Numerička linearna algebra - Odjel za matematiku - Sveučilište ...

124 8. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektoriDokaz. λ je svojstvena vrijednost matrice A ako i samo ako postoji x ≠ 0takav da je (A−λI)x = 0. To je ekvivalentno uvjetu da je A−λI singularna,što je opet ekvivalentno činjenici da je det(A − zI) = 0.□Odatle slijedi da ako možemo odrediti nultočke proizvoljnog polinoma,tada možemo odrediti svojstvene vrijednosti proizvoljne matrice. Sada ćemopokazati da su ta dva problema čak ekvivalentna, odnosno da za svaki polinommožemo naći matricu kojoj je taj polinom karakteristični polinom. Nekaje dan polinom p(z) = a 0 +a 1 z + · · ·+a n−1 z n−1 +z n . Definirajmo A ∈ C n×nsa⎛⎞0 −a 01 −a 1.A =.. .. (8.1)⎜⎝ . ⎟.. −an−2⎠1 −a n−1Indukcijom se pokaže da je ρ A (z) = det(A − zI) = (−1) n p(z). Time smopokazali da je problem odredivanja svojstvenih vrijednosti ekvivalentan problemuodredivanja nultočaka polinoma.Teorem 8.2 (Abel, 1824) Za svaki n ≥ 5 postoji polinom p stupnja n sracionalnim koeficijentima koji ima realnu nultočku koja se ne može izrazitikoristeći samo racionalne brojeve, zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenjei vadenje n-tog korijena.Budući da će se rješenje izračunato pomoću računala uvijek temeljiti naoperacijama spomenutim u teoremu, možemo zaključiti da nije moguće naćialgoritam koji će izračunati svojstvene vrijednosti u konačno mnogo koraka.Zaključak: svaki algoritam za odredivanje svojstvenih vrijednosti mora bitiiterativan.Osim toga, treba istaknuti da veza izmedu odredivanja svojstvenih vrijednostii pripadnih svojstvenih vektora i nultočaka polinoma je prije svegateorijskog karaktera. Naime, sljedeći primjer ilustrira kako u jednostavnomslučaju utjecaj grešaka zaokruživanja može biti ”poguban” za točnost izračunatihsvojstvenih vrijednosti, kad se one računaju kao nultočke odgovarajućegkarakterističnog polinoma.Primjer 8.1 Neka je A dijagonalna matrica 20×20, s elementima 1, 2, . . ., 20na dijagonali. Očito je da su tada dijagonalni elementi svojstvene vrijednostimatrice A. Medutim, želimo li na matricu A izravno primijeniti teorem8.1 dobivamo sljedeće. Karakteristični polinom matrice A definiran sa