Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

48 4. Stabilnost i uvjetovanostpostupcima ne može ispraviti. Takoder, ulazni podaci kao što su duljina žice,vanjske sile, početni položaj, početna brzina nisu potpuno točni, jer su onirezultat nekih mjerenja.Pogreške metode.Metoda kojom rješavamo problem može sadržavati beskonačnu sumaciju,računanje neelementarnih integrala, rješavanje algebarskih jednadžbi višegreda, itd. U takvim slučajevima pogreške na primjer dolaze zamjenombeskonačnih suma konačnim sumama (nekim od parcijalnih suma) reda.Pogreške računanja.Računala računaju sa strojnim (floating-point) brojevima koji su u njemupohranjeni i pomoću kojih aproksimiramo skup realnih brojeva R. Ako brojkoji unosimo u računalo, ili s kojim on u nekom medukoraku mora baratati,nije strojni broj, onda ga računalo zaokružuje i time čini pogrešku. Jednostavnijiproračun možemo izvršiti i bez računala, no i tada, ako želimo dobitiispis rezultata pomoću znamenaka, brojeve kao što su π, e, . . . moramo zamijenitipribližnim vrijednostima. Kako bismo se mogli pouzdati u rezultatnekog proračuna, moramo biti u stanju kontrolirati pogrešku.Recimo sada nešto o pogreškama i o tome kako se one ponašaju prilikomizvodenja operacija.Neka je a točna vrijednost nekog broja, i ã njegova približna vrijednost.Kažemo da ã aproksimira a.Broj |ã − a| zovemo apsolutnom pogreškom, a broj|ã − a||ã|zovemo relativnompogreškom aproksimacije.Kažemo da je ã ≈ a s točnošću ε, ako je |ã − a| ≤ ε.Neka je ã ≈ a s točnošću ε 1 i ˜b ≈ b s točnošću ε 2 , tj. neka je ã = a ± ∆ai ˜b = b ± ∆b, pri čemu je ∆a ≤ ε 1 i ∆b ≤ ε 2 . Tada je• ã ± ˜b ≈ a ± b s točnošću ε 1 + ε 2 ,• ã˜b ≈ a b s točnošću ε 1 |˜b| + ε 2 |ã| + ε 1 ε 2 ,• ã˜b ≈ a b s točnošću ε 1 |˜b| + ε 2 |ã|(|˜b| − ε 2 ) |˜b| .Analizi gornjih svojstava vratit ćemo se nešto kasnije promatrajući ih uokviru analize stabilnosti pojedinih računskih operacija sa strojnim brojevima.