Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

Streuung von Röntgenstrahlen
an selbstorganisierten
Halbleiter-Inselstrukturen
Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr.rer.nat.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I
der Humboldt-Universität zu Berlin
von
Dipl.-Phys. Michael Hanke
Geboren am 04.09.1972 in Dessau
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin
Prof. Dr. Jürgen Mlynek
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I
Prof. Dr. Bernhard Ronacher
Gutachter: 1. Prof.Dr. R. Köhler
2. Prof.Dr. W. Neumann
3. Prof.Dr. H.Klapper
Tag der mündlichen Prüfung: 17.Juli 2002

1 EINFÜHRUNG ..................................................................................................................... 5
2 EPITAKTISCHES WACHSTUM...................................................................................... 7
2.1 LINEARE ELASTIZITÄTSTHEORIE ..................................................................................... 7
2.1.1 Elastische Relaxation und Fehlpassung .................................................................. 10
2.1.2 Koordinatentransformation der elastischen Konstanten......................................... 12
2.2 WACHSTUMSMODI......................................................................................................... 14
2.3 ZÜCHTUNG AUS DER FLÜSSIGEN PHASE ........................................................................ 15
2.3.1 Thermodynamik der LPE.......................................................................................... 15
2.3.2 Wachstumsablauf...................................................................................................... 17
2.4 PHÄNOMENOLOGISCHE ASPEKTE DES STRANSKI-KRASTANOW MODUS ...................... 18
2.4.1 Übergang Oberflächenverwellung zu Inseln ........................................................... 18
2.4.2 Spannungsinduzierte Entstehung von Insel-Insel-Korrelation................................ 25
3 BEUGUNG VON RÖNTGENSTRAHLEN .................................................................... 31
3.1 GRUNDLAGEN................................................................................................................ 31
3.2 WELLENGLEICHUNG ...................................................................................................... 32
3.2.1 Kinematische Beugung ............................................................................................. 34
3.2.2 Distorted Wave Born Approximation....................................................................... 37
3.2.3 Dynamische Beugung ............................................................................................... 38
3.3 KOHÄRENZ..................................................................................................................... 40
4 EXPERIMENTELLES ...................................................................................................... 43
4.1 STREUGEOMETRIEN ....................................................................................................... 43
4.1.1 Hochaufgelöste Röntgenbeugung............................................................................. 46
4.1.2 Röntgen-Kleinwinkelstreuung unter streifendem Ein- und Austritt ........................ 48
4.1.3 Beugung unter streifendem Ein- und Ausfall ........................................................... 51
4.2 POSITIONSEMPFINDLICHER DETEKTOR.......................................................................... 52
5 NUMERISCHE STREURECHNUNGEN FÜR MONODISPERSE
MESOSKOPISCHE SYSTEME ............................................................................................... 55
5.1 DIE METHODE DER FINITEN ELEMENTE ........................................................................ 55
5.2 REGULARISIERUNG DES FEM NETZES .......................................................................... 60
5.3 STREURECHNUNGEN IN KINEMATISCHER NÄHERUNG................................................... 61
5.3.1 Deformationsbedingte diffuse Streuung in hochaufgelöster Weitwinkelbeugung .. 61
5.3.2 Strukturfaktorempfindliche diffus gestreute Intensität in GISAXS.......................... 63
5.3.3 Positionskorrelation ................................................................................................. 65
6 SIGE/SI INSELSTRUKTUREN....................................................................................... 69
6.1 INSELFORM..................................................................................................................... 70
6.2 DEFORMATIONSFELDER UND KONZENTRATIONSVERLAUF IN SIGE INSELN ................. 73
6.2.1 Experimentelle Befunde............................................................................................ 75
6.2.2 Bestimmung des Konzentrationsverlaufes in einer Einzelinsel............................... 82
6.2.2.1 Homogene Insel................................................................................................ 85
6.2.2.2 Abrupter Konzentrationssprung bei h/2........................................................... 88
6.2.2.3 Linearer Konzentrationsgradient...................................................................... 90
6.2.2.4 Pyramidenförmiger Einschluß ......................................................................... 91
6.2.2.5 Abrupter Konzentrationssprung bei h/3........................................................... 92
6.2.2.6 Einfluß des Atomformfaktors .......................................................................... 95
6.2.3 Geometrisches Aspektverhältnis Basisbreite zu Inselhöhe...................................... 96

6.3 INSEL-INSEL-KORRELATION.......................................................................................... 97
6.3.1 Vergleichende Untersuchungen mittels GISAXS und AFM .................................... 99
6.3.1.1 Hoher Verzahnungsgrad der Inselketten ....................................................... 100
6.3.1.2 Solitärketten.................................................................................................... 102
6.3.2 Berücksichtigung von Ordnung in Simulationen................................................... 104
6.4 BEUGUNG UNTER KLEINEN EINFALLS- UND AUSTRITTSWINKELN: GRENZEN DER
KINEMATISCHEN BEUGUNG...................................................................................................... 109
7 INP/INGAP QUANTENPUNKTE ................................................................................. 115
7.1 FORM- UND GRÖßENBESTIMMUNG .............................................................................. 115
7.2 DEFORMATIONSFELDER IN 2-ZÄHLIGEN INSELSTRUKTUREN ...................................... 121
7.2.1 Skalenverhalten....................................................................................................... 121
7.2.2 Höhenabhängige Relaxation .................................................................................. 123
8 ZUSAMMENFASSUNG.................................................................................................. 127
9 LITERATURVERZEICHNIS ........................................................................................ 131

