2bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit të dytë. Gjeni A = A 1∩ A 2.Mësuesi/ja jep përkufizimin e sistemit.Punë individuale.⎧ − x< −1Zgjidhni sistemin: ⎨⎩x− > 1Më pas kalo tek inekuacioni me vlerë absolute.Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë grupi.3. Punë individuale.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Si punë grupi jepet inekuacioni − 1 x ≤ .!⎧> x1. ⎨2.⎩x− < Zgjidhni inekuacionet:Detyrë shtëpie. Zgjidhni sistemet:⎧x− > 0⎪⎨x+ 2 ≥ 0⎪⎩x− ≤ 11. − < x < 1

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re: Me punë grupi të integruar.Zgjidhni inekuacionin:4,2(3,3 – 0,8x) < 7x + 1,4X(x + 2) > x + 2 ⇔ x(x + 2) – (x – 2) > 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) > 0 .....Zgjidhni sistemin:!⎧( x − )− x ≥ 1⎨⎩ − ( x − 2)≥ −1Zgjidhni inekuacionin:1. 7x− 1 7x12 10 2 10 4 0 7x1 x10 7x1 x0> − ⇔ − + > ⇔ − + ( + ) > 0 ⇔ − + + 15x+ > 0 ⇔ > 0x +x +2x+ 102 x + 102x+ 10⎧x− −1⎩⎪x + Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/c, 4/c, 5/a, faqe 200.Test kontrolli (skema e qortimit)Ushtrimi 1.1. Qarkimi i rastit (a) (1 pikë)2. Arsyeja (pjesëtohen të dyja anët me 3). (1 pikë)Ushtrimi 2.1. Qarkimi i saktë (b). (1 pikë)2. Arsyeja (shumëzohen të dyja anët me O 12). (1 pikë)Ushtrimi 3/a.1. Bashkësia e vlerave të palejuara (lejuara). (1 pikë)2. Kthimi te 5(x – 1) = 2(x + 2) (1 pikë)3. Gjetja e zgjidhja x = 3 (1 pikë)b. 1. Bashkësia e vlerave të palejuara (lejuara). (1 pikë)2. Paraqitja në formën 3(x + 2) = x 2 – 4 (1 pikë)3. Shndërrimi në formën x 2 – 3x – 10 = 0 (1 pikë)4. Gjetja e dallorit D = 49 (1 pikë)5. Rrënjët x 1= 5 (x 2= -2) (1 pikë)138Ushtrimi 4/a.1. Bashkësia e vlerave të palejuara (lejuara). (1 pikë)⎧ 1u =2. Zëvendësimi ⎪ x(1 pikë)⎨⎪1v =⎩⎪y

3. Paraqitja e sistemit⎧ − v= −⎨⎩u+ v= 21⎧u= 4. Gjetja e zgjidhjeve: ⎨⎩v= ⎧ 1x =⎪ 5. Gjetja e zgjidhjeve: ⎨⎪ 1y =⎩⎪(1 pikë)(1 pikë)(1 pikë)b. 1. Zgjidhja e inekuacionit të parë. (1 pikë)2. Zgjidhja e inekuacionit të parë. (1 pikë)3. Paraqitja e zgjidhjeve në bosht. (1 pikë)4. Gjetja e zgjidhjes së sistemit. (1 pikë)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Ushtrimi 5/a.1. Kthimi në formën x − 2( x − 1)− < 0x − 1 x − 1−2. Shndërrimi në formënx − 1 < 0(1 pikë)(1 pikë)3. Studimi i shenjës x – 1 ose kthimi x -1 > 0 (1 pikë)4. Studimi i shenjës −x − 1(1 pikë)5. Paraqitja e zgjidhjes në bosht. (1 pikë)b. 1. Kthimi në sistem. (1 pikë)2. Zgjidhja e inekuacioneve. (1 pikë)3. Paraqitja e zgjidhjeve në bosht. Gjetja e zgjidhjeve të sistemit. (1 pikë)Ushtrimi 6.1. Shkrimi i formulës V = Vo + at (1 pikë)2. Zëvendësimi x = t dhe paraqitja në formën 10 + 10x > 40 (1 pikë)3. Zgjidhja e inekuacionet (tek 2). (1 pikë)4. Paraqitja e zgjidhjes në bosht dhe zgjidhja e problemës. (1 pikë)Ushtrimi 7.1. Nisja e zgjidhjes nga diferenca:mm m + − m + − =(1 pikë)2. Zëvendësimi: m 2 – 4m + 4 = (m – 2) 2 (1 pikë)3. Përfundimi: meqenëse (m – 2) 2 ≥ 0, atëherë m + m − 2m≥ 0 ⇒ + ≥ m(1 pikë)139

