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FachberichtE Rohrnetz<br />
April 2012<br />
262 <strong>gwf</strong>-<strong>Gas</strong> <strong>Erdgas</strong><br />
Für den turbulenten Bereich <strong>sind</strong> außer den genannten<br />
weitere Gleichungen in Gebrauch. In der russischsprachigen<br />
gasfachlichen Literatur wird häufig auf <strong>die</strong><br />
Gleichung von Chodanowitsch-Odischarija (1964) verwiesen<br />
(„Gažprom-Gleichung“) [48]:<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
turb<br />
k<br />
D<br />
= ⋅ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= − ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
011 68<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
025<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re<br />
,<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
=− ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
−<br />
k<br />
D<br />
k<br />
turb<br />
371<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7 3<br />
2<br />
,<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re ,<br />
λ 71<br />
0067 158 2<br />
1<br />
2<br />
51<br />
020<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ + ⋅<br />
⎛ ⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
D<br />
k<br />
D<br />
turb<br />
turb<br />
λ<br />
λ<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
,<br />
286<br />
37<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
1<br />
1<br />
089<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
, +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅ +<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
07<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
k<br />
D<br />
k<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
(25)<br />
Aus der englischsprachigen Literatur stammt ein<br />
expliziter Ansatz von Barr (1975) ([55], auch in [26]):<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
turb<br />
k<br />
D<br />
= ⋅ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= − ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
011 68<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
025<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re<br />
,<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
=− ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
−<br />
k<br />
D<br />
k<br />
turb<br />
371<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7 3<br />
2<br />
,<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re ,<br />
λ 71<br />
0067 158 2<br />
1<br />
2<br />
51<br />
020<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ + ⋅<br />
⎛ ⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
D<br />
k<br />
D<br />
turb<br />
turb<br />
λ<br />
λ<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
,<br />
286<br />
37<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
1<br />
1<br />
089<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
, +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅ +<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
07<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
k<br />
D<br />
k<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
(26)<br />
Die zuletzt angegebene Gleichung wurde später<br />
(1981; Barr [57]) nochmals modifiziert:<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
turb<br />
k<br />
D<br />
= ⋅ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= − ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
011 68<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
025<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re<br />
,<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
=− ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
−<br />
k<br />
D<br />
k<br />
turb<br />
371<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7 3<br />
2<br />
,<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re ,<br />
λ 71<br />
0067 158 2<br />
1<br />
2<br />
51<br />
020<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ + ⋅<br />
⎛ ⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
D<br />
k<br />
D<br />
turb<br />
turb<br />
λ<br />
λ<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
,<br />
286<br />
37<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
1<br />
1<br />
089<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
, +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅ +<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
07<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
k<br />
D<br />
k<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
turb<br />
k<br />
D<br />
= ⋅ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= − ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
011 68<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
025<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re<br />
,<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
=− ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
−<br />
k<br />
D<br />
k<br />
turb<br />
371<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7 3<br />
2<br />
,<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re ,<br />
λ 71<br />
0067 158 2<br />
