Das anomale magnetische Moment des Myons im minimalen ...

3 Minimales supersymmetrisches Standardmodell
die folgenden (Anti-)Vertauschungsrelationen zur Supersymmetriealgebra erweitert
[Q α , J µν ] = 1 2 (σµν ) α β Q β , (3.1)
[ ¯Q ˙α , J µν ] = 1 2 (¯σµν ) ˙α ˙β
¯Q
˙β
, (3.2)
[Q α , P µ ] = [ ¯Q ˙α , P µ ] = 0 , (3.3)
{Q α , Q β } = { ¯Q ˙α , ¯Q ˙β} = 0 , (3.4)
{Q α , ¯Q ˙α } = 2 σ µ α ˙αP µ . (3.5)
Hierbei bringen die Kommutatoren mit den J µν das Transformationsverhalten
der Weyl-Spinoren in den entsprechenden Darstellungen der Lorentz-Gruppe zum
Ausdruck und verdeutlichen weiterhin, dass die Supersymmetriegeneratoren durch
Veränderung des Spins um den Wert 1/2 Fermionen in Bosonen überführen und
umgekehrt. Teilchen, die über eine solche Beziehung miteinander verbunden sind,
werden in sogenannten Supermultipletts zusammengefasst und besitzen ferner dieselben
Eichquantenzahlen, da die Operatoren Q mit den Generatoren der Eichgruppen
vertauschen.
3.1.2 Superraum und Superfelder
Supersymmetrietransformationen auf dem Superraum
Um eine Darstellung der Supersymmetriealgebra in Form von Differentialoperatoren
auf einem Funktionenraum zu finden, erweitert man den Minkowski-Raum mit den
vier Koordinaten x µ um weitere vier Koordinaten θ α und ¯θ ˙α , einen links-chiralen und
einen rechts-chiralen Weyl-Spinor, zum sogenannten Superraum. Globale Supersymmetrietransformationen
mit den Parametern ξ α und ¯ξ ˙α der Generatoren Q α und ¯Q ˙α
äußern sich für die Koordinaten gemäß
(
x µ , θ α , ¯θ ˙α) → ( x µ − i θσ µ ¯ξ + i ξσ
µ¯θ, θα + ξ α , ¯θ ˙α + ¯ξ ˙α) . (3.6)
Allgemeine Superfelder werden als Funktionen F(x, θ, ¯θ) eingeführt und man
kann sie wegen der Nilpotenz der antikommutierenden Koordinaten als endliche
Potenzreihen in θ und ¯θ schreiben. Die Koeffizienten sind hierbei Funktionen auf dem
Minkowski-Raum und werden als Komponentenfelder bezeichnet. Die infinitesimalen
Supersymmetrietransformationen
F → F + i ( ξQ + ¯Q¯ξ ) F (3.7)
der Superfelder können durch die Darstellung
Q α = i ( ∂ α + i σ µ α ˙α¯θ ˙α ∂ µ
)
, ¯Q ˙α = −i (¯∂ ˙α + i θ α σ µ α ˙α∂ µ
)
(3.8)
der Generatoren in Form von Differentialoperatoren verwirklicht werden. Mit
P µ = i ∂ µ lassen sich dann die Vertauschungsrelationen (3.3) bis (3.5) verifizieren.
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