Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

6.1. Linearne metode 93Pomoću prethodnog teorema o Jordanovom kanonskom obliku matriceu sljedećoj lemi izvest ćemo jedno od važnih svojstava spektralnog radijusamatrice A.Lema 6.1 Neka je dana matrica A ∈ C n×n i broj ε > 0. Tada postojivektorska norma na C n takva da njoj pripadna inducirana vektorska normazadovoljavaρ(A) ≤ ‖A‖ ≤ ρ(A) + ε .Dokaz. Iz teorema 2.2 slijedi ρ(A) ≤ ‖A‖, za bilo koju matričnu normu.Ostaje nam samo pokazati drugu nejednakost iz tvrdnje. Neka je sa J =S −1 AS dan Jordanov oblik matrice A i neka je dana dijagonalna matricaD ε = diag(1, ε, ε 2 , . . .,ε n−1 ). Tada je(SD ε ) −1 A(SD ε ) = D −1ε JD ε =⎛⎜⎝λ 1ε. .. . ..1λ 2 ε. .. . ..⎞.. .. ε ⎟λ 2 ⎠.. .Definirajmo vektorsku normu ‖ · ‖ na C n na sljedeći način:‖x‖ = ‖(SD ε ) −1 x‖ ∞za sve vektore x ∈ C n . Tada inducirana matrična norma zadovoljava‖A‖ = maxx̸=0= maxy≠0‖Ax‖‖x‖ = maxx̸=0‖(SD ε ) −1 A(SD ε )y‖ ∞‖y‖ ∞= ‖(SD ε ) −1 A(SD ε )‖ ∞ .‖(SD ε ) −1 Ax‖ ∞‖(SD ε ) −1 x‖ ∞Iz teorema 2.5 slijedi da se ‖ · ‖ ∞ neke matrice izračunava kao najveći zbrojapsolutnih vrijednosti elemenata po retcima. Prema tome, iz eksplicitnog