Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

6.1. Linearne metode 976.1.2 Gauss-Seidelova metodaPrimijetimo da se pri izračunavanju (k+1)-ve iteracije rješenja x (k+1) pomoćuJacobijeve metode svaka komponenta vektora x (k+1) izračunavala pomoćukomponenata vektora x (k) . Gauss-Seidelova metoda je poboljšanje Jacobijevemetode u sljedećem smislu.( ) TPretpostavimo da je x (k) = x (k)1 , . . . x (k)n k-ta aproksimacija rješenja.Tada se k + 1-va aproksimacija dobiva kao rješenje sustava:a 11 x (k+1)1 + a 12 x (k)2 + · · · + a 1 n x (k)n = b 1a 21 x (k+1)1 + a 22 x (k+1)2 + · · · + a 2 n x (k)n = b 2. . .a n 1 x (k+1)1 + a n2 x (k+1)2 + · · · + a n n x (k+1)n = b n .Važno je primijetiti da se u gornjem sustavu prva komponenta x (k+1)1 vektorax (k+1) izračunava iz prve jednadžbe pomoću komponenti k-te aproksimacijerješenja. Ali tu komponentu odmah koristimo u drugoj, trećoj, ..., n-tojjednadžbi. Nadalje, komponentu x (k+1)2 koristimo u trećoj, četvrtoj, ..., n-tojjednadžbi, itd. Taj sustav možemo zapisati u matričnom oblikuodnosno(L + D) x (k+1) + R x (k) = b,(L + D) x (k+1) = −R x (k) + b. (6.5)Tako da formula iterativnog postupka ima oblik:x (k+1) = −(L + D) −1 R x (k) + (L + D) −1 b.Nedostatak ove formule je u tome što u gornjem algoritmu trebamo odreditiinverz matrice L + D što je teže nego odrediti inverz matrice D. Zato se upraksi radi malo drukčije. Pomnožimo li jednadžbu (6.5) s D −1 , dobijamo:Odatle(D −1 L + I) x (k+1) = −D −1 R x (k) + D −1 b.x (k+1) = −D −1 Lx (k+1) − D −1 R x (k) + D −1 b.Tako dolazimo do algoritma koji nazivamo Gauss-Seidelova metoda.