Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

70 5. Sustavi linearnih jednadžbiPrimjer 5.3 Neka je π : {1, . . ., n} → {1, . . ., n} permutacija. Tada jematrica P = (p ij ){ 1, ako j = π(i)p ij =0, u suprotnommatrica permutacija. Istaknimo da je jedinična matrica takoder permutacijskamatrica.Napomena 5.51) Ako je P permutacijska matrica, tada jen∑(P T P) ij = p ki p kj = δ ij ,k=1stoga je P T P = I. Ovim smo pokazali da je matrica permutacije ortogonalnai da je P −1 = P T .2) Ako je P matrica permutacija koja odgovara permutaciji π, tada zanjezin inverz vrijedi da je (P −1 ) ij = 1 ako i samo ako je j = π −1 (i). Stogamatrica permutacija P −1 odgovara permutaciji π −1 .3) Vrijedi sljedeće:n∑(PA) ij = p ik a kj = a π(i),jk=1za sve i, j ∈ {1, . . ., n}, što pokazuje da množenje s matricom permutacijaslijeva odgovara permutaciji (zamjeni mjesta) redaka matrice A.Nadalje, vrijedin∑(AP) ij = a ik p kj = a i,π −1 (j)k=1za sve i, j ∈ {1, . . .,n}, odnosno množenje s matricom permutacija zdesnaodgovara permutaciji (zamjeni mjesta) stupaca matrice A.U prošlom poglavlju prikazan je primjer koji obraduje slučaj kad LUfaktorizacija nije povratno stabilna. Problem sa stabilnošću nastaje zbogtoga što u 4. koraku LU faktorizacije dolazi do dijeljenja s vrlo malim brojemu kk = ε.Nadalje, primijetimo da za postojanje LU faktorizacije matrica A moraimati specijalnu strukturu: sve njene glavne podmatrice do uključivo redan − 1 moraju biti regularne. Sljedeći primjer ilustrira taj problem.