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Kreu XIXFUNKSIONIMësimi 9.1Tema: Prodhimi kartezian i bashkësive. Paraqitja në planin xoyObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e çiftit të renditur. Të përkufizojë prodhimin karteziantë bashkësive. Të shkruajë bashkësinë A x B.II. Të paraqesë prodhimin kartezian të dy bashkësive me diagramin e Venit.Të paraqesë prodhimin kartezian në planin kartezian në rastin kur A dhe Bjanë të fundmë.III. Të paraqesë prodhimin kartezian A x B në planin koordinativ në rastin kurA dhe B janë intervale numerike.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me diagrame të gatshmembi A x B.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Punë e udhëhequr.3. Diagrami i Venit.4. Ilustruesi grafik.5. Punë individuale.140Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore. Jepet kuptimi i çiftit të renditur (a; b) dhe kuptimi i barazimit⎧x(x 1; y 1) = x 2; y 2) ⇔ ⎨= x⎩y= y!1 21 2.Më pas, si punë grupi.Gjeni x dhe y që çiftet (x; 1 ) = (-2; y) dhe (-3; 2y) = ( 1 x; 1 y).Pas kësaj vazhdo me punën përgatitore si në tekst, faqe 202.Duhet kujdes kur japim përkufizimin e prodhimit kartezian A x B. Është edomosdoshme ta paraqitim simbolikisht A x B = {(x; y) / x ∈ A dhe y ∈ B}.Mësuesi/ja, për të zbuluar sa është kuptuar, të kërkojë nga nxënësit dalliminnga B x A.Më pas kalojmë te paraqitja e A x B. Vazhdo si në tekst, faqe 203.Punë e udhëhequr.Jepet ushtrimi 1/a te puna e pavarur.Punë individuale.Jepet pika b e ushtrimit 1.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2/a, c, 3, 5, faqe 203.

Mësimi 9.2Tema: Relacioni. Funksioni. Mënyrat e dhëniesObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë relacionin dhe funksionin. Të dallojë grafikun e relacionit ngaai i funksionit.II. Të ndërtojë një relacion dhe një funksion në mënyra të ndryshme.III. Të paraqesë relacionin me diagram.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me diagramin e Venit mbirelacionin dhe funksionin.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Diagrami i Venit.3. Punë e udhëhequr.4. Punë individuale (grupi)Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja fillon me punë përgatitore, e cila organizohet në formën e punës nëgrup, duke iu përgjigjur pyetjeve që ka teksti.Kujdes! Duhet të theksohet se nga përkufizimi i relacionit, për përcaktimin erelacionit, do të kemi:1. Bashkësinë e fillimit X (fillimin)2. Bashkësinë e mbarimit Y (fundin)3. Grafi i relacionit (shiko Matematika 9)Pas mënyrave të dhënies së relacionit, mësuesi/ja merr si punë individualeushtrimin:Jepet relacioni R me anë të diagramit të Venit.xyShkruani bashkësinë e fillimit,9 xx -1Shkruani bashkësinë e mbarimit,x1Grafin e relacionit,4 xx 2Rregullën që lidh x-in me y-in.5 xx 3Më pas mësuesi/ja kalon te puna përgatitore në faqen 205.Në formë të punës së udhëhequr vazhdohet me kuptimin e funksionit.Kujdes! Ka rëndësi që nxënësi të bëjë dallimin nga relacioni te funksioni dhe tëevidentojë me shembuj mënyrat e dhënies së funksioneve numerike.Punë individuale.Nxënësit punojnë ushtrimin 3, faqe 206.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, faqe 206.141