1<br />
2<br />
51<br />
020<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ + ⋅<br />
⎛ ⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
D<br />
k<br />
D<br />
turb<br />
turb<br />
λ<br />
λ<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
,<br />
286<br />
37<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
1<br />
1<br />
089<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
, +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅ +<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
07<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
k<br />
D<br />
k<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
(27)<br />
Würde man in Gl. (27) den Term in den runden Klammern<br />
im Nenner des ersten Summanden gleich Eins<br />
setzen, also<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
turb<br />
k<br />
D<br />
= ⋅ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= − ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
011 68<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
025<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re<br />
,<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
=− ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
−<br />
k<br />
D<br />
k<br />
turb<br />
371<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7 3<br />
2<br />
,<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re ,<br />
λ 71<br />
0067 158 2<br />
1<br />
2<br />
51<br />
020<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ + ⋅<br />
⎛ ⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
D<br />
k<br />
D<br />
turb<br />
turb<br />
λ<br />
λ<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
,<br />
286<br />
37<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
1<br />
1<br />
089<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
, +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅ +<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
07<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
k<br />
D<br />
k<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
schreiben, ergäbe sich aus Gl. (27) direkt <strong>die</strong> von Hofer<br />
angeführte Gl. (24). Gl. (27) ist jedoch erst im Jahre 1981<br />
publiziert worden. [57] stellt somit auch nicht <strong>die</strong><br />
gesuchte Primärquelle von Gl. (24) dar.<br />
In [57], also 1981 (deutlich nach der Veröffentlichung<br />
von Hofer (1973)), verweist Barr auch explizit auf <strong>die</strong><br />
Möglichkeit, <strong>die</strong> Gleichung von Techo, Tickner und James<br />
(1965) (siehe unten, Gl. (33); [52]) <strong>für</strong> Glattrohrströmung<br />
wie folgt anzuschreiben:<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
turb<br />
k<br />
D<br />
= ⋅ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= − ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
011 68<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
025<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re<br />
,<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
=− ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
−<br />
k<br />
D<br />
k<br />
turb<br />
371<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7 3<br />
2<br />
,<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re ,<br />
λ 71<br />
0067 158 2<br />
1<br />
2<br />
51<br />
020<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ + ⋅<br />
⎛ ⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
D<br />
k<br />
D<br />
turb<br />
turb<br />
λ<br />
λ<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
,<br />
286<br />
37<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
1<br />
1<br />
089<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
, +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅ +<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
07<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
k<br />
D<br />
k<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
turb<br />
k<br />
D<br />
= ⋅ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= − ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
011 68<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
025<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re<br />
,<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
=− ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
−<br />
k<br />
D<br />
k<br />
turb<br />
371<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7 3<br />
2<br />
,<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re ,<br />
λ 71<br />
0067 158 2<br />
1<br />
2<br />
51<br />
020<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ + ⋅<br />
⎛ ⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
D<br />
k<br />
D<br />
turb<br />
turb<br />
λ<br />
λ<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
,<br />
286<br />
37<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
1<br />
1<br />
089<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
, +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅ +<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
07<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
k<br />
D<br />
