Das anomale magnetische Moment des Myons im minimalen ...

6.2 Selbstenergie des Myons
der Myonselbstenergie. Hierbei steht B 0 für ein Einschleifenintegral, bei dem der
einlaufende Impuls p aufgrund der Bedingung p 2 = m 2 µ gegenüber den Massen der
Superteilchen vernachlässigbar ist. In dimensionaler Regularisierung (Raumdimension
D = 4 − 2 ɛ) gilt damit
∫ (
1
µ 2 )
R
B 0 (q a , q b ) = ∆ + dx ln
+ O(ɛ)
0 q a (1 − x) + q b x
= ∆ + 1 + 1 (
q
q b − q a ln q a
− q
a µ 2 b ln q )
b
+ O(ɛ) , (6.9)
R µ 2 R
wobei q a sowie q b allgemeine quadratische Massen und µ R die Regularisierungsskala
mit Massendimension 1 bezeichnen. 15 Man kann erkennen, dass B 0 symmetrisch unter
Vertauschung der beiden Argumente ist. Die verwendete Abkürzung
∆ = 1 ɛ + ln 4π − γ E (6.10)
enthält einen Term zur Beschreibung von UV-Divergenzen und die Euler-Mascheroni-
Konstante γ E ≈ 0,577.
Die in Gleichung (6.8) auftretenden Mischungsmatrizen sollen explizit mithilfe der
Parameter µ und M 2 ausgedrückt werden. Dazu gewinnt man aus Formel (3.60) mit
der Unitarität von U und V sowie der konkreten Massenmatrix (4.10) die Beziehung
0 = X 21 = [ U T M C V ] 21 = m χ − 1 U 12V 11 + m χ
−
2 U 22V 21 . (6.11)
Weiterhin lässt sich mit denselben Hilfsmitteln zeigen, dass
√
2 µ M2 M W = X 22 X † 21 X 11 = [ X X † X ] 21
= [ (U T M C V ) (V † M C U ∗ ) (U T M C V ) ] = [ U T M 3
21
C V ] 21
= m 3 U
χ − 1 12 V 11 + m 3 U
χ − 2 22 V 21 (6.12)
gilt. Eine Kombination der beiden vorhergehenden Gleichungen liefert schließlich die
Relation
m χ
−
1
U 12 V 11 = −m χ
−
2
U 22 V 21 =
√
2 µ M2 M W
m 2 χ − 1
− m 2 χ − 2
, (6.13)
mit deren Hilfe der Charginoanteil in Übereinstimmung mit Referenz [56] zu
Σ χ−
µ =
=
√
2
16π y B 0 (m 2˜ν µ
, m 2 ) − B
χ 2 µ g 2 Re(µ M 2 ) M − 0 (m 2˜ν µ
, m 2 )
2
χ − 1
W
m 2 − m 2 χ − 1 χ − 2
√
2
16π y 2 µ g 2 Re(µ M 2 ) M W I(m 2˜ν µ
, m 2 , m 2 ) (6.14)
χ − 1 χ − 2
15 Die Terme der Ordnung ɛ spielen bei den folgenden Betrachtungen keine Rolle.
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