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 9.3Tema: Bashkësia e përcaktimit të funksionit. Bashkësiae vlerave. Grafiku i funksionitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë bashkësinë e përcaktimit të një funksioni. Të përkufizojëgrafikun e funksionit.II. Të gjejë bashkësinë e përcaktimit të një funksioni të dhënë me formulë.Të gjejë bashkësinë e vlerave për një funksion të dhënë me formulë.Të ndërtojë grafikun e funksionit kur dihet bashkësia e çifteve.III. Të provojë ekzistencën ose jo të funksionit, duke u nisur nga vijat e dhënanë plan. Të ndërtojë funksionin kur jepet grafiku i tij.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me grafikë, funksione të njohura.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Punë e udhëhequr.3. Ilustruesi grafik.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë ushtrimet 1 dhe 2, sikurse janë tepuna përgatitore dhe pret përgjigje nga nxënësit.Tek ushtrimi 1 mund të merrni përgjigje të sakta.Kujdes! Në planin koordinativ mund të ketë nxënës që i bashkojnë pikat. Kjonuk është e saktë (pikat lihen të veçuara).Tek ushtrimi 2 do të kemi stepje të nxënësve, pothuajse te tri kërkesat,prandaj është e nevojshme ndërhyrja e mësuesit/es duke kujtuar bashkësinëe përcaktimit etj. (shiko Matematika 9)Punë individuale.Ndërtoni grafikun e funksionit: y = 2x – 1 për x ∈ {0; 1; 2; 3}Jepet funksioni y = : gjeni bashkësinë e përcaktimit E dhe bashkësinëe vlerave F. 1 − xNdërtoni grafikun për x ∈ {-2; -1; 0; 2; 3}!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4 dhe 5, faqe 209.142

Mësimi 9.4Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të dallojë grafikun e një funksioni nga vija të tjera. Të gjejë vlerat efunksionit për figura të dhëna, kur funksioni jepet me një nga mënyrat.II. Të gjejë bashkësinë e përcaktimit (vlerave) të një funksioni të dhënë nënjë nga mënyrat.Të ndërtojë grafikun e funksionit kur jepet bashkësia e përcaktimit dhe formula.III. Të gjejë formulën e një funksioni të dhënë me mënyrën grafike (tabelë).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me grafikë(shih grafikët në faqen 208-209).Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë grupi.3. Ilustruesi grafik.4. Punë individuale.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në fillim me anë të punës në grup punon ushtrimet 1/11, 2, faqe 208.Kujdes! Tek ushtrimi 2 vija e parë nuk është grafik funksioni, sepse ka x (fytyra)që lidhen me dy y (shëmbëllime). P.sh. x = 0 lidhet me y = 1 dhe y = -1(kujto përkufizimin e funksionit).Më pas merr si punë individuale ushtrimin 3, faqe 209.Kujdes te pika d) bashkësia e vlerave (bashkësia e përcaktimit E) dhebashkësia e vlerave të z (bashkësia e vlerave F).Pas këtij ushtrimi nxënësit me punë të udhëhequr punojnë1. ushtrimin 6/d faqe 209.Këtu shënojnë bashkësinë e përcaktimit:E = {x ∈ R / −2x − 1 3 ≥ 0 } për të gjetur E duhet të zgjidhim inekuacionin2x − 1 − 3 ≥ 0 ⇔ E = ] 1; ].2. ushtrimin 9, faqe 209.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/3, 6/a,c, 8, faqe 208-209.143

