Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

116 7. Problem najmanjih kvadrataBudući da iz z = V ∗ x slijedi da je x = [ ]v 1 , . . . v r z, što sve zajedno dajerješenje LPNK x = [ ] ∗,x x 0 gdje je:⎡⎤⎡1/σ 1 u ∗x = [ 1]1/σ 2 b⎤u ∗ 2br∑v 1 , . . . v r ⎢⎣. ..⎥⎢⎥⎦⎣. ⎦ = u ∗ i b v i .σ1/σ r u ∗ r b i=1 iNavedeni rezultati sažeti su u sljedećem algoritmu pomoću kojeg se izračunavarješenje LPNK u slučaju kad matrica A ima puni rang stupaca.Algoritam za LPNK pomoću SVD faktorizacije.ulaz: A ∈ C m×n , m ≥ n i rang(A) = n, b ∈ C mizlaz: x ∈ C n koji minimizira ‖Ax − b‖ 21: izračunaj reduciranu SVD-faktorizaciju A = Û ˆΣˆV ∗2: izračunaj Û ∗ b ∈ C n3: rješi ˆΣy = Û ∗ b4: vrati x = V yTada rezultat algoritma zadovoljavaAA ∗ x = A ∗ Û ˆΣV ∗ V y = A ∗ ÛÛ∗ b = A ∗ bpa stoga i rješava problem najmanjih kvadrata.7.2.3 Rješavanje LPNK pomoću QR dekompozicijeSlično kao u prethodnom poglavlju i u ovom ćemo tražiti minimum funkcijeF(x) = ‖Ax − b‖ ,gdje su A ∈ C m×n i b ∈ C m , pri čemu je m ≥ n.Nadalje, neka je rang(A) = r ≤ n ≤ m rang matrice A te neka je A = QR,QR dekompozicija matrice A, gdje je Q ∈ C m×m unitarna matrica, a R gornjatrokutasta matrica oblika⎡R =[ ]Rr 0 r,n−r, R0 m−r,r 0 r =m−r,n−r⎤r 11 r 12 · · · r 1r0 r 22 · · · r 2r⎢⎣.. . ..⎥ . ⎦ ,0 0 · · · r rr