1 Einführung
Sobald die Bewegung von Ladungsträgern in einem Halbleiter auf Dimensionen unterhalb der de-
Broglie-Wellenlänge beschränkt ist, führen Quantisierungseffekte im Gegensatz zum unendlich ausgedehnten
Festkörper auf diskrete Energieniveaus. Grenzt man die Beweglichkeit in allen drei
Dimensionen ein, entstehen sogenannte Quantenpunkte. Dabei unterliegen die Ladungsträger
neben dem räumlichen Confinement einer starken Coulomb Wechselwirkung. Ihrer besonderen
elektronischen und optischen Eigenschaften wegen können mit Quantenpunkten eine ganze Reihe
neuer technologischer Anwendungen wie Einzelelektronentransistoren [IsH97],–speicherbauelemente
[HiH01] und Quantenpunktlaser [BGH01] realisiert werden. Neben der Unterschreitung
einer bestimmten geometrischen Größe sind für die Applikation von Quantenpunkten in
optischen und elektronischen Bauelementen noch mindestens zwei weitere Forderungen zu
erfüllen. Erstens bedarf es mit Rücksicht auf eine geringe Dispersion der zu erzielenden
Eigenschaften einer hohen Konformität der Objekte, und zweitens müssen Rekombinationszentren,
wie sie durch Fehlanpassungsversetzungen gebildet werden, unbedingt vermieden werden.
Neben aufwendigen lithographischen Verfahren zeigt die Bildung von Stranski-Krastanow Inseln
durch elastischen Abbau von Deformationsenergie beim heteroepitaktischen Wachstum einen sehr
eleganten Weg zur Herstellung geordneter nulldimensionaler Strukturen auf, die die vorangestellten
Forderungen hinreichend gut erfüllen. Dabei kommt dem Gitterparameterunterschied zwischen
Schicht und Substrat insofern eine Schlüsselrolle für die erreichbaren Dimensionen der Objekte zu,
als dass mit zunehmend unterschiedlichem Gitterparameter die sich ausbildenden Inseln immer
kleinere Ausmaße aufweisen [Dor98]. Die während des zunächst planaren Wachstums
angesammelte Deformationsenergie kann in einem folgenden Wachstumsstadium über die Bildung
von Oberflächenverwellungen [CAM96] und später durch die Ausbildung von teils facettierten
Inseln auf Kosten einer erhöhten Oberflächenenergie wieder abgebaut werden. Dabei bleibt die
Kohärenz des Kristallgitters an der Phasengrenze unterhalb einer bestimmten Schichtdicke erhalten
[EaC90], und erst in einem späteren Stadium können sich Fehlanpassungsversetzungen bilden.
Durch die vermittelnde Wirkung des die Inseln umgebenden Deformationsfeldes können sich
Inselensembles außerordentlich hoher lateraler Ordnung herausbilden [SWR98], die durch das
vertikale Abscheiden mehrerer heteroepitaktischer Schichten übereinander noch forciert werden
kann [SHP98].
Der Wunsch nach gezielter Beeinflussung elektronischer und optischer Eigenschaften künstlicher
wie auch selbstorganisierter Strukturen erfordert Charakterisierungsmethoden, die Aussagen zu
Gestalt und Größe, chemischer Zusammensetzung und Deformationszustand im Inneren machen
können. Darüber hinaus lassen sich aus Konzentrations- und Deformationsprofilen indirekt
Rückschlüsse auf das Wachstum selbst ziehen. Konkret wurde in der vorliegenden Arbeit die
zerstörungsfreie Untersuchung von Stranski-Krastanow Inseln in den Systemen SiGe/Si(001) und
InP/InGaP/GaAs(001) betrieben. Dabei lag der Schwerpunkt auf hochaufgelöster Röntgenstreuung,
begleitet von Untersuchungen mit den direktabbildenden Verfahren Atomkraft- und
Rasterelektronenmikroskopie. Streuung kollimierter Röntgenstrahlung in Kombination mit
entsprechenden Simulationen ist eine etablierte Methode zur Charakterisierung heteroepitaktischer

6___________________________________________________________________________
Schichten in Hinblick auf Dicke, mittlere Deformation und chemische Komposition. Mit Hilfe der
linearen Elastizitätstheorie läßt sich für planare Strukturen vergleichsweise einfach die Deformation
angeben. Bei der Bestimmung des Deformationszustandes in dreidimensionalen Strukturen
dagegen erweist sich ein analytisches Vorgehen als ausgesprochen schwierig, insbesondere dann,
wenn komplizierte Konzentrationsprofile zugrunde gelegt werden. Mit der numerisch arbeitenden
Methode der Finiten Elemente (FEM) bietet sich für dieses Problem ein praktikabler Ausweg an.
Eine direkte Rückrechnung der Streuintensitäten auf Größe, Form und Zusammensetzung der
Streuer ist nicht möglich, vielmehr geht die vorgestellte Methode von Modellannahmen zu diesen
Parametern aus. Unter Berücksichtigung des numerisch mittels FEM bestimmten Deformationsfeldes
wird zunächst die diffus gestreute Intensität simuliert. Diese läßt sich dann mit den
experimentellen Daten vergleichen. In einem iterativen Verfahren wird durch Modifikation des
Ausgangsmodells die Übereinstimmung verbessert, um so auf das tatsächlich in den Inseln
vorliegende Profil rückschließen zu können.
Die Arbeit ist wie folgt gegliedert:
In Kap. 2 werden zunächst die Grundlagen beim epitaktischen Schichtwachstum referiert, wobei
insbesondere auf das Wachstum aus der Flüssigphase eingegangen wird. Am Beispiel von SiGe
Inseln auf Si(001) wird detailliert der Prozeß der Entstehung von Einzelinseln und Insel-Insel-
Korrelation mittels Atomkraftmikroskopie (AFM) untersucht. Da bei höheren Ge-Gehalten das
Wachstum zunehmend schneller stattfindet, lassen sich Wachstumsstadien von Einzelinseln mit
direkten Verfahren nur bei vergleichsweise niedrigen Konzentrationen kleiner etwa 10% auflösen.
Dagegen läuft bei Gehalten größer 30% die Entstehung von Insel-Insel-Korrelation auf Zeitskalen
- respektive unterschiedlichen Bedeckungsgraden - ab, welche einen direkten Einblick in diesen
Sekundärprozeß mit AFM gestatten. Kap. 3 gibt einen Überblick über die sich aus unterschiedlichen
Näherungen zur Lösung der Wellengleichung ergebenden Sichtweisen der Beugung von
Röntgenstrahlung. Kap. 4 stellt die experimentell verwendeten Streugeometrien zur Erfassung von
Intensitätsverteilungen im reziproken Raum vor. Die Vorgehensweise bei der Simulation diffuser
Intensität in kinematischer Näherung unter Benutzung numerisch bestimmter Deformationsfelder
mittels FEM wird in Kap. 5 näher erläutert. Dieser Apparat wird in Kap. 6 auf das System
SiGe/Si(001) angewendet, um Aussagen über Größe, Form, chemische Zusammensetzung,
Deformationsfeld und Korrelation in den vorliegenden Inseln machen zu können. Anhand diffuser
Röntgenstreuung begleitet von kinematischen Simulationen wird in Kap. 7 an Quantenpunkten des
Systems InP/InGaP/GaAs(001) gezeigt, inwiefern eine Formasymmetrie der Inseln sich auf die
Asymmetrie des Relaxationsverhaltens überträgt. Kap. 8 ist eine Zusammenfassung der Arbeit.

