Algorithmen f ur das Crossdating in der Dendrochronologie

Beweis. Seien i; j > 0 mit i 2j und eine optimale Transformation von x[0::i , 1]
in eine Folge der Lange j. Nach De nition mu der letzte Buchstabe der Transformation
von einer Einfugung, Zusammenfassung oder Identitat entsprechen.
Im Falle der Einfugung wird ein Element (i , 1) hinter xi,1 eingefugt, so da (i , 1)
das (j , 1)-te Element der transformierten Folge (x) ist. Deshalb wird bei der Aufsummierung
zur Berechnung des Abstandes fur das jeweils letzte Element von (x) und
y der Wert d( (i , 1);yj,1) summiert. Die Transformation ohne das letzte Element
mu , sofern sie eine gultige Transformation reprasentiert, eine optimale Transformation
fur x[0::i , 1] und y[0; ::; j , 2] sein. Eine gultige Transformation reprasentiert sie
genau dann, wenn i 2(j , 1) gilt. Angenommen, diese Ungleichung ist erfullt, die
Transformation jedoch nicht optimal, dann wurde eine optimale Transformation mit einer
nachfolgenden Einfugeoperation einen kleineren Abstand von x[0::i , 1] zu y[0::j , 1]
liefern. Dies ware jedoch ein Widerspruch zur Optimalitat der ursprunglich betrachteten
Transformation. Im Falle einer Einfugung als letzte Elementaroperation ist also
D(i; j) = D(i; j , 1) + d( (i , 1);yj,1), sofern i 2(j , 1) gilt. Ansonsten ist eine
Einfugung als letzte Elementaroperation nicht moglich.
Im Falle einer Zusammenfassung als letzte Elementaroperation in der betrachteten
optimalen Transformation werden xi,1 und xi,2 zu einem Element zusammengefa t. Dies
tragt d(xi,2 + xi,1;yj,1) zur Abstandssumme bei. Die Transformation ohne das letzte
Element mu aufgrund analoger Argumentation wie oben eine optimale Transformation
fur die jeweils restlichen Folgenglieder sein, sofern i , 2 2(j , 1) gilt. Deshalb ist in
diesem Fall D(i; j) =D(i,2;j,1)+d(xi,2 +xi,1;yj,1), wenn i,2 2(j ,1). Ansonsten
ist eine Zusammenfassung als letzte Elementaroperation nicht zugelassen.
Ist die letzte Elementaroperation eine Identitatsoperation, wird xi,1 bei der Transformation
beibehalten, so da d(xi,1;yj,1) zur Summe beitragt. Sofern i , 1 2(j , 1)
ist, gilt D(i; j) =D(i,1;j,1) + d(xi,1;yj,1), ansonsten ist eine Identitatsoperation als
letzte Elementaroperation nicht zugelassen.
Da das letzte Element der Transformationsvorschrift eine der drei Elementartransformationen
ist, kann D(i; j) keinen anderen Wert als D(i , 2;j,1) + d(xi,2 + xi,1;yj,1),
D(i , 1;j,1) + d(xi,1;yj,1) oder D(i; j , 1) + d( (i , 1);yj,1) annehmen.
Lemma 6.9 Fur alle i; j mit 0