Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

130 8. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektoripa iz Pitagorinog teorema slijedi‖A k z (0) ‖ 2 2 = |α 1λ k 1 |2 (1+n∑i=2(αiα 1) 2 ∣ ∣∣∣ λ iλ 1∣ ∣∣∣2k ) ≤ |α 1 λ k 1 |2 (1 +∣ λ 2∣∣∣2k∣λ 1n∑( ) ) 2 αi.α 1i=2Ako iskoristimo Taylorovu aproksimaciju √ 1 + x 2 ≈ 1 + x 2 /2, možemo zaključiti( ∣∣∣∣ ∣‖A k z (0) ‖ 2 = |α 1 λ k 1(1 )) | λ 2∣∣∣2k+ O .λ 1Definirajmo σ (k) = sign(α 1 λ k 1 ). Tada je∥ A k z (0) ∥∥∥2∥|α 1 λ k 1| − σ(k) x 1 =A k z (0)∥ α 1 λ k 12∥ ∥∥∥2− x 1 =2n∑i=2( ) 2 ∣ ∣ (αi ∣∣∣ λ i ∣∣∣2k ∣∣∣∣ ∣ )λ 2∣∣∣2k= Oα 1 λ 1 λ 1i stoga je‖z (k) − σ (k) x 1 ‖ 2≤≤∥ A k z (0)∥ − Ak z (0)‖A k z (0) ‖ 2 |α 1 λ k ∥ +A k z (0) ∥∥∥2∥1| 2|α 1 λ k 1| − σ(k) x 1 ∥ ∥∥∥∥∥∥∥ ∥ A k z (0)∥|α 1 λ k ∥1| ·1( ∣∣∣ ∣ ) − 1 +A k z (0) ∥∥∥2λ∥1 + O 2∣∣2k ∥ |α 1 λ k 1| − σ(k) x 1λ 12= O( ∣∣∣∣λ 2λ 1∣ ∣∣∣2k ) + O( ∣∣∣∣λ 2λ 1∣ ∣∣∣k ) = O( ∣∣∣∣λ 2λ 1∣ ∣∣∣k ) (8.4)što dokazuje tvrdnju (8.2).b) Iz teorema 8.4 znamo da je r A (σ (k) x 1 ) = λ 1 i ∇r A (σ (k) x 1 ) = 0. Taylorovrazvoj r A oko σ (k) x 1 daje namr A (z) = r A (σ (k) x 1 ) + 〈∇r A (σ (k) x 1 ), z − σ (k) x 1 〉 + O(‖z − σ (k) x 1 ‖ 2 2 )Koristeći (8.2) slijedi= λ 1 + 0 + O(‖z − σ (k) x 1 ‖ 2 2 ).|λ (k) − λ 1 | = |r A (z (k) ) − λ 1 | = O(‖z (k) − σ (k) x 1 ‖ 2 2) = O( ∣∣∣∣λ 2λ 1∣ ∣∣∣2k )