Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

12 2. Linearna algebra i MATLABTeorem 2.3 Neka je A ∈ C n×n normalna matrica, tadaρ(A) l = ‖A l ‖ 2 = ‖A‖ l 2 ∀ l ∈ N.Dokaz. Neka je x 1 , . . .,x n ortonormirana baza sastavljena od svojstvenihvektora matrice A s odgovarajućim svojstvenim vrijednostima λ 1 , . . .,λ n .Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je ρ(A) = |λ 1 |.Neka je x ∈ C n . Tada možemo pisatix =n∑α j x jj=1što dajeSlično dobivamoAx =Iz ovoga slijedin∑‖x‖ 2 2 = |α j | 2 .j=1n∑α j λ j x j i ‖Ax‖ 2 2 =j=1n∑|α j λ j | 2 .j=1‖Ax‖ 2‖x‖ 2=≤(∑ nj=1 |α jλ j | 2) 1/2( ∑ nj=1 |α j| 2) 1/2(∑ nj=1 |α j| 2 |λ 1 | 2∑ nj=1 |α j| 2 ) 1/2što povlači ‖A‖ 2 ≤ ρ(A).Primjenom teorema 2.2 dobivamo= |λ 1 | = ρ(A) ∀x ∈ C nρ(A) l ≤ ‖A l ‖ 2 ≤ ‖A‖ l 2 ≤ ρ(A) lza sve l ∈ N. Time je teorem dokazan.✷Koristeći metode slične slične onima koje smo koristili u dokazu prethodnogteorema, možemo dokazati sljedeći teorem.