Algorithmen f ur das Crossdating in der Dendrochronologie

FFTrek(N; x):
//Rekursionsabbruch
if(N == 1) f
return x;
g elsef
x g =(x0;:::;xN,2);
x u =(x1;:::;xN,1);
y =FFTrek( N
2 ;xg );
z =FFTrek( N
2 ;xu );
return DFTcombine(N; y; z); g
DFTcombine(N; x; y):
z j+ N
2
2 i
N ;
N = e
=1;
N
for (j =0;j 2 ,1;j++)f
tmp = yj;
zj = xj + tmp;
= xj , tmp;
= N ;
g
return z;
Abbildung 5.1: Rekursiver FFT-Algorithmus (aus Cormen et al. [10])
solcher Algorithmen bietet Nussbaumer [35]. An dieser Stelle werden nur einige FFT-
Algorithmen erlautert, insbesondere solche, die fur unsere Anwendung geeignet sind.
Alle FFT-Algorithmen basieren darauf, da sich die Lange N des Eingabevektors
x = x0;:::;xN,1 in moglichst viele Primfaktoren zerlegen la t. Deshalb wird in den
bekanntesten FFT-Algorithmen davon ausgegangen, da die Lange N des Eingabevektors
eine Zweierpotenz ist. An dieser Stelle wird ebenfalls diese Annahme getro en und gegebenenfalls
ein Eingabevektor mit Nullen auf Zweierpotenzlange aufgefullt. Fur weitere
FFT-Algorithmen und weitere ahnliche Tansformationsalgorithmen wird auf Nussbaumer
[35], Press et al. [38] und Elliott et al. [15] verwiesen.
Der nachstehende Satz bildet den Kern des klassischen FFT-Algorithmus.
Satz 5.4 Fur einen Vektor x = x0;:::;xN,1 2 C n , wobei N eine Zweierpotenz oder
zumindest ein Vielfaches von 2 sei, hat die DFT folgende Eigenschaft:
DF T(x) k = DF T(xg) k + k DF T(xu) k (5.4)
DF T(x) k+ N
2
= DF T(xg) k , k DF T(xu) k (5.5)
fur k =0;:::; N
2 ,1. Dabei bezeichnen xg und xu die Teilfolgen aus a mit geraden bzw.
ungeraden Indizes, also xg := x0;x2;:::;xN,2 und xu = x1;x3;:::;xN,1.
Beweis. Sei k 2 f0;:::; N
2
,1g. Mit = e 2 i
N ist 2 die entsprechende primitive N
2 -te
Einheitswurzel. Die Summe in der DFT kann nach geraden und ungeraden Indizes in x
wie folgt aufgeteilt werden:
DF T(x) k =
X
N
2 ,1
j=0
x2j 2jk + k
X
N
2 ,1
j=0
x2j+1 2jk = DF T(xg) k + k DF T(xu) k:
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