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 9.5.6Tema: Grafiku i funksionit x = a(x – m) 2 , y = ax 2 + n dhe y =ax 2 + bx = cObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të ndërtojë grafikun e funksionit y = ax2 në të paktën dy raste (a > 0, a < 0).II. Të ndërtojë grafikun e funksionit y = ax 2 + n në të paktën dy raste (n > 0, n < 0).Të ndërtojë grafikun e funksionit y = a(x – m) 2 në të paktën dy raste (m > 0, m < 0).III. Të ndërtojë grafikun e funksionit y = a(x – m) 2 + n. Të ndërtojë grafikun e funksionity = ax2 + bx + c, duke zbatuar zhvendosjen e boshteve (ose drejtpërdrejt).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me grafikë (faqe 210-211).Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesi grafik.3. Punë e udhëhequr.4. Punë grupi.5. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:ORA IMësuesi/ja fillon me punën përgatitore në faqen 210, këtu mund të shtojë dhegrafikun e funksionit y = − 1 x . Më pas kalon te grafiku i funksionit y = 2x 2 + 1(y = 2x 2 – 1), duke zhvendosur boshtin (x’x). (shiko Matematika 9,faqe 210).Mësuesi/ja kalon te puna individuale me ushtrimin:Ndërtoni grafikun y = 1 x − (y = 1 x + ).Punë individuale.Nxënësit punojnë me grafikun e y = 1 ( x − ) .Si detyrë shtëpie jepen grafikët e funksioneve: y = 3x 2 , y = -3x 2 , y = 3x 2 – 2,y = 3(x – 2) 2 .Tema e dytë me punën përgatitore:ORA IINdërtoni grafikun e funksioneve:y = − 1 x ; y =11− − ( x ) ; y = − x + 1- A mund të ndërtoni grafikun e funksionit y = − ( x − )+ ?Mësuesi/ja nxjerr përfundimin se si do të veprojnë për ndërtimin e grafikuttë funksionit:y = a(x – m) 2 + n- A është e mundur të ndërtohet grafiku i funksionit y = ax 2 + bx + c? (a ≠ 0)?2- A mundet që shprehja ax + bx + c të paraqitet në formën a(x – m)2 + n?144

Këtu mësuesi/ja kryen shndërrimet (shiko faqen 211).Si përfundim themi se meqenëse ax 2 + bx + c = a(x – m) 2 + n 2 , ku m = − b an = − d a!grafiku i y = ax 2 + bx + c ndërtohet njëlloj si grafiku i y = a(x – m) 2 + nPër këtë vazhdohet me shembullin në tekst, faqe 212.Punë individuale.Ndërto grafikun e funksionit y = 2x 2 – 3x + 1Detyrë shtëpie.Ndërtoni grafikun e funksionit y = x 2 + 3x dhe y = 2x 2 - 3x - 2dheLibër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 9.7Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të ndërtojë grafikun e funksioneve y = ax 2 dhe y = x 2 + n. Të gjejë kulmine parabolës y = ax 2 + bx + c.II. Të ndërtojë grafikun e funksionit y = ax 2 + bx + c, duke e kthyer te grafikui y = a(x – m) 2 + n.III. Të zgjidhë grafikisht ekuacionin ax2 + bx + c = 0. Të ndërtojë pazhvendosjen e boshteve grafikun e funksionit y = ax2 + bx + c. Të shkruajëformulën e funksionit y = ax2 + bx + c, nëse njihen kulmi dhe pika të tjeratë grafikut.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me grafikë të funksioneve.Zhvillimi temës së re:Punë individuale.Nxënësit duhet të punojnë ushtrimin 1, faqe 213.Kujdes! Te pika d të theksohet se parabola në lidhje me boshtin (oy) ështësimetrike.Në ushtrimin 3/a ka rëndësi që nxënësi të gjejë koordinatat e kulmit tëparabolësC (m; n), m = − b adhe n = − d a.Ushtrimi 6/a (y = x 2 – 4x + 4 = (x + 2) 2 )Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë grupi.3. Punë individuale.4. Analizë problemore.145