k<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
, lgRe , , lg Re (28)<br />
Viele Überlegungen haben sich in der Vergangenheit<br />
auf <strong>die</strong> Erfassung hydraulisch glatter Verhältnisse be -<br />
zogen.<br />
Nikuradse (1933) gibt <strong>für</strong> <strong>die</strong>se Bedingungen folgende<br />
Gleichung an [37] (hier zitiert nach [16]):<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
turb<br />
k<br />
D<br />
= ⋅ +<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= − ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
011 68<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
025<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re<br />
,<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
=− ⋅ ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
−<br />
k<br />
D<br />
k<br />
turb<br />
371<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7 3<br />
2<br />
,<br />
lg<br />
,<br />
Re<br />
lg Re ,<br />
λ 71<br />
0067 158 2<br />
1<br />
2<br />
51<br />
020<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ + ⋅<br />
⎛ ⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
D<br />
k<br />
D<br />
turb<br />
turb<br />
λ<br />
λ<br />
,<br />
Re<br />
lg<br />
,<br />
,<br />
286<br />
37<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
1<br />
1<br />
089<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
, +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅ +<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
07<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
k<br />
D<br />
k<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
0237<br />
λ glatt =− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
(29)<br />
Von White (1939) stammt folgende Approximation<br />
<strong>für</strong> den hydraulisch glatten Bereich [41]:<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
(30)<br />
Nach Filonenko-Al’tschul‘ (1948) gilt auch Gl. (31);<br />
siehe [27–31]:<br />
1<br />
1<br />
29<br />
0<br />
+ ⋅Re ,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
(31)<br />
Ähnlich ist ein Ansatz von Konakov (1950) strukturiert<br />
[27–31]:<br />
1<br />
1<br />
Re⋅ +<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
, k<br />
D<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
(32)<br />
Techo, Tickner und James (1965) schlagen <strong>für</strong> den<br />
hydraulisch glatten Bereich der Rohrströmung folgende<br />
explizite Gleichung vor (Schreibweise wie im Original<br />
[52]):<br />
turb<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
1<br />
1<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⋅ +<br />
λ turb<br />
29<br />
37<br />
1<br />
1<br />
29<br />
052<br />
07<br />
0<br />
⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ ⋅<br />
Re<br />
,<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
k<br />
D<br />
k<br />
D<br />
,<br />
,<br />
lg<br />
Re<br />
, lg Re<br />
52<br />
07<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4 518<br />
7<br />
⋅ ⎛ ⎝ ⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
k<br />
D<br />
λ glatt<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
= +<br />
2<br />
4518<br />
7<br />
0 0032<br />
0<br />
lg<br />
, lg Re<br />
Re<br />
,<br />
λ glatt ,<br />
Re<br />
, lg Re , lg Re<br />
,<br />
221<br />
1<br />
18<br />
7<br />
18<br />
7<br />
1<br />
0237<br />
λ<br />
λ<br />
glatt<br />
glat<br />
=− ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ =<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
t<br />
glatt<br />
= ⋅ ( ) − = ⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ +<br />
= ⋅ ( )<br />
182 164 182<br />
100<br />
2<br />
1<br />
18<br />
, lgRe , , lg Re<br />
, lgRe<br />
λ<br />
−<br />
= ⋅<br />
⋅ ( ) −<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
15<br />
086859<br />
1 964 38215<br />
,<br />
, ln<br />
Re<br />
, lnRe ,<br />
λ glatt<br />
⎪<br />
−2<br />
(33)<br />
Haaland (1983) gibt <strong>für</strong> turbulente Strömung folgende<br />
Beziehung an [58] (auch in [26]):<br />
1<br />
18<br />
69<br />
37<br />
111<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
lam lam tur<br />
k<br />
D<br />
P<br />
P<br />
=− ⋅ +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ +<br />
, lg<br />
,<br />
Re ,<br />
,<br />
b<br />
turb<br />
turb<br />
lam<br />
e<br />
turb<br />
P P e<br />
⋅<br />
= − =<br />
= − ⋅<br />
⋅<br />
− − ⋅ −<br />
( )<br />
λ<br />
λ<br />
1<br />
2<br />
27<br />
00025 6 75<br />
, Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re)<br />
Re ,<br />
, ln ln Re ,<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
= − ⋅<br />
(<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
0 868<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
)<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
1<br />
2<br />
27<br />
,<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
)<br />
Re ,<br />
, ln ln Re<br />
Re ,<br />
,<br />
,<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
=− ⋅<br />
( )<br />
( )<br />
+<br />
12<br />
12<br />
371<br />
1<br />
0 868<br />
371<br />
k<br />
D<br />
k<br />
turb<br />
