Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

7.2. Rješavanje LPNK pomoću SVD dekompozicije 117pri čemu oznaka 0 i,j označava nul-matricu dimenzije i × j.Budući da matrica A ne mora imati puni rang stupaca (r < n), rješenjex problema LPNK nije jednoznačno odredeno. Stoga, slično kao i u prošlompoglavlju, označimo sa x = [ x x 0] ∗, gdje je x ∈ C r i x 0 ∈ C n−r , i neka q ioznačava i − ti stupac matrice Q.Neka je ‖ · ‖ bilo koja unitarno invarijantna norma, koristeći činjenicu daprodukt s unitarnim matricama ne mijenja normu, možemo pisatiF(x) = ‖Ax − b‖ = ‖QRx − b‖ = ‖Q(Rx − Q ∗ b)‖ = ‖Rx − Q ∗ b‖ .Iz gornje jednakosti slijedi[‖Ax − b‖ 2 Rr x −= ‖ˆb ]1‖ 2 = ‖R r x −−ˆb ˆb 1 ‖ 2 + ‖ˆb 2 ‖ 2 , (7.5)2gdje je ˆb ≡ Q ∗ b = [ˆb1] ∗,ˆb2 a ˆb1 je r dimenzionalni vektor. Primijetite dasmo i ovog puta zlorabili oznake, pa smo u izrazu na desnoj strani jednakosti(7.5) koristili istu oznaku ‖ · ‖ za vektorske norme definirane na prostorimaC r odnosno C m−r .Iz (7.5) slijedi da će F(x) biti minimalno akoR r x = ˆb 1iz čega slijedi da je rješenje x LPNK dano sa⎡ ⎤q1b∗ x = (R r ) −1ˆb1 , ili x = (R r ) −1 q2 ∗⎢b⎥⎣ . ⎦ .qr ∗b Navedeni rezultati sažeti su u sljedećem algoritmu pomoću kojeg se izračunavarješenje LPNK u slučaju matrice punog ranga stupaca.Algoritam za LPNK pomoću QR dekompozicije.ulaz: A ∈ C m×n , m ≥ n i rang(A) = n, b ∈ C mizlaz: x ∈ C n koji minimizira ‖Ax − b‖ 21: izračunaj reduciranu QR dekompoziciju A = ˆQ ˆR2: izračunaj ˆQ ∗ b ∈ C n3: riješi ˆRx = ˆQ∗ b koristeći supstitucije unatrag