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Plotësoni tabelën:Vlera e tiparit, NotaEfektiviDenduria4 56Renditni të dhënat nga vlera më e vogël deri te vlera më e madhe:4, 4, 4, 4 ,4 , 5, 5, 5, 5, 5, 5, ....Të dhënat për shtatlartësinë e vajzave të klasave të 9-ta janë (shiko tekstin, faqe216). Meqenëse kemi shumë të dhëna, atëherë këto të dhëna i ndajmë në klasa.Konkretisht, meqenëse diferenca 180 – 157 = 23 cm ≈ 24 cm nga shtatlartësiamë e madhe në më të voglën është afërsisht 24 cm.Preferoj ta ndaj në 6 klasa që përfaqësojnë 6 gjysmësegmente numerike(24 : 6 = 4 cm) me gjatësi 4 cm.Klasa 1 [157: 161[Klasa 2 [161: 165[Klasa 3 [165: 169[Klasa 4 [169: 173[Klasa 5 [173: 177[Klasa 6 [177: 180[67 8 9 10Plotësoni tabelën:KlasaEfektiviDenduria[157-161[77/60Në rastin e një tipari cilësor vlerat e tiparit janë modalitete. P.sh.:Një ekip kombëtar përbëhet nga 18 sportistë, të cilët janë zgjedhur nga 4 klube:A, B, C, D.Këtu vlerat e tiparit janë modalitetet A, B, C, D.Plotësohet tabela:KlubiA B C DEfektiviDenduria148

Pasi plotësohen tabelat përkufizohet klasa modale për të dhënat që grupohennë klasa.Përkufizimi 1:Modë (klasë modale) quhet ajo vlerë e tiparit (klasë) që ka efektivin më tëmadh.P.sh., për shembullin 1, moda 5 (efektivi 8).Për shembullin 2, klasa modale [169-173[ (efektivi). Për shembullin 3, moda A(efektivi 7).Përkufizimi 2:Mesorja është vlera që e ndan vargun e vlerave të tiparit (pasi është renditur ngavlera më e vogël deri te më e madhja) në dy pjesë të barabarta.P.sh.: Te shembulli i parë, meqenëse kemi 40 vlera, atëherë mesorja është ndërmjetvlerës 20 e 21 që është 6 (Me = 6).Për shembullin 2, mesorja do të merret mesi i klasës ndërmjet vlerës 30-të e 31,që është te klasa 4, mesi i saj 171 (Me = 171).Të dhënat statistikore kanë si karakteristikë edhe mesataren (kur tipari është sasior)për rastin 1: + + + + + + 3 10x = = ,40Për rastin e 2 merret mesi i klasës: 159 + 163 + 12 167 + 15 171+ 13 175 + 178x == 16160Mësuesi/ja jep paraqitjen me diagram me shtylla:Për shembullin e parë: shtyllat janë drejtkëndësha, ku baza e drejtkëndëshitka mesin në vlerën e të parit dhe lartësinë sa efektivi (bazat e drejtkëndëshitjanë të barabarta)..10987654321Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”!4 5 6 7 8 9 10Detyrë shtëpie. Studio një shpërndarje statistikore(p.sh., temperaturën në çdo orë të ditës).149

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 10.2Tema: Shumëkëndëshi i shpërndarjes. Kurba e GausitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të paraqitë grafikisht një shpërndarje statistikore të ndarë në klasa(histogrami). Të ndërtojë shumëkëndëshin statistikor.II. Të ndërtojë histogramin për efektivat e grumbullimit. Të ndërtojë kurbëne Gausit.III. Të interpretojë të dhënat nga shumëkëndëshi statistikor (kurba e Gausit).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me grafikë.Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë grupi.3. Analizë problemore.Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore.Merrni shembullin 11 dhe ndërtoni këtë tabelë.Klasa Efektivi Efektivi i grumbulluar Denduria e grumbulluarPër të ndërtuar histogramin veprojmë kështu:Në boshtin e x-ve vendosim klasat me të njëjtën gjatësi, ku kufiri i djathtë içdo klasë i takon klasës pasardhëse (kujdes figura 1, faqe 218, është gabim)dhe lartësia e çdo drejtkëndëshi është sa efektivi.Në ndryshim nga diagrami me shtylla te histogrami drejtkëndëshat nuk janëtë ndarë.151413121110987654321157161 165 169 173 177 180Shiko figurën.Klasa150