2 Epitaktisches Wachstum
Unter epitaktischem Wachstum versteht man das orientierte Aufwachsen einer kristallinen Schicht
auf ein Substratmaterial. Man unterscheidet die Homo- und Heteroepitaxie. Bei der Homoepitaxie
bestehen Schicht und Substrat aus dem gleichen Material und besitzen folglich die gleiche kristallographische
Struktur. Im Fall der Heteroepitaxie sind Schicht- und Substratmaterial unterschiedlich.
Falls der Gitterparameter der Schicht verschieden von der des Substrates ist, kommt es mit
zunehmender Schichtdicke zum Aufbau von Deformationsenergie, die über verschiedene Prozesse
abgebaut werden kann. Dabei unterscheidet man zwischen elastischer Relaxation, bei der die
Gitterkohärenz an der Grenzfläche erhalten bleibt und plastischer Relaxation, die beispielweise
durch den Einbau von Fehlpassungsversetzungen an der Grenzfläche stattfindet.
Im folgenden Unterkapitel 2.1 werden die für diese Arbeit wichtigen Zusammenhänge aus der
linearen Elastizitätstheorie wiederholt, wobei speziell auf eine Koordinatentransformation der
elastischen Konstanten eingegangen wird. Kap. 2.2 stellt die drei phänomenologisch unterschiedlichen
Volmer-Weber-, Frank-van der Merve- und Stranski-Krastanow Wachstumsmodi bei
der Epitaxie vor. Für die Herstellung von Halbleiter-Heterostrukturen haben sich verschiedene
Wachstumsmethoden wie z.B. die Flüssigphasenepitaxie (LPE), Molekularstrahlepitaxie (MBE),
Metall-Organische Gasphasenepitaxie (MOCVD) und die Gas Source MBE (GSMBE) etabliert.
Sowohl MBE als auch MOCVD sind im wesentlichen durch wachstumskinetische Faktoren
bestimmt und erlauben atomar glattes Wachstum. Sehr große Diffusionslängen und eine geringe
Übersättigung bei der LPE realisieren ein Wachstum vergleichsweise nah am thermodynamischen
Gleichgewicht, so dass thermodynamische Faktoren diese Methode limitieren. Alle in dieser Arbeit
untersuchten Proben wurden im Stranski-Krastanow Modus mittels LPE bzw. GSMBE gezüchtet.
Die Besonderheiten beim Wachstum aus der flüssigen Phase werden in Kap. 2.3 besprochen. Im
Unterkapitel 2.4 werden neben dem Prozeß der Entstehung einer einzelnen Insel zwei Wege der
Entstehung von Inselketten diskutiert.
2.1 Lineare Elastizitätstheorie
Die fundamentale Annahme der linearen Elastizitätstheorie, die interatomaren durch harmonische
Potentiale zu nähern, hat zur Folge, dass die Auslenkung der aufgewandten Kraft proportional ist.
Im Limit kleiner Deformationen wird diese Näherung zunehmend besser erfüllt, und erst bei
großen Deformationen ergeben sich Abweichungen im Vergleich zu einem atomistischen Modell
[PKW98]. In diesem Zusammenhang ist wichtig, zu bemerken, dass der Elastizitätstheorie ein
Kontinuumsmodell zugrunde liegt, somit die atomare Struktur unberücksichtigt bleibt. Die
Deformationsfelder in den untersuchten Strukturen wurden ausschließlich numerisch mittels der
auf linearer Elastizitätstheorie basierenden Methode der Finiten Elemente bestimmt. In diesem
Kapitel werden die notwendigen Grundlagen kurz referiert. Sehr ausführliche Beschreibungen der
Elastizitätstheorie finden sich u.a in [HiL82] und [LaL83].
Unterschiedliche Materialien bei der Heteroepitaxie verursachen eine Deformation des Kristalls in
Hinblick auf die freien Einzelkomponenten. Die Verschiebung der Atompositionen in Bezug auf

8 2 Epitaktisches Wachstum
ein Idealgitter läßt sich durch eine Vektorfunktion u(r) quantitativ erfassen. Der Verschiebungsvektor
u ist dabei wie folgt definiert:
r ′ = r +
u(r)
r′, die Position im realen System ergibt sich aus einer Referenzposition r für ein ideales nicht
deformiertes System plus einer Verschiebung u(r), die u.a. von den geometrischen Eigenschaften,
von der Komposition der beteiligten Materialien und von Randbedingungen abhängt. In den
Grenzen kleiner Ableitungen der Verschiebungen, d.h.
∂u
∂x
i
j

