Algorithmen f ur das Crossdating in der Dendrochronologie

FFTit base(N; x 0 ):
for(l =1;l log 2 N; l ++)f
for(k =0;k N,2 l ;k+=2 l )f
g
x 0 [k:::k+2 l ,1] =DFTcombine(2 l,1 ;x 0 [k:::k+2 l,1 ,1];
x 0 [k +2 l,1 :::k+2 l ,1]);
Abbildung 5.3: Iterativer FFT-Algorithmus zur Berechnung der DFT fur einen Vektor x unter der
Annahme, da das Eingabefeld x 0 die Permutation der Elemente aus x enthalt, die zur Berechnung
der DF T (x) benotigt wird. (aus Cormen et al. [10])
Im Gegensatz zur rekursiven Top-Down-Auswertung der Rekursionseigenschaft aus
Satz 5.4 verwendet der iterative Algorithmus diese Eigenschaft in einem Bottom-Up-
Ansatz. Bei einer Betrachtung des Rekursionsbaumes (Beispiel in Abbildung 5.2) wird
deutlich, da , sofern die Reihenfolge der Elemente des Eingabefeldes in den Blattern des
Baumes bekannt ist, die DFT, durch wiederholte Anwendung der Eigenschaft aus Satz
5.4 auf einen Knoten mit je zwei Kinderknoten, von unten nach oben im Baum berechnet
werden kann. Die DFT eines Knotens, dessen zwei Kinderknoten jeweils eine Eingabe
der Lange 2 l,1 haben, hat die Lange 2 l . Da jedes Element des gesamten Eingabefeldes
in jeder Ebene des Baumes genau einmal vorkommt, kann bei der Berechnung der DFT
eines Knotens anhand der zwei Kinderknoten das Ergebnis in den Platzen der Eingaben
gespeichert werden.
Die Permutation der Elemente eines Vektors x, die als Eingabe fur den Algorithmus
FFTit base in Abbildung 5.3 benotigt wird, ist eine Anordnung der Elemente anhand der
bitweisen Umkehrung der aufsteigenden Indizes. Das hei t, die aufsteigenden Indizes von
0 bis N , 1 mussen als Binarzahlen der Lange log 2 N betrachtet, die Bits jeder Zahl in
ihrer Reihenfolge umgedreht, und danach wieder als Dezimalzahlen betrachtet werden.
Die daraus resultierende Permutation der Indizes liefert die gewunschte Reihenfolge. Fur
N = 8 zum Beispiel sind die aufsteigend sortierten Indizes 0 dez = 000 bin, 1 dez = 001 bin,
2 dez = 010 bin, 3 dez = 011 bin, 4 dez = 100 bin, 5 dez = 101 bin, 6 dez = 110 bin, 7 dez = 111 bin.
Die bitweise umgekehrte Reihenfolge, wie sie in den Blattern des Rekursionsbaumes in
Abbildung 5.2 zu sehen ist, ist 0 dez = 000 bin, 4 dez = 100 bin, 2 dez = 010 bin, 6 dez = 110 bin,
1 dez = 001 bin, 5 dez = 101 bin, 3 dez = 011 bin, 7 dez = 111 bin.
Satz 5.5 Die bitweise umgekehrte Anordnung der Elemente eines Vektors x der Lange N
ist die korrekte Eingabe fur den Algorithmus FFTit base in Abbildung 5.3, so da dieser
die DF T(x) berechnet.
Beweis. Die korrekte Anordnung der Elemente aus x ist die der Blatter im Rekursionsbaum
fur FFTrek. Es mu also gezeigt werden, das die bitweise umgekehrte Reihenfolge
die Reihenfolge der Blatter im Rekursionsbaum ist.
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