Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

80 5. Sustavi linearnih jednadžbise provjeri da je za j = 2, 〈q 1 , q 2 〉 = 0, zaista q 1 = a 1 /‖a 1 ‖ 2 , i 〈q 1 , q 1 〉 = 1, paimamo:〈q 1 , q 2 〉 = 1r 22〈q 1 , ̂q 2 〉= 1r 22(〈q 1 , a 2 − r 12 q 1 〉)= 1r 22(〈q 1 , a 2 − 〈q 1 , a 2 〉 q 1 〉)= 1r 22(〈q 1 , a 2 〉 − 〈q 1 , a 2 〉) = 0 .Pretpostavimo da je j > 2 i neka su vektori q 1 , . . .,q j−1 medusobno okomiti.Trebamo pokazati da 〈q i , q j 〉 = 0 za i = 1, . . ., j − 1. Ako je r jj = 0, tadatvrdnja vrijedi iz definicije vektora q j . U suprotnom imamo:〈q i , q j 〉 = 1r jj〈q i , ̂q j 〉= 1j−1∑(〈q i , a j 〉 − r kj 〈q i , q k 〉)r jjk=1= 1r jj(〈q i , a j 〉 − r ij ) = 0.Ovim smo pokazali da su stupci matrice Q medusobno okomiti, a budući dasu svi normirani (jedinične duljine,) vidimo da je Q unitarna. ✷Napomena 5.91) Ovdje je potrebno napomenuti da Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacijekoji smo koristili u dokazu teorema 5.6 nije numerički stabilan, panije preporučljivo koristiti ga za izračunavanje QR dekompozicija.2) Za m = n matrice Q, R ∈ C n×n su kvadratne. Budući da jedet(A) = det(QR) = det(Q) det(R) ,a det(Q) = {+1, −1}, vidimo da će matrica R biti regularna ako i samo akoje A regularna.Kao što smo naveli u uvodu u ovo poglavlje, jedna od mogućih primjenaQR dekompozicija je rješavanje sustava linearnih jednadžbi (SLJ). Stoga