2.1 Lineare Elastizitätstheorie 9
Eigenschaften anisotrop verteilt. Die beiden Tensoren σ ij und ε kl sind durch den HOOKEschen
Tensor c ijkl miteinander verknüpft. 2
σ = (2-6)
ij cijklε kl
σ ij und ε kl beinhalten je 9 Elemente, von denen aus oben genannten Symmetrieeigenschaften nur 6
unabhängig sind, während der HOOKEsche Tensor aus 9 2 =81 Komponenten besteht, von denen wie
sich zeigen läßt, maximal 21 unabhängig sind. Einer einfacheren Schreibweise wegen wird sehr
häufig eine verkürzte Nomenklatur verwendet, in der die Indizes ij und kl durch m und n in
folgender Weise ersetzt werden:
ij, kl 11 22 33 23 31 12 32 13 21
m, n 1 2 3 4 5 6 4 5 6
Tab. 2-1: Indexkonvention {ijkl} ⇔ {mn}
In ausgeschriebener Form und unter Verwendung der Indizes m und n lautet das HOOKEsche
Gesetz:
⎡σ
11 ⎤ ⎡c
c c c c c c c c
⎢
σ
⎥ ⎢
22 c c c c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎢σ
33 ⎥ ⎢c
c c c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎢σ
23 ⎥ ⎢c
c c c c c c c c
⎢σ
⎥ 31 = ⎢c
c c c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎢σ
12 ⎥ ⎢c16c26c36
c46 c56 c66c c c
⎢σ
⎥ ⎢
32 c c c c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎢σ
13 ⎥ ⎢c
c c c c c c c c
⎢
⎣σ
⎥ ⎢
21 ⎦ ⎣c
c c c c c c c c
oder verkürzt in folgender Notation:
11 12 13 14 15 16 14 15 16
12 21 23 24 25 26 24 25 26
13 23 33 34 35 36 34 35 36
14 24 34 44 45 46 44 45 46
15 25 35 45 55 56 45 55 56
46 56 66
14 24 34 44 45 46 44 45 46
15 25 35 45 55 56 45 55 56
16 26 36 46 56 66 46 56 66
⎡σ
11 ⎤ ⎡c
c c c c c
⎢
σ
⎥ ⎢
⎢ 22 c c c c c c
⎥ ⎢
⎢σ
33 ⎥ ⎢c
c c c c c
⎢ ⎥ = ⎢
⎢σ
23 ⎥ ⎢c
c c c c c
⎢σ
⎥ ⎢ 31 c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎣σ
12 ⎦ ⎣c
c c c c c
11 12 13 14 15 16
12 22 23 24 25 26
13 23 33 34 35 36
14 24 34 44 45 46
15 25 35 45 55 56
16 26 36 46 56 66
⎤ ⎡ε11
⎤
⎥ ⎢
ε
⎥
⎥ ⎢ 22 ⎥
⎥ ⎢ε
33 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢γ
23 ⎥
⎥ ⎢γ
⎥ 31
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣γ
12 ⎦
⎤ ⎡ε11
⎤
⎥ ⎢
ε
⎥
⎥ ⎢ 22 ⎥
⎥ ⎢ε33
⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ε23
⎥
⎥ ⎢ε
⎥ 31
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ε12
⎥
⎥ ⎢ε
⎥
32
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ε13
⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣ε
21 ⎦
Dabei sind die Scherkomponenten ε mn (m≠n) durch γ mn/2 ersetzt worden. Die elastischen
Konstanten sind üblicherweise in Bezug auf die 〈001〉 Richtungen eines Kristalls tabelliert
2 Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention, nach der über doppelt auftretende Indizes summiert wird.
(2-7)
(2-8)

10 2 Epitaktisches Wachstum
[LaB84]. In Kap. 2.1.2 wird explizit auf eine Koordinatentransformation beim Übergang zu
einem anderen Koordinatensystem eingegangen.
2.1.1 Elastische Relaxation und Fehlpassung
Ist der Gitterparameterunterschied bei der Heteroepitaxie zwischen Substrat aS und Schicht aL relativ klein und die aufgewachsene Schicht nicht zu dick, kann sie dem vom Substrat
vorgegebenen lateralen Gitterparameter auf Kosten einer Längskontraktion oder –dilatation der
||
Elementarzellen folgen. Das heißt, die laterale Komponente aL paßt sich dem Gitterparameter des
Substrates aS an. Verbunden damit ist die Speicherung elastischer Energie, die mit zunehmender
Schichtdicke steigt, und z.B. durch Aufrauhung der Oberfläche [ACM95] oder die Ausbildung
dreidimensionaler Strukturen [StK37] abgebaut werden kann. Beim Überschreiten einer
kritischen Schichtdicke dkrit.[MaB74] können sich an der Grenzfläche Misfitversetzungen bilden
und so für einen Abbau der Spannungen sorgen. Eine Schlüsselrolle kommt dabei dem Gitterparameterunterschied
zwischen Schicht und Substrat zu. Für ein binäres System wie Si1-xGex läßt sich
der Gitterparameter in erster Näherung als lineare Interpolation aus den Werten der beiden Randkomponenten
berechnen. Abweichungen von diesem als VEGARDsches Gesetz [Veg21]
bekannten Zusammenhang, sind u.a. von Dismukes et.al. [DEP64]untersucht worden. Unter
Berücksichtigung eines quadratischen Terms ergibt sich der Gitterparameter von Si1-xGex zu:
2
a ( x)
= 0.
002733 x + 0.
01992 x +
a S
a L
0.
5431
( nm)
⊥
aL a S
||
aL (2-9)
A B
Abb. 2-1: Schematische Darstellung der Gitterfehlanpassung zwischen Schicht und
Substrat. Freie Schicht bzw. Substrat (A) nehmen die Gleichgewichtsgitterparameter
a L bzw. a S an, während beim pseudomorphen Wachstum (B) nur die laterale
Komponente erhalten bleibt.
Als Maß für den Gitterparameterunterschied läßt sich die relaxierte Fehlpassung f definieren:
f
∆a
a
L S
= =
(2-10)
relax
a
− a
a
S
wobei a L der Gitterparameter der vollständig entspannten Schicht und a S der des entspannten
Substrates ist. In Abb. 2-1 sind die Verhältnisse einerseits für zwei undeformierte Teilsysteme

2.1 Lineare Elastizitätstheorie 11
Substrat und Schicht (A) und eine pseudomorph aufgewachsenen Schicht mit a L>a S (B) dargestellt.
Im kubischen System wird die Einheitszelle bei (001) orientierten Substraten tetragonal verzerrt. Es
gilt dann:
∆a
a
||
= 0
∆a
1 ∆a
=
a P a
⊥
relax
(2-11)
(2-12)
wobei die relative vertikale (⊥) und parallele (||) Gitterfehlpassung bezüglich des Substrates gegeben
sind durch:
||
L
∆a
a − a
=
a a
||
⊥
L
∆a
a − a
=
a a
⊥
S
S
S
S
(2-13)
(2-14)
Im kubischen System auf (001) orientierten Substraten gilt für den Faktor P [HoB78]:
P
11
= (2-15)
c
11
c
+ 2c
12
Dabei ist P mit dem Poissonverhältnis ν über folgende Relation verknüpft:
1−
ν
P =
1+
ν
(2-16)
Die Konstanten c 11 und c 12 in (2-15) sind zwei der drei im kubischen System unabhängigen linearen
elastischen Konstanten des Schichtmaterials. Für einige Materialien sind die konkreten Zahlenwerte
zusammen mit den Gitterparametern in Tab. 2-2 zusammengestellt.
Als Maß für die Relaxation läßt sich für Schichten ein Relaxationsgrad R definieren [HLD89]:
R =
||
( ∆a
)
a
∆a
a
(2-17)
Bei vollständiger Relaxation ist R = 1, während bei pseudomorphem Wachstum der laterale Gitterparameterunterschied
verschwindet und somit R = 0 folgt.

