gwf Gas/Erdgas Gasnetze sind fit für die Energiewände (Vorschau)

( )
−e
Pturb
= − Plam
= e
− 00025 , ⋅ Re − 6,
75
1
−2
12 ,
⎧⎪
⎛ 27 , ⋅( lg(Re) ) k ⎞ ⎫⎪
λturb = ⎨−2⋅lg⎜
+ ⎟ ⎬−2
⎩⎪ ⎝ Re 12 ,
⎧
371 , ⋅D
⎪ ⎛ 27 , ⋅( lg(Re) ) k ⎠⎞
⎭⎪ ⎫⎪
λturb
= ⎨−2⋅lg⎜
+ ⎟ ⎬
⎩⎪ ⎝ Re 371 , ⋅D⎠
⎭⎪
−2
⎧
⎪
⎛ (
= − , ⋅ln ln (
λ 0 868
Re 12 ,
))
k ⎞ ⎫
⎪
Insbesondere turb ⎨
+
Gl. (37) lässt sich selbstverständlich
⎬−2
⎝
⎜
371 , ⋅D⎠
⎟
auch in der
⎩⎪
vertrauten , ln „klassischen“ ln Re
12 ,
⎧
⎪
⎛ ( ( ))
k ⎞ ⎫
Struktur
⎭⎪ ⎪
λ turb
= ⎨−0 868⋅
+
⎬ angeben:
⎝
⎜ Re 371 , ⋅D⎠
⎟
⎩⎪
⎭⎪
12 ,
1 ⎛ 27 , ⋅( lg(Re)
) k ⎞
=−2⋅lg⎜
+ ⎟ (39)
λ turb ⎝ Re 12 ,
1 ⎛ 27 , ⋅( lg(Re)
)
371 ,
k
⋅D⎠⎞
=−2⋅lg⎜
+ ⎟
λ turb ⎝ Re 371 , ⋅D⎠
Gleiches gilt natürlich 12 ,
1
⎛ ( ln
auch
( Re
für Gl. (38):
))
k ⎞
=−0, 868⋅ln +
λ
371 , ⋅
turb
⎝
⎜
12 ,
D⎠
⎟
1
⎛ ( ln( Re)
) k ⎞
=−0, 868⋅ln +
(40)
λ
Re 371 ,
turb
⎝
⎜
⋅ D⎠
⎟
−2
⎧ ⎡ k ⎤⎫
λrau
= ⎨−2⋅lg In der ⎣
⎢ ⋅ ⎦
⎥⎬
⎩typischen 371 , Darstellung D −2
⎭ des Rohrreibungsdiagramms
λ 1 ⎧ ⎡ k ⎤⎫
111 ,
rau
= ⎨−2⋅lg ⎛
ist der Übergang 69 ,
⎣
⎢ ⋅ ⎦
⎥⎬
⎛von k laminarer ⎞ ⎞
=−18
, ⋅ lg
zu turbulenter
⎩ 371 , ⎜ D +
Strömung λ als sprunghafter
⎭⎝
⎜
37
27⋅
λglatt
= −2⋅lg , lg(Re)
−2
12 Umschlag ⋅D⎠
⎟ ⎟
turb ⎝ Re , ⎠
,
bei einer kritischen
Reynolds-Zahl
⎧⎪
⎡ ( ) ⎤⎫
⎪
⎨ ⎢ von Re krit ⎥= ⎬2320 eingetragen; an
⎩⎪ ⎣⎢
27
Re
⎦⎥
⎭⎪
glatt
= −2⋅lg , lg(Re)
−2
12 ,
dieser λ= Stelle P ⎧⎪
ist die ⎡ Funktion ( ) λ = ⎤⎫
lam⋅ λlam + Ptur
b⋅λturb
⎪f (Re) unstetig (Moody-
⎨ ⎢
⎥⎬
Diagramm in „klassischer“
⎩⎪ ⎣⎢
Re Darstellung; 111 ,
⎦⎥
siehe [42]). Das
1 ⎛ 69 , ⎭⎪
bildet die 03164 , Natur −des e Vorgangs selbst jedoch nicht
λPturb
glatt
= − Plam
= e
−( 00025 ⋅ Re
⎛ k
− 6,
75
⎞ ⎞
1=−18
, ⋅ lg⎜
+
)
λ
025 ,
⎝
⎜
37⋅D⎠
⎟ ⎟
turb
adäquat ab.
