Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

14 2. Linearna algebra i MATLABi definirajmo x ∈ C n tako da x j = a kj /|a kj | za sve j = 1, . . ., n. Tada imamo‖x‖ ∞ = 1 i∣ ∣∣∣ ∑‖A‖ ∞ ≥ ‖Ax‖ max n1≤i≤n j=1 a a kjij∞|a kj | ∣=‖x‖ ∞ 1n∑ a kj≥a∣ kj |aj=1 kj | ∣n∑= |a kj |Time je teorem dokazan.Zadacij=1= max1≤i≤nn∑|a ij |j=1✷1. Pokažite da je preslikavanje ν(A) : C n×n → R, n ∈ Nmatrična norma.ν(A) = n · max |a ij |, A ∈ C n×n ,i,j2. Pokažite da za matričnu normu induciranu s vektorskom normom ‖ · ‖ 1na C n vrijedin∑‖A‖ 1 = max |a ij |.1≤j≤n3. Pokažite da za sve kvadratne matrice A ∈ C n×n funkcija ‖A‖ max =max i,j |a ij | definira vektorsku normu na prostoru matrica n × n, ali tonije matrična norma.4. Neka su A, B, C ∈ C n×n takve da je A = BC. Pokažite da jei=1‖A‖ max ≤ ‖B‖ ∞ ‖C‖ maxi‖A‖ max ≤ ‖B‖ max ‖C‖ 1 .