Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

7.2. Rješavanje LPNK pomoću SVD dekompozicije 113zbog unitarne invarijantnosti euklidske norme, vrijedi‖A(V 1 y)‖ 2 2 = ‖(U 1 A 1 V ∗1 )V 1 y‖ 2 2 = ‖A 1 y‖ 2 2 = (σ2 1 + w∗ w) 2 + ‖A 2 w‖ 2 2σ 2 1 + w ∗ wa ovo je strogo veće od σ1 2 ako je w ≠ 0. Budući da je to u suprotnosti smaksimalnošću od σ 1 , zaključujemo da je w = 0. Stoga je( )A 1 = U1 ∗ AV σ1 01 = . (7.3)0 A 2Sada ponavljamo iste argumente za matricu A 2 ∈ C (m−1)×(n−1) . Na taj načindobivamo unitarne matrice U i V kao produkt unitarnih matrica koje su dobijenenakon svakog koraka. Ako je m ≥ n, taj postupak vodi do dijagonalnematrice Σ.S druge strane, ako je m < n, primijenimo postupak opisan u dokazuteorema na matricu A ∗ , za koju je broj redaka n veći od broja stupacam. Nakon dobivene dekompozicije A ∗ = UΣV ∗ , kompleksno transponirajmoobje matrice u toj jednakosti. DobijemoA = Ṽ ˜ΣŨ ∗ ,što je tražena singularna dekompozicija od A, pri čemu moramo još preimenovatiṼ u U, Ũ u V i ˜Σ u S.✷Sljedeći nam teorem ilustrira neka od korisnih svojstava SVD dekompozicije.Teorem 7.3 Neka je A ∈ C m×n matrica sa singularnom dekompozicijomA = UΣV ∗ i singularnim vrijednostima σ 1 ≥ · · · ≥ σ r > 0 = · · · = 0. Tadavrijedi:a) rang matrice A iznosi r, tj. rank(A) = r.b) R(A) = range(A) = span(u 1 , . . .,u r )c) N(A) = ker(A) = span(v r+1 , . . .,v n ).Dokaz.a) Budući da su U i V ∗ regularne matrice, slijedi da rank(A) = rank(Σ) = r.