03164
Re
,
Erst mit
⎝ Re ,
dem Vorschlag von
⎠
Zanke wurde es
möglich, λ glatt
= die 025 ,
Re
Änderung der Strömungsform −2physikalisch
12 ,
genauer
λ= P ⎧
als ⎪ ⎛
fließenden
27 , ( lg(Re)
Übergang ) ⎞ ⎫
lam⋅ λlam + Ptur
b⋅λturb
mit
k
einem ⎪
entsprechenden
1 mathematischen ⎩⎪ ⎝ ⎛ 69 , Re ⎛Ansatz k 371 ⎞(Gl. , ⎞⋅
D(36)) ⎠ zu beschrei-
turb
= ⎨−2⋅lg⎜
+
111 , ⎟ ⎬
=−18
, ⋅ lg
⎭⎪
−e
ben. Pturb
Dieser = − Plam
stetige = e
−( 00025 ,
Übergang ⋅ Re − 6,
75
1
⎜ +
λ
⎝
⎜
37
)
⋅Dist ⎠
⎟
turb ⎝ Re ,
⎟
in ⎠ das modifizierte
−2
Moody-Diagramm ⎧ integriert
⎛
worden. Die entsprechenden
grafischen = − , Darstellungen ⋅ln ln (
0 868
Re ))
⎞
turb ⎨
⎪
12 ,
( k
⎫
finden + sich bei
⎪−
2
λ= P
12 ,
⎬ Zanke [22].
lam⎧
⎪
⋅ λlam + ⎛P27
tur , b⋅
In Bild 3 findet sich eine ⎝
⎜
(
λlg(Re)
turb
von )
Schewe
371 , k ⎞ ⎫
erstellte
⋅D⎠
⎟⎪
λturb
= ⎨⎩⎪
−2⋅lg⎜
+ ⎟ ⎬⎭⎪
grafische
Umsetzung ⎩⎪ ⎝ Re 371 , ⋅D⎠
des (klassischen) −e
Moody-Diagramms. ⎭⎪
Pturb
= − Plam
= e
−( 00025 , ⋅ Re − 6,
75
1
)
Es 1soll außerdem 27 , hervorgehoben
12 ,
⎛ ⋅( lg(Re)
) k werden, ⎞ dass die
−2
von Zanke =−entwickelten 2⋅lg⎜
Gleichungen + ⎟für λ turb den
λ turb ⎝ Re 371 , ⋅D⎠
gesamten turbulenten , ln ln Re 12 ,
⎧
⎛ ( (
) k ⎞ ⎫−
2
12 ,
turb
⎧
⎪
⎪
0 868 ⎛ 27 ⋅, ⋅( lg(Re) Bereich ) + beschreiben. k ⎞
⎫⎪
⎬
λ
Es bedarf
turb
= ⎨−2⋅lg
daher nicht der Verwendung
⎝
⎜
⋅
spezieller Gleichungen
⎠
⎟
⎩⎪ ⎜ Re + 371 , D⎟
⎬
⎭⎪
⎩⎪ ⎝ Re 371 , ⋅D⎠
für
12 , ⎭⎪
den Bereich 1 hydraulisch
⎛ ( lnrauer ( Re)
) Strömung k ⎞
oder den der
=−0, 868⋅ln +
Glattrohrströmung. λ
Beispielsweise 12 ,
1 ⎛ 27 , 371 führt , ⋅ Gl. (37) für den
turb
⎝
⎜⋅
( lg(Re
D⎠
⎟
=−2⋅lg
+
Grenzwert λ turb
Re → ∞ ⎝
⎜
k ⎞ −2
auf
⎟
, ln ln Re Re 12 ,
⎧
⎪
⎛ ( ( ))
371 ,
k ⎞ ⎫
⋅D
⎪
λ turb
= ⎨−0 868⋅
+
⎠⎬
⎝
⎜ Re 371 , ⋅D
−2
⎠
⎟
⎧⎩⎪
⎡ k ⎤⎫
⎭⎪
λrau
= ⎨−2⋅lg ⎣
⎢ ⋅ ⎦
⎥⎬
(41)
12 ,
1 ⎩ 371 , ⎛D
( ln
, ln
⎭( Re)
) k ⎞
=−0 868⋅
+
was vollständig λ
12 ,
1 ⎛ 27 , der Nikuradse-Gleichung Re 371 , ⋅
turb
⎝
⎜⋅
( lg(Re)
) k ⎞
=−2⋅lg
Dfür ⎠
⎟
⎜
+ ⎟ hydraulisch
λ
27⋅
λglatt
= −2⋅lg , lg(Re)
−2
12 ,
raue Strömung turb
⎧⎪
entspricht ⎡
⎝ Re 371 , ⋅D
( (siehe ) ⎤⎫⎪
Gl. (21)).