12 2 Epitaktisches Wachstum
Ge Si InP InAs GaP GaAs
c 11 [GPa] 128.9 165.7 102.2 83.29 141.1 118.1
c 12 [GPa] 48.3 63.9 57.6 45.26 62.6 53.2
c 44 [GPa] 67.1 79.6 46.0 39.59 70.3 59.4
a [nm] 0.56578 0.54309 0.588 0.6058 0.5451 0.5653
Tab. 2-2: Lineare elastische Konstanten c 11, c 12 und c 44 und Gitterparameter a verschiedener
Materialien nach [LaB84].
2.1.2 Koordinatentransformation der elastischen Konstanten
In diesem Kapitel soll kurz eine Koordinatentransformation für die elastischen Konstanten referiert
werden, die sich eng an die von Hirth und Lothe in ihrem Buch [HiL82] zur Theorie von Versetzungen
abgeleitete Version anlehnt. Die Frage, warum eine Transformation überhaupt
notwendig wird, läßt sich an diesem Punkt nur unzureichend beantworten: die in dieser Arbeit
untersuchten Inselstrukturen sind auf (001) orientierten Substraten gewachsen und besitzen mit
ihren Basiskanten parallel zu den 〈110〉 Richtungen, siehe Kap. 6.1 und 7.1, eine Vorzugsrichtung,
die von der strukturell einfacheren durch die 〈001〉 Vektoren aufgespannten, abweicht. In dem verwendeten
Finite Elemente (FEM) Programm zur Bestimmung des Deformationsfeldes sind in Hinblick
auf die azimutale Lage der Inseln zwei Wege der Modellierung denkbar: einerseits könnten die
kristallographischen Achsen 〈001〉 parallel zum FEM-Koordinatensystem gewählt werden. Das
hätte den großen Vorteil, die elastischen Konstanten der beteiligten Medien direkt aus den Textbüchern
übernehmen zu können. Man erkauft diese Einfachheit jedoch durch komplizierte Randbedingungen.
Andererseits, und dieser Weg wurde in der vorliegenden Arbeit durchweg
beschritten, kann man die Basiskanten der Inseln an dem durch das FEM Programm vorgegebenen
Koordinatensystem ausrichten. Für eine solches Modell sind die elastischen Konstanten c ijkl, die für
ein System Σ definiert sind, dessen Kanten 〈001〉 Richtungen sind, zu transformieren in ein System
Σ′, welches durch [001] und zwei 〈110〉 Richtungen aufgespannt wird. Diese Transformation soll
hier in Kürze beschrieben werden.
Für die Transformation erweist es sich als günstig, die (9×9) Darstellung von (2-7) beizubehalten.
Jede beliebige lineare Koordinatentransformation Σ nach Σ′ läßt sich durch eine Transformations-
matrix T ij beschreiben, die die Koordinaten x i des ungestrichenen in die Koordinaten x i′ des
gestrichenen Systems überführt:
x ′ = T x
(2-18)
i
wobei T ij gegeben ist durch:
Tij
ij
j
⎡ cosκ
cosφ
− cos Θ sin φ sin κ
=
⎢
⎢
− sin κ cosφ
− cos Θ sin φ cosκ
⎢⎣
sin Θ sin φ
cosκ
sin φ + cos Θ cosφ
sin κ sin Θ sin κ ⎤
− sin κ sin φ + cos Θ cosφ
cosκ
sin Θ cosκ
⎥
⎥
− sin Θ cosφ
cos Θ ⎥⎦
(2-19)

2.1 Lineare Elastizitätstheorie 13
In Abb. 2-2 ist der Versuch unternommen, die verschiedenen Winkel dreidimensional zu veran-
schaulichen. Das Original-System Σ wird durch die drei Basisvektoren x 1,x 2 und x 3 aufgespannt, das
Bild-System Σ′ durch die drei gestrichenen Basisvektoren. Der polare Winkel Θ besteht dann
zwischen den beiden Achsen x 3 und x 3′. Zwischen x 1 und der durch die Schnittmenge der beiden
Ebenen (x 1, x 2) und (x 1′, x 2′) vorgegebenen Geraden g befindet sich der azimutale Winkel Φ.
Schließlich existiert noch ein dritter für die Transformation charakteristischer Winkel κ, der
zwischen g und x 1′ liegt.
Θ
x 3
x 3
Σ
x-x Ebene
1 2
x 2
x 1
x 2
κ
Σ
x-x Ebene
1 2
Abb. 2-2: Notation der Winkel für die lineare Koordinatentransformation von einem
System Σ nach Σ′. Der azimutale Winkel φ liegt innerhalb der von x 1 und x 2, κ
innerhalb der von x 1′ und x 2′ aufgespannten Ebenen. Θ wird aufgespannt durch die
beiden Vektoren x 3 und x 3′.
Verschiebungsfeld, Spannungs- und Deformationstensor transformieren sich dann wie folgt:
′
u = T u
i
ij
′
ε = T T ε
ij
il
j
jm
lm
′
σ = T T σ
ij
il
jm
lm
Und schließlich die interessierende Transformation der elastischen Konstanten:
x 1
φ
g
(2-20)
(2-21)
(2-22)

