Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

6.2. Metoda najbržeg silaska i konjugiranih gradijenata 99PAx = Pb.b) Odredite potreban broj koraka da bi pogreška aproksimacije bilamanja od 10 −3 u ‖ · ‖ ∞ ako je x (0) = ( 0 0 0 ) T.c) Odredite prve dvije aproksimacije ako je x (0) = ( 0 0 0 ) T⎛ ⎞⎛ .0 0 1[Rješenje: P = ⎝ 1 0 0 ⎠, k = 22, x (1) = ⎝0 1 0⎛x (2) = ⎝780 12013200⎞⎠.]4. Neka su matrice A, b i x (0) kao u 1. zadatku. Gauss-Seidelovommetodom riješite sustav Ax = b tako da pogreška ne prijede 0.05 unormi ‖ · ‖ ∞ .[Rješenje: potreban broj koraka za danu toleranciju je 3,x (3) = ( −0.9981 −0.00077 1.00009 1.9998 ) .]110 18110⎞⎠,6.2 Metoda najbržeg silaska i konjugiranihgradijenataU ovom ćemo poglavlju proučavati jednu od iterativnih metoda za rješavanjeSLJ Ax = b, u slučaju kada je A pozitivno definitna matrica. Za razlikuod metoda jednostavnih iteracija, metoda koju ćemo obradivati u ovompoglavlju spada u tzv. aproksimacije iz Krylovljevih potprostora.Standardni rezultat iz linearne algebre kaže da svaka matrica poništavasvoj karakteristični i minimalni polinom. Za A ∈ C n×n i b ∈ C n to možemozapisati na sljedeći načinκ A (A) = a 0 I + a 1 A + . . . + a n−1 A n−1 + a n A n ,gdje je κ A (λ) = det(A − λI) = ∑ ni=0 a iλ i karakteristični polinom matriceA. Slično možemo napisati da je µ A (A) = 0, gdje je µ A (A) = 0 minimilnipolinom stupnja manjeg od ili jednakog n. Prepostavimo li da je matrica Aregularna, to znači da nula ne može biti korijen karakterističnog polinoma,