λ<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
= − ⋅<br />
⋅<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
= − ⋅<br />
⋅<br />
−<br />
D<br />
k<br />
D<br />
rau<br />
glatt<br />
λ<br />
λ<br />
2<br />
371<br />
2<br />
27<br />
2<br />
lg ,<br />
lg , lg(Re)<br />
Re<br />
,<br />
,<br />
,<br />
( )<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
=<br />
−<br />
12<br />
2<br />
025<br />
03164<br />
λ glatt<br />
(34)<br />
Alle o. a. Gleichungen <strong>sind</strong> jeweils nur im turbulenten<br />
Strömungsgebiet gültig. Ein universeller Ansatz<br />
liegt mit der Zanke-Gleichung vor. Der Verfasser bevorzugt<br />
bei allen eigenen, selbst programmierten Berechnungen<br />
<strong>die</strong>sen Gleichungssatz, der auch in DVGW-<br />
G 617 <strong>für</strong> <strong>die</strong> Druckverlustberechnung in <strong>Gas</strong>installationsanlagen<br />
benutzt wird. Die Rohrreibungszahl λ<br />
kann nach Zanke geschlossen <strong>für</strong> alle Reynolds-Zahlen<br />
und <strong>für</strong> hydraulisch glatte und hydraulisch raue Strömungen<br />
einschließlich des sog. Übergangsgebiets mit<br />
einem einheitlichen Ansatz erfasst werden:<br />
1<br />
18<br />
69<br />
37<br />
111<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
lam lam tur<br />
k<br />
D<br />
P<br />
P<br />
=− ⋅ +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ +<br />
, lg<br />
,<br />
Re ,<br />
,<br />
b<br />
turb<br />
turb<br />
lam<br />
e<br />
turb<br />
P P e<br />
⋅<br />
= − =<br />
= − ⋅<br />
⋅<br />
− − ⋅ −<br />
( )<br />
λ<br />
λ<br />
1<br />
2<br />
27<br />
00025 6 75<br />
, Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re)<br />
Re ,<br />
, ln ln Re ,<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
= − ⋅<br />
(<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
0 868<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
)<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
1<br />
2<br />
27<br />
,<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
)<br />
Re ,<br />
,<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
12<br />
371<br />
k<br />
D<br />
(35)<br />
1<br />
18<br />
69<br />
37<br />
111<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
lam lam tur<br />
k<br />
D<br />
P<br />
P<br />
=− ⋅ +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ +<br />
, lg<br />
,<br />
Re ,<br />
,<br />
b<br />
turb<br />
turb<br />
lam<br />
e<br />
turb<br />
P P e<br />
⋅<br />
= − =<br />
= − ⋅<br />
⋅<br />
− − ⋅ −<br />
( )<br />
λ<br />
λ<br />
1<br />
2<br />
27<br />
00025 6 75<br />
, Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re)<br />
Re ,<br />
, ln ln Re ,<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
= − ⋅<br />
(<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
0 868<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
)<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
1<br />
2<br />
27<br />
,<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
)<br />
Re ,<br />
,<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
12<br />
371<br />
k<br />
D<br />
(36)<br />
1<br />
18<br />
69<br />
37<br />
111<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
lam lam tur<br />
k<br />
D<br />
P<br />
P<br />
=− ⋅ +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ +<br />
, lg<br />
,<br />
Re ,<br />
,<br />
b<br />
turb<br />
turb<br />
lam<br />
e<br />
turb<br />
P P e<br />
⋅<br />
= − =<br />
= − ⋅<br />
⋅<br />
− − ⋅ −<br />
( )<br />
λ<br />
λ<br />
1<br />
2<br />
27<br />
00025 6 75<br />
, Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re)<br />
Re ,<br />
, ln ln Re ,<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
= − ⋅<br />
(<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
0 868<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
)<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
1<br />
2<br />
27<br />
,<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
)<br />
Re ,<br />
,<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
12<br />
371<br />
k<br />
D<br />
(37)<br />
bzw. unter Verwendung natürlicher Logarithmen<br />
1<br />
18<br />
69<br />
37<br />
111<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
turb<br />
lam lam tur<br />
k<br />
D<br />
P<br />
P<br />
=− ⋅ +<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
= ⋅ +<br />
, lg<br />
,<br />
Re ,<br />
,<br />
b<br />
turb<br />
turb<br />
lam<br />
e<br />
turb<br />
P P e<br />
⋅<br />
= − =<br />
= − ⋅<br />
⋅<br />
− − ⋅ −<br />
( )<br />
λ<br />
λ<br />
1<br />
2<br />
27<br />
00025 6 75<br />
, Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re)<br />
Re ,<br />
, ln ln Re ,<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
= − ⋅<br />
(<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
0 868<br />
k<br />
D<br />
λ turb<br />
)<br />
( )<br />
+<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭⎪<br />
=− ⋅<br />
⋅<br />
−<br />
12<br />
2<br />
371<br />
1<br />
2<br />
27<br />
,<br />
Re ,<br />
lg<br />
, lg(Re<br />
k<br />
D<br />
) ,<br />
( )<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎟<br />
12<br />
k<br />
(38)
Change language