14 2 Epitaktisches Wachstum
′
cijkl = TigT
jhc
ghmnTkmT
ln
(2-23)
Betrachtet man nun die spezielle Transformation Θ = 0, φ = 45° und κ = 0, das entspricht einem
Übergang von einem System mit den Basisvektoren [100], [010] und [001] zu den Basisvektoren
[110], [1-10] und [001], so nimmt die Transformationsmatrix folgende einfache Gestalt an:
⎡ 1 2 1 2 0⎤
⎢
⎥
T ij = ⎢−1
2 1 2 0⎥
(2-24)
⎢
⎥
⎣
0 0 1
⎦
Im Kubischen, in dem nur c 11, c 12 und c 44 unabhängig sind, lauten die elastischen Konstanten in Σ′
dann:
c mn
⎡Γ+
/ 2 + c
⎢
⎢
Γ+
/ 2 − c
⎢ c12
⎢
⎢ 0
′
= ⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
Γ
Γ
mit Γ + = c 11+c 12 und Γ - =c 11-c 12.
44
44
+
+
/ 2
/ 2
c
0
0
0
− c
+ c
12
0
0
0
44
44
c
c
c
12
12
11
0
0
0
0
0
0
c
c
0
0
0
44
0
0
44
0
0
c
c
0
0
0
0
44
0
0
44
0
Γ
Γ
−
−
0
0
0
0
0
/ 2
0
0
/ 2
c
c
0
0
0
44
0
0
44
0
0
c
c
0
0
0
0
44
0
0
44
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
0 ⎥
⎥
Γ−
/ 2⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
Γ
⎥
− / 2⎦
(2-25)
Bereits an diesem Punkt sei darauf hingewiesen, dass die bis jetzt benutzte Schreibweise von der
technischen Nomenklatur, wie sie im FEM-Programm verwendet wird, abweicht. (siehe Kap. 5.1)
Dort sind aufgrund der zyklischen Vertauschung die für die Scherkomponenten relevanten c 44′, c 55′
und c 66′ in (2-25) in veränderter Reihenfolge einzutragen.
2.2 Wachstumsmodi
Man unterscheidet bei der Epitaxie drei phänomenologisch verschiedene Wachstumsmodi, die in
Abb. 2-3 skizzenhaft dargestellt sind: A) das Frank-van der Merwe [FrM49] Wachstum: ein
Modus bei dem sich Lage für Lage nacheinander ausbilden, so dass eine begonnene Atomlage vor
Beginn einer darüberliegenden erst vervollständigt wird, B) das Stranski-Krastanow [StK37]
Wachstum, bei dem nach Aufwachsen einer dünnen Benetzungsschicht, deren Dicke einige
Atomlagen beträgt, es zur Ausbildung 3-dimensionaler Strukturen kommt und C) das Volmer-
Weber [VoW26] Wachstum, welches sofort Inselbildung zeigt.

2.3 Züchtung aus der flüssigen Phase 15
A B C
Abb. 2-3: Schematische Darstellung des (A) Frank-van der Merwe-, (B) Stranski-
Krastanow- und (C) Volmer-Weber-Wachstums
Für das Auftreten des Frank-van der Merwe und des Volmer-Weber Wachstums gab Bauer
[Bau58] ein makroskopisch abgeleitetes Energiekriterium an. Die freie Oberflächenenergie des
Substrates sei E S (im Falle der LPE ist dieser Term die Grenzflächenenergie zur Lösung) und die
der Schicht E L, sowie die Grenzflächenenergie zwischen Schicht und Substrat E I. Während des
Wachstums wird aus der freien Oberfläche des Substrates das Interface zur Schicht und die
Energiebilanz läßt sich schreiben:
∆E
= E + E − E
sys
L
I
S
(2-26)
Frank-van der Merwe Wachstum liegt vor, wenn die Energiedifferenz ∆E sys negativ ist. Das
Wachstum vollzieht sich Lage für Lage. Im Falle des gitterangepaßten heteroepitaktischen
Wachstums (a L=a S) entstehen Inseln, sobald ∆E sys positiv ist (Volmer-Weber). Als selektiver
Schalter zwischen den beiden Modi kommt bei der Heteroepitaxie die aufgrund der unterschiedlichen
Gitterparameter auftretende Deformationsenergie hinzu. Marée [MNM87] führte zu
ihrer Berücksichtigung in (2-26) einen höhenabhängigen Spannungsenergieterm δ(h) ein, der,
solange er klein ist, die Bedingungen für ein Frank-van der Merwe Wachstum realisiert, welches
jedoch nach Überschreiten einer kritischen Schichtdicke - und somit größerem δ(h) - in Volmer-
Weber-Wachstum mit Inselbildung mündet. Dieser zweistufige Prozeß beschreibt die Vorgänge
beim Stranski-Krastanow-Wachstum. Für das System SiGe/Si geht aufgrund der Fehlpassung das
Wachstum nach Ausbildung einer Benetzungsschicht zu Inselbindung über.
2.3 Züchtung aus der flüssigen Phase
2.3.1 Thermodynamik der LPE
Die in dieser Arbeit untersuchten SiGe Schichten wurden mittels Flüssigphasenepitaxie (LPE) von
Herrn Wawra am Institut für Kristallzüchtung in Berlin gezüchtet. Der besondere Umstand des
Wachstums aus der Flüssigphase führt zu Diffusionskonstanten der gelösten Substanzen, die im
Vergleich zu Raten an einer freien Oberfläche um bis zu vier Größenordnungen größer sind
[Lin90]. Aus diesem Grund verläuft das Wachstum aus der Flüssigphase sehr dicht am thermodynamischen
Gleichgewicht. Es ist wachstumskinetisch nicht limitiert und kann mit den Methoden
der Gleichgewichtsthermodynamik beschrieben werden.
Sehr anschaulich kann man die temperaturabhängige Zusammensetzung eines mehrkomponentigen
Systems in einem Phasendiagramm darstellen. Die Komponenten Silizium und Germanium sind
lückenlos mischbar, darüber hinaus weisen beide Randkomponenten den gleichen Strukturtyp auf.

16 2 Epitaktisches Wachstum
Für das binäre System SiGe ist dieses Phasendiagramm in Abb. 2-4 gezeigt. In einem breiten
Gebiet zwischen Liquidus- (L) und Soliduskurve (S) koexistieren bei gleicher Temperatur beide
Phasen nebeneinander, so dass ein Festkörper mit einer anderen als der in der Schmelze
vorliegenden Zusammensetzung auskristallisiert. Im konkreten Fall lagen sowohl Silizium als auch
Germanium in einer Bi-Schmelze vor. Daneben werden bei der Flüssigphasenepitaxie auch noch
Indium und Gallium benutzt. Da die Zusammensetzung des Mischkristalles jedoch in weiten
Bereichen nicht von der Bi-Konzentration abhängt, wird hier auf eine detaillierte Diskussion des
ternären Systems Bi-Si-Ge verzichtet. Im Ergebnis führt die hinzukommende Bi-Komponente zu
einem der Gestalt nach gleichen Phasendiagramm wie in Abb. 2-4, mit dem Unterschied, dass die
Randkomponenten Si und Ge einen niedrigeren Schmelzpunkt in Kontakt mit einer Bi-Schmelze
aufweisen.
S
L
x S
x L
Abb. 2-4: Phasendiagramm für das System Si 1-xGe x nach [StK39]. Startet das
Wachstum mit einer Konzentration x L, so wird ein Kristall mit geringerem Ge-
Gehalt x S auskristallisieren. Beispielhaft zeigt die abgewinkelte Linie einen solchen
Verlauf.
Der Linie in Abb. 2-4 folgend, kristallisiert eine Schmelze der Zusammensetzung x L in der
Zusammensetzung x S. Der Gleichgewichtsverteilungskoeffizient k ergibt sich als Quotient aus den
beiden Konzentrationen x S und x L.
x
S
k = (2-27)
x
L
Der aus Gleichgewichtsbetrachtungen gewonnene Verteilungskoeffizient k wird durch wachstumskinetische
Prozesse modifiziert. Dabei spielen zwei Prozesse eine wesentliche Rolle: einerseits ist
der Herantransport der einzubauenden Adatome zu berücksichtigen zum anderen die unterschiedlichen
Einbauwahrscheinlichkeiten, die stark von der Art der Wachstumsgrenze abhängen.
Die treibende Kraft für die Bewegung der Atome in der Lösung ist neben der vernachlässigbaren
gravitationsbedingten Konvektion die Diffusion in der Lösung. Sie läßt sich durch einen

