Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

92 6. Iterativne metodestoga za taj limes x vidimo da vrijedi Ax = b. To nam pokazuje da u slučajukonvergencije niza (6.1) njegov limes predstavlja rješenje SLJ.U svrhu proučavanja konvergencije iterativne metode, proučavat ćemoponašanje pogreške e (k) = x (k) − x, gdje je x točno (egzaktno rješenje) SLJ.Koristeći navedene oznake dobivamoMe (k) = Mx (k) − Mx = (b − Nx (k−1) ) − (A − N)x = −Ne (k−1) ,iz čega slijedi e (k) = −M −1 Ne (k−1) . To znači da će promatrana metodakonvergirati ako e (k) → 0 za k → ∞.Prije nego nastavimo s proučavanjem konvergencije iterativnih metodapotrebno je uvesti nekoliko pojmova koji će nam poslužiti kao teorijska osnovaza njihovo proučavanje.Prvi se rezultat odnosi na Jordanovu kanonski oblik matrice. Rezultatćemo iskazati u obliku teorema bez dokaza.Definicija 6.1 Jordanov blok J k (λ) ∈ C k×k za λ ∈ C je matrica za kojuvrijedi J k (λ) ii = λ, J k (λ) i,i+1 = 1 i J k (λ) i,j = 0 za sve ostale i, j = 1, ..., k,tj.⎛⎞λ 1 0 . . . 00 λ 1 . . . 0J k (λ) =.⎜. . .. . .. ..⎟⎝0 0 . . . λ 1⎠0 0 . . . . . . λJordanova matrica je blok diagonalna matrica J ∈ C n×n sljedećeg oblika⎛⎞J n1 (λ 1 )J n2 (λ 2 )J = ⎜⎝. ..⎟⎠J nk (λ k )gdje je ∑ nj=1 n j = n.Teorem 6.1 (Jordanov kanonski oblik) Za bilo koju kvadratnu matricuA ∈ C n×n postoji regularna matrica S ∈ C n×n i Jordanova matrica J ∈ C n×n ,koje zadovoljavaju jednakostA = SJS −1 ,pri čemu su dijagonalni elementi λ 1 , . . .,λ k Jordanovih blokova J ni , i =1, . . ., k, svojstvene vrijednosti matrice A.