Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

74 5. Sustavi linearnih jednadžbiTeorem 5.4 (Povratna analiza pogreške za LUDP) Neka je LU faktorizacijakvadratne matrice A reda n izračunata s pivotiranjem redaka uaritmetici s relativnom točnošću ε m i neka su ˜L i Ũ dobivene aproksimacijeza L i U. Ako je pri tome korištena permutacija P, onda je˜LŨ= P(A + ∆A)i vrijedi|∆A| ≤2nε mP T |˜L| |Ũ| . (5.3)1 − 2nε mVažno je napomenuti da standardno pivotiranje redaka osigurava da suu matrici L svi elementi po apsolutnoj vrijednosti manji ili jednaki jedinici(što vrijedi i za matricu |˜L|), dok elementi matrice Ũ ovise o (i dobiveni supomoću) elementima matrice Ã(k) , k = 0, 1, . . ., n − 1. Stoga je broj g n (A)(faktor rasta elemenata) definiran sag n (A) = max ij |u ij |max ij |a ij | ,dobra mjera za relativni rast (u odnosu na A) elemenata u produktu |˜L||Ũ|.Vrijedi sljedeća ocjena:Napomena 5.7 Umjesto ocjene iz teorema 5.4 često se koristi sljedeća ocjena.Za rastav˜LŨ = P(A + ∆A)vrijedi‖∆A‖‖A‖≤ ε mp(n)g n (A),gdje je p polinom a g n (A) (faktor rasta elemenata) definiran sag n (A) = max ij |u ij |max ij |a ij | .Primijetimo da pivotiranje redaka doprinosi numeričkoj stabilnosti takošto se za faktor rasta elemenata g n (A) može osigurati umjeren rast u tokuLU faktorizacije.Sljedeća lema pokazuje da u slučaju pivotiranja redaka faktor rasta elemenatag n (A) ima gornju ogradu koja je funkcija samo dimenzije problema.