2.3 Züchtung aus der flüssigen Phase 17
Diffusionskoeffizienten D beschreiben. Die Berücksichtigung von Einbau und Transport führt auf
einen effektiven Verteilungskoeffizienten k eff [BPS53]:
k
eff
=
k +
k
⎡ ρ vd ⎤
−
S
( 1−
k)
exp⎢
⎥
⎣ ρ L D ⎦
(2-28)
ρ S und ρ L sind die Dichten des Festkörpers bzw. der Schmelze, v die Wachstumsgeschwindigkeit, d
wird als Dicke einer Diffusionsgrenzschicht interpretiert. Nimmt man an, dass die beiden Dichten
ρ S und ρ L etwa gleich groß sind, folgt im statischen Limit sehr kleiner Wachstumsgeschwindigkeiten
k eff=k. Ist dagegen die Wachstumsgeschwindigkeit sehr groß und/oder die Diffusionsgrenzschicht
sehr dünn, so strebt k eff gegen 1. Für das System SiGe hat das einen tendenziell höheren Ge-Einbau
im Kristall bei steigender Wachstumsgeschwindigkeit zur Folge.
Entscheidend für die Einbauwahrscheinlichkeit ist die Zahl der freien ungesättigten Bindungen
einer Fläche, die sich in den unterschiedlichen Oberflächenenergien widerspiegelt. Für Si beträgt sie
auf einer {001} Fläche 1.97 eV/Atom auf einer {111} Fläche dagegen nur noch 1.1 eV/Atom
[MeC86]. In Konsequenz dessen erfolgt das Wachstum auf der am dichtest besetzten (111)
Fläche langsamer als auf einer weniger dichten (und damit ungesättigteren) (001) Fläche, was einen
von der Wachstumsrichtung abhängigen Ge-Einbau nahelegt. Eine größere Wachstumsgeschwindigkeit
führt zu einer Verschiebung des Verteilungskoeffizienten hin zu 1, was einem
erhöhten Einbau der niedrigerschmelzenden Komponente, im System SiGe, zu einer erhöhten Ge-
Konzentration im Festkörper führt. Im Kap. 2.4 wird, verschiedenen Wachstumsstadien von
Stranski-Krastanow Inseln folgend, der Inselentstehungsprozeß anhand von AFM Aufnahmen
rekonstruiert. Dies ist zum einen für das Verständnis des Wachstums selbst interessant zum
anderen liefert es ein erstes Indiz für einen möglichen Kompositionsgradienten in den Inseln.
2.3.2 Wachstumsablauf
Eine schematische Darstellung des Züchtungsverlaufes bei der Flüssigphasenepitaxie zeigt Abb.
2-5. Das Lösungsmittel Wismut, für relative kleine Ge-Gehalte unter 10% kommt auch Indium als
Lösungsmittel zum Einsatz, befindet sich in einem horizontal verschiebbaren Graphittiegel.

18 2 Epitaktisches Wachstum
Bi-Schmelze
Si
Ge (gelöst)
Kohlenstoff-
Schmelztiegel
Bi+Si+Ge
Si-Substrat
A
SiGe-
Schicht
Abb. 2-5: Slide-Boat-Technik (A) Sättigungsphase der Schmelze. In Teilschritt (B)
wird die mit Silizium und Germanium gesättigte Lösung über dem Substratmaterial
abgekühlt, wobei es zur Abscheidung der Komponenten kommt.
Unter Wasserstoffatmosphäre wiegt man in einem ersten Schritt im Lösungsmittel eine bestimmte
Ge-Menge ein. Anschließend wird die Lösung über einem Siliziumvorrat mit Silizium gesättigt.
Etwa 30 minütiges Erhitzen des Substrates auf ca. 930°C führt in-situ zur Desorption des Siliziumoxids.
Nach vollständiger Sättigung (A) der Schmelze mit Silizium wird diese auf die Züchtungstemperatur
von etwa 600°C abgekühlt und für mehrere Stunden homogenisiert, um einen
möglichst gleichgewichtsnahen Zustand zu erreichen. Gewöhnlich liegt die Züchtungstemperatur
Null bis 2 Kelvin unter der Sättigungstemperatur. Durch horizontales Verschieben des Tiegels
positioniert man die Schmelze direkt über dem zu bewachsenden Substratmaterial (B). Nach
Durchlaufen eines vorgegebenen Temperaturintervalles wird die Schmelze von der Probe entfernt
und auf Raumtemperatur abgekühlt.
2.4 Phänomenologische Aspekte des Stranski-Krastanow Modus
2.4.1 Übergang Oberflächenverwellung zu Inseln
Die Entstehung einer dreidimensionalen Oberflächenstrukturierung wird getrieben durch den
Versuch, die bei der Heteroepitaxie entstehenden Spannungen möglichst effektiv abzubauen. Das
kann elastisch entweder durch eine Verwellung der Oberfläche (Rippling) oder durch die Bildung
dreidimensionaler Inselstrukturen erfolgen. Dabei spielt das Vorzeichen der Verspannung eine
entscheidende Rolle. Nur unter Druckspannung stehende Schichten neigen zu Rippling mit anschließender
Inselbildung, wie am Beispiel Si 0.5Ge 0.5/Si(001) und Si 0.5Ge 0.5/Ge(001) demonstriert
wurde, während Schichten unter Zugspannung zu einer Glättung der Oberfläche tendieren
[XGR94].
B