⎠
Ähnlich ⎨ verhält
⎢
−2
⎥⎬
⎧⎩⎪
⎡⎣⎢
kes sich Re ⎤⎫
auch
⎦⎥
für den Grenzfall der
12 , ⎭⎪
sog. λrau
Glattrohrströmung. 1
= ⎨−2⋅lg ⋅
Als Grenzwert der Zanke-Gleichung
λ erhält man für k → 0:
⎣
⎢ ⎛
⎦
⎥⎬
⎩ 371 , D( ln( Re)
) k ⎞
=−0, 868⋅ln ⎭ +
03164 ,
Re 371 ,
turb
⎝
⎜
⋅ D⎠
⎟
λ glatt
=
025 ,
Re
27⋅
λglatt
= −2⋅lg , lg(Re)
−2
12 ,
⎧⎪
⎡ ( ) ⎤⎫⎪
⎨ ⎢
−2
⎧
⎥⎬
(42)
⎡ k
⎩⎪ ⎣⎢
Re ⎤⎫
λ
⎦⎥
rau
= ⎨−2⋅lg ⎭⎪
⎣
⎢ ⋅ ⎦
⎥⎬
⎩ 371 , D ⎭
Diese Beziehung 03164 , bildet die häufig verwendete Blasius-Gleichung
025 ,
λ glatt
=
Re (1913) 27⋅
(siehe Gl. (43), [32]), die auch
DVGW-G λglatt
= 617 −2⋅lg , lg(Re)
−2
12 ,
⎧⎪
⎡ ( ) ⎤⎫⎪
⎨ für ⎢ Glattrohrströmung ⎥⎬
Re
explizit angibt,
⎣⎢
⎦⎥
adäquat ab.
⎩⎪
⎭⎪
λ glatt
03164 ,
= (43)
025 ,
Re
Auf die kurze Zusammenstellung wichtiger Gleichungen
zur Berechnung der Rohrreibungszahl gemäß
Abschnitt 4.1/4.2 aufbauend, sollen nachstehend drei
Rohrnetz
Fachberichte
Bild 3. Moody-Diagramm; entnommen [2].
„Nebenbetrachtungen“ angestellt werden, um einige
nützliche Zusammenhänge herauszuarbeiten und der
möglichen Ableitung der „Hofer“-Gleichung auf die Spur
zu kommen.
4.3 Rohrreibungszahl – Nebenbetrachtung I
Es sei vermerkt, dass sich für das hydraulisch raue Verhalten
der Ansatz nach Nikuradse (siehe Gl. (21)) offenbar
zur allgemeinen Zufriedenheit bewährt hat, denn
dieser ist in der Originalform auch heute noch als Stand
der Technik in Gebrauch; der Term für das hydraulisch
glatte Verhalten jedoch ist verschiedentlich modifiziert
worden, da der implizite Ansatz von Prandtl-von Kármán
(Gl. (20)) unbequem bzw. numerisch aufwendig für die
praktische Handhabung war. Daher wurden für die
hy draulisch glatte Strömung diverse, z. T. schon
erwähnte alternative Ansätze entwickelt, die häufig
nicht direkt und nicht „auf den ersten Blick“ erkennbar
„kompatibel“ zur Interpolationsgleichung von Colebrook-White
sind. Daher ist es von Nutzen, einige weiterführende
Analysen durchzuführen.
In Abschnitt 4.2 wurden bereits einige Gleichungen
zur expliziten Berechnung der Rohrreibungszahl für
hydraulisch glatte Strömungen angeführt, die sich
äußerlich auf den ersten Blick nicht ähnlich sind. Es soll
gezeigt werden, dass das „auf den zweiten Blick“ durchaus
der Fall ist.
Nach Filonenko-Al’tschul‘ galt Gl. (31):
1
182 164
λ
1 = , ⋅ lgRe − ,
glatt = 182 , ⋅ lgRe ( ) −164
,
λglatt
Diese Darstellung lässt sich wie folgt modifizieren:
1 ⎛ 164 , ⎞
= 182 , ⋅ −
λ
1 ⎝
⎜⎛
lgRe 164
182
, ⎠
⎟ = 182 , ⋅ lgRe − 0,
90
⎞
glatt = 182 , ⋅ ( ) −
λ ⎝
⎜lgRe
182⎠
⎟ = 182 , ⋅ ( lgRe ( ) − 0,
90)
,
glatt
090 , lg 7,
943
090 , lg 7,
943
1
1
= = ( )
⎛
182 , ( lgRe lg ( 7,943)
)= 182 , ⋅lg⎜
= ⋅ ( ) −
April 2012
gwf-Gas Erdgas 263
Re
Re
⎞
⎟