Algorithmen f ur das Crossdating in der Dendrochronologie

Werten der Ausgangsfolge. Bei einer Einfugung am Anfang bzw. am Ende der Folge, sei
als das erste bzw. letzte Element der Folge de niert. Die Bedingung N = 2z + id
versichert, da alle Elemente von x einer Elementaroperation unterworfen werden.
De nition 6.2 Es seien N; M > 0. Die Menge aller Transformationen, die eine Folge
der Lange N in eine Folge der Lange M transformiert sei mit TN;M bezeichnet. Fur eine
Transformation seien z , e und id die Anzahlen der Zusammenfassungs-, Einfugungsbzw.
Identitatsoperationen.
Lemma 6.3 Es seien N; M > 0. Fur 2TN;M gelten
M = z + e + id (6.1)
M = N + e , z (6.2)
Beweis. Sei 2TN;M. Jede Elementaroperation in entspricht genau einem Element in
der Zielfolge der Lange M. Deshalb gilt M = z + e + id . Zusammen mit N =2z +id
folgt daraus M = N + e , z .
Satz 6.4 Es seien N; M > 0. Es gilt TN;M 6= ; genau dann, wenn N 2M ist .
Beweis. Sei TN;M 6= ; und 2TN;M. Nach Lemma 6.3 gilt M = N + e , z (I). Wegen
c Zusammenfassungen beinhalten (II). Zusammen
N = 2z + id kann hochstens b N
2
ergeben (I) und (II) N 2M. Seien umgekehrt N und M mit N 2M oder aquivalent
dazu d N
2
e M vorgegeben. Durch d N
2
Identitatsoperationen und M ,b N
2
2z + i erfullende Transformation 2TN;M.
e Zusammenfassungen mit anschlie end N , 2d N
2 e
c Einfugungen erhalt man eine die Bedingung N =
De nition 6.5 Es seien N; M 0. Der Transformationsabstand D von x =
x0;:::;xN,1 und y = y0;:::;yM,1 ist de niert als
D(x; y) =
8
><
>:
0 ;wenn N=M=0
P
M,1
min
2TN;M
d( (x) ;y ) ;wenn TN;M 6= ;
=0
nicht de niert ; sonst
mit d(c1;c2)=(c1,c2) 2 . Fur N =0bzw. M =0ist x bzw. y die leere Folge.
(6.3)
Eine Transformation, fur die die Summe der Abstande das Minimum annimmt, hei t
optimale Transformation.
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