2.4 Phänomenologische Aspekte des Stranski-Krastanow Modus 19
Im Rahmen einer linearen Stabilitätstheorie zeigte Srolovitz, dass eine nominell glatte Oberfläche
eines verspannten Festkörpers instabil gegen Aufrauhung ist [Sro89]. In diesem auf zwei
Dimensionen reduzierten Modell einer mit einer Wellenlänge λ modulierten Oberfläche der
Amplitude c läßt sich der Energiegewinn ausdrücken durch:
2
−σ
cλ
∆ F = + 2γ
c
(2-29)
2E
2
E ist der elastische Modulus, σ die Spannung und γ c die Oberflächenenergie. Das heißt, dass für
bestimmte Wellenlängen λ mit
8γE
λ > (2-30)
2
σ
∆F

20 2 Epitaktisches Wachstum
Die Größe der sich ausbildenden Inseln hängt signifikant von der Gitterfehlpassung zwischen
Schicht und Substrat ab. In (2-31) taucht dieser Zusammenhang bereits für das Ripplemuster auf,
dessen Periode mit 1/σ 2 , einen linearen Zusammenhang zwischen σ und ε vorausgesetzt, also mit
1/ε 2 skaliert. Monte-Carlo Simulationen [OKS92] sagen einen Zusammenhang dieser Form für
die finale Basisbreite einer Insel w voraus, der u.a. von Dorsch et.al.[DSW98] experimentell an
SiGe Inseln mit Fehlpassungen zwischen 0.2% und 2%, respektive Ge-Gehalte von 5% bis 50%,
bestätigt werden konnte. Trägt man doppelt-logarithmischen die Inselgröße als Funktion der
Gitterfehlpassung auf, so ergibt sich ein linearer Zusammenhang. Die für reines Germanium
extrapolierte Inselgröße beträgt etwa 30 nm. Grund für dieses Skalenverhalten sind die mit zunehmender
Basisbreite einer Insel wachsenden Spannungen in der Nähe des Inselfußes, die ab einer
bestimmten Größe die treibenden Kräfte beim Wachstum kompensieren. Abweichungen ergeben
sich für den Fall, dass z.B. kinetische Limitierungen die Ausbildung eines gleichgewichtsnahen
Zustandes verhindern [ONG97].
Abb. 2-6 zeigt die atomkraftmikroskopische 3 Oberflächenmorphologie einer Si 0.9Ge 0.1 Schicht auf
einem Si(001) Substrat am Übergang Ripplemuster ⇒ Insel. Es bildet sich ein Kreuzmuster von
Oberflächenverwellungen mit orthogonalen 〈100〉 Vorzugsrichtungen. In der Abbildung wurde die
Höhenskala eingeschränkt, um die naturgemäß kleinen Amplituden des Ripplemusters sichtbar zu
machen. Man erkennt darüber hinaus Inselstrukturen mit 4-zähliger Symmetrie, die sich auf den
Ripples befinden. Erstaunlicherweise fehlt in der Umgebung bereits ausgebildeter Inseln das
untergelegte Muster, was auf einen von den Ripples gespeisten Materialbedarf der Inseln hindeutet.
Grund dafür kann eine spannungsinduzierte Rücklösung der Benetzungsschicht während des
Wachstums sein. Die lokale Wachstumsgeschwindigkeit verhält sich einerseits proportional zur
lokalen Übersättigung in der Schmelze zum anderen umgekehrt proportional zur Verspannung, die
am Inselfuß bzw. in den Tälern des Ripplemusters besonders stark ist. Dabei ist es möglich, dass
die Verspannung die lokale Übersättigung überkompensiert und es so zu einem Rücklösen der
bereits vorhandenen Benetzungsschicht kommt. Dieser Prozeß wurde sogar an Ge-Inseln
beobachtet, die mittels der wachstumskinetisch limitierten Molekularstrahlepitaxie gezüchtet
wurden [DSJ01]. Abb. 2-6 belegt, dass Inseln vorzugsweise auf den Scheiteln des Ripplemusters
entstehen.
3 engl.: Atomic Force Microscopy ⇒ AFM

2.4 Phänomenologische Aspekte des Stranski-Krastanow Modus 21
[110]
10 µm
[nm]
390
195
Abb. 2-6: AFM Bild der Probe 98/1085 mit einem nominellen Ge-Gehalt von
etwa 9 %. Einerseits wird die durch den unterschiedlichen Gitterparameter aufgebaute
Deformationsenergie durch Ausbildung eines Ripplemusters entlang 〈100〉 abgebaut.
Darüber hinaus relaxiert die aufgewachsene Schicht in einigen Positionen bereits
durch Ausbildung facettierter Pyramidenstümpfe.
In Abb. 2-7 ist ein Probenausschnitt der Probe 99/1008 mit einem Ge-Gehalt von etwa 10%
gezeigt, an dem man sehr deutlich das Rücklösen der Benetzungsschicht in der Nähe einer Insel
erkennt. Aufgrund der Anisotropie des eine Insel umgebenden Spannungsfeldes kommt es zu einer
Rücklösungswahrscheinlichkeit, die diese Anistropie, siehe Kap. 2.4.2, widerspiegelt. Besonders
stark ist dieser Effekt entlang der elastisch harten 〈110〉 Richtungen, wohingegen in den 〈100〉
Richtungen infolge des raschen Abfalls der Verspannung es kaum zu Rücklösung kommt.
[110]
5µm
Höhe [nm]
163.0
122.2
81.5
40.8
0
0
Abtrag
2.58 5.16 7.74 10.32
Abb. 2-7: AFM Aufnahme einer Si 0.9Ge 0.1 Schicht (Probe 99/1008). In der Nähe
einer bereits ausgeprägten Insel kommt es zu spannungsinduzierter Rücklösung der
Benetzungsschicht, die besonders deutlich im Höhenprofil sichtbar wird. Dabei erreicht
die Abtragung der Benetzungsschicht in 〈110〉 Richtung eine Ausdehnung, die mit
der lateralen Inselgröße am Fuß vergleichbar ist.
Im folgenden soll anhand verschiedener Wachstumsstadien der Prozeß der Inselbildung bei der
LPE genauer