Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

6 2. Linearna algebra i MATLAB• za p=1 dobivamo‖x‖ 1 =n∑|x j | ∀x ∈ C nj=1• norma L ∞ : ‖x‖ ∞ = max1≤j≤n |x j|Definicija 2.2 Skalarni umnožak na C n je preslikavanje 〈·, ·〉 : C n ×C n −→C koje zadovoljava:a) 〈x, x〉 ∈ R + za sve x ∈ C n i 〈x, x〉 = 0 ako i samo ako je x = 0.b) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 za sve x, y ∈ C n .c) 〈x, α y〉 = α 〈x, y〉 za sve α ∈ C , x, y ∈ C n .d) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉 za sve x, y, z ∈ C n .Primjer 2.1 Standardni skalarni umnožak na C n dan je sa〈x, y〉 =n∑x j y j ∀x, y ∈ C n . (2.1)j=1Napomena 2.1 Uvjeti c) i d) definicije 2.2 ukazuju da je skalarni umnožak〈·, ·〉 linearna funkcija u drugoj komponenti. To se može jednostavno provjeriti.S druge strane, koristeći svojstva skalarnog umnoška vidimo da〈x + y, z〉 = 〈z, x + y〉 = 〈z, x〉 + 〈z, y〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉 za sve x, y, z ∈ C n ,i〈α x, y〉 = α〈x, y〉 za sve α ∈ C, x, y ∈ C n .Vidimo da je skalarni umnožak anti-linearan s obzirom na prvu komponentu.Definicija 2.3 Dva vektora x, y su okomita (ortogonalna) s obzirom naskalarni umnožak 〈·, ·〉 ako je 〈x, y〉 = 0.