Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

7.2. Rješavanje LPNK pomoću SVD dekompozicije 115Pretpostavimo nadalje da je rang(A) = r ≤ n ≤ m. Tada prema Teoremu7.2 slijedi da dekompoziciju na singularne vrijednosti matrice A možemozapisati u obliku A = UΣV ∗ , pri čemuΣ =[ ]Σr 0, Σ0 0 r = diag(σ 1 , σ 2 , . . .,σ r ) ,i σ 1 ≥ σ 2 ≥ · · ·σ r > 0.Neka je ‖ · ‖ bilo koja unitarno invarijantna norma. Koristeći činjenicuda produkt s unitarnim matricama ne mijenja normu, možemo pisatiF(x) = ‖Ax − b‖ = ‖UΣV ∗ x − b‖ = ‖U(ΣV ∗ x − U ∗ b)‖ = ‖ΣV ∗ x − U ∗ b‖ .Sada, uz oznaku z = V ∗ x i ˆb = U ∗ b, imamo[‖Ax − b‖ 2 = ‖Σz − ˆb‖ 2 =Σr 0∥ 0 0][z1]−z 2[ˆb1ˆb2]∥ ∥∥∥,pri čemu su z 1 ,ˆb 1 ∈ C r , a z 2 ,ˆb 2 ∈ C m−r . Iz gornje jednakosti slijedi[‖Ax − b‖ 2 Σr z= ‖ 1 − ˆb]1‖ 2 = ‖Σ r z 1 −−ˆb ˆb 1 ‖ 2 + ‖ˆb 2 ‖ 2 . (7.4)2Primijetite da smo u posljednjem izrazu na desnoj strani jednakosti (7.4)koristili istu oznaku ‖ · ‖ za vektorske norme definirane na prostorima C rodnosno C m−r .Istaknimo da u slučaju r < n rješenje x problema LPNK nije jednoznačnoodredeno. U tom slučaju, kao što ćemo pokazati, jednoznačno ćemo moćiizračunati samo r komponenata rješenja x. Stoga označimo sa x = [ x x 0] ∗,gdje je x ∈ C r i x 0 ∈ C n−r , i neka u i i v i označavaju i − ti stupac matrica Uodnosno V .Iz (7.4) slijedi da će F(x) biti minimalno akoiz čega slijedi da jeΣ r z 1 = ˆb 1 ,z 1 = (Σ r ) −1ˆb1 .