Shumëkëndëshi i formuar nga bashkimi i pikave të mesit të bazës së sipërmequhet shumëkëndëshi statistikor. Nëse këtij shumëkëndëshi (vijës së thyer) i japimformë të lakuar (shih figurën, faqe 219), kjo quhet kurba e Gausit.!Detyrë shtëpie. Ushtrimi 1, faqe 219.Mësimi 10.3Tema: Përdorimi i mesatares, mesores, modësObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të evidentojë dallimet ndërmjet tyre.II. Të dallojë përparësitë e mesatares.III. Të gjejë modën, mesoren dhe mesataren në një shpërndarje statistikore.Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mjete ndihmëse:Metodat që rekomandohen:1. Teksti Matematika 9.1. Mësimdhënia e drejtpërdrejtë.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.2. Punë individuale.3. Tabela, grafikë të ndryshëm mbi shpërndarjet.Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore.Mësuesi/ja duhet të theksojë karakteristikat:Moda është pak e përdorshme, është vetëm një vlerë e vargut, megjithëseështë vlera më e shpërndarë në varg. Mesorja ka përparësi më tepër semesatarja, sepse gjendet shpejt, por ka mangësi. Ajo merr parasyshvendndodhjen dhe nuk mund të interpretohet lehtë.Mesatarja është më e përdorshmja, megjithatë ka vështirësi në llogaritje dheështë e ndryshme nga vlerat: më e vogël dhe më e madhe. Në llogaritjen esaj përdoren të gjitha të dhënat.Punë individuale.Jepet për nxënësit ushtrimi 11, faqe 220.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3, faqe 120.151

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Mësimi 10.4Tema: Karakteristikat e shpërndarjesObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e amplitudës dhe ta llogaritë atë.II. Të llogaritë shmangien mesatare absolute.III. Të llogaritë shmangien mesatare katrore.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela grafike.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja fillon me punë përgatitore. Kujdes! Duhet të dalë mevëmendje amplituda.Përveç mesores, kuartileve, të jepet kuptimi i ndryshesës ndërkuartilore.n1 x1 − x + n x − x + ... + nkxk− xMe e =, ku x mesatarja.N11+ + 4 1+ + 6 1P.sh.: për grupin e parë është e =, e = 3,110nKurse: σ 1( x1− x) + n( x− x) + ... + nkxk− x=Nmesatare katrore.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 2, faqe 221.quhet shmangiaMësimi 10.5Tema: Probabiliteti i ngjarjesObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë probabilitetin.II. Të dallojë hapësirën e rezultateve në një provë të rastit. Të dallojë ngjarjennë një hapësirë rezultatesh.III. Të gjejë elementet e një hapësire rezultatesh në një provë të rastit. Të gjejëelementet e ngjarjes në një provë të rastit. Të gjejë probabilitetin e një ngjarjeje.152

Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Skema për gjetjen e hapësirëssë rezultateve (faqe 223).Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë në grup.3. Organizuesit grafikë.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja rikujton nga klasa e 8-të, duke punuar më pas në formën e punësnë grup: shembulli 1.Nxënësit punojnë shembullin 2 me anë të organizuesit grafik. Tregoni hapësirëne rezultateve, figura 1, faqe 223.Gjeni P(A) = 1 (shiko faqen 224).Libër mësuesi për tekstin “Matematika 9”Si punë individuale merret ushtrimi i punës së pavarur dhe ushtrimi 2, faqe 224.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 5, faqe 224.Mësimi 10.6Tema: Ngjarje të papajtueshmeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë ngjarjen e kundërt dhe atë të papajtueshme.II. Të gjejë probabilitetin e një ngjarjeje të kundërt.III. Të zbatojë metodën e tabelës (pemës) për hapësirën e rezultateve.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja e fillon orën e mësimit me punë përgatitore. Duhet të dalë kuptimi ingjarjeve të papajtueshme dhe ngjarjes së kundërt. Të gjendet probabiliteti i ngjarjesA dhe A në rastin e shembullit 1.Punë e udhëhequr, punohet shembulli 1.Punë individuale, nxënësit merren me ushtrimin e punës së pavarur.!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 4, 5, faqe 228.153

âMatematika 9â - Albas

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

âMatematika 9â - Albas