Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

6.1. Linearne metode 95način: Za matricu A ∈ C n×n definiramo n × n matrice⎛⎞0 0 . . . 0 0 ⎛⎞a 21 0 . . . 0 0a 11 0 . . . 0L =a 31 a 3 2 . . . 0 00 a 22 . . . 0, D = ⎜⎜⎝.. ..⎟ ⎝.. ⎠0 0 ..⎟ . ⎠ ,0 0 . . . aa n 1 a n2 . . . a n n−1 0n n⎛⎞0 a 12 a 13 . . . a 1n0 0 a 23 . . . a 2nU =.⎜. . .. .. (6.2)⎟⎝0 0 . . . 0 a n−1 n⎠0 0 . . . 0 0Vidimo da vrijedi A = L + D + U.6.1.1 Jacobijeva metodaIterativna metoda koju dobivamo iz (6.1) za izbor matrica M = D i N =L + U, gdje su L, D i U definirane kao u (6.2) zovemo Jacobijeva metoda.Uz takav izbor matrica M i N iterativni postupak poprima sljedeći oblikx (k) = D −1 (b − (L + U)x (k−1) )za sve k ∈ N, pa konvergencija promatrane metode ovisi o svojstvima matriceC = −M −1 N = −D −1 (L + U). Budući da je D dijagonalna matrica, njeninverz se izračunava trivijalno, tako da konstrukcija matrice C nije skupa.( ) T,Označimo li sa x (k) = x (k)1 , . . . x(k) n tada se x (k+1) aproksimacijarješenja SLJ pomoću Jacobijeve metode dobiva kao rješenje sustava:x (k+1)1 = c 12 x (k)2 + c 13 x (k)3 + · · · + c 1 n x (k)n + β 1x (k+1)2 = c 21 x (k)1 + c 23 x (k)3 + · · · + c 2 n x (k)n + β 2. . .x (k+1)ngdje su c ij = − a ija ii, β i = b ia ii.= c n 1 x (k)1 + c n 2 x (k)2 + · · · + c n n−1 x (k)n−1 + β n,