Algorithmen f ur das Crossdating in der Dendrochronologie

5.2 Beziehungen zwischen der DFT und der zyklischen Korrelation
Die zyklische Faltung zweier Vektoren steht mit der zyklischen Korrelation in engem Zusammenhang.
Deshalb werden beide im folgenden de niert und fur uns nutzliche Beziehungen
zur DFT vorgestellt.
De nition 5.6 Die zyklische Faltung zweier Vektoren x = x0;:::;xN,1 2 C N und
y0;:::;yN,1 2 C N ist ein Vektor Falt(x; y) 2 C N , dessen Elemente durch
Falt(x; y)l :=
N,1 X
j=0
xjy (l,j) modN fur l =0;:::;N ,1 (5.6)
de niert sind.
Die zyklische Korrelation ist ein Vektor Korr(x; y) 2 C N , dessen Elemente durch
de niert sind.
Korr(x; y) l :=
N,1 X
j=0
xjy (l+j) modN fur l =0;:::;N ,1 (5.7)
Das nachstehende Lemma liefert den Zusammenhang zwischen zyklischer Korrelation und
zyklischer Faltung.
Lemma 5.7 Fur zwei Vektoren x; y 2 C N gilt
Korr(x; y) =Falt( x;y) ; (5.8)
wobei x den durch x l:= x N,l fur l 2f0;:::;N ,1g de nierten Vektor bezeichnet.
Beweis. Sei l 2f0;:::;N,1gbeliebig. Es gilt Falt( x;y)) l = P N,1
j=0 xN,j;y (l,j)modN =
P N,1
j=0 xj;y l+j mod N = Korr(x; y) l.
Die Faltung hat bezuglich der DFT eine wichtige Eigenschaft, die der folgende Satz zeigen
wird:
Satz 5.8 Fur zwei Vektoren x = x0;:::;xN,1 2 C N und y0;:::;yN,1 2 C N und deren
zyklische Faltung Falt(x; y) gilt folgende Eigenschaft:
Falt(x; y) =DF T ,1 (DF T(x) DF T(y)); (5.9)
wobei die Multiplikation der beiden Transformationsvektoren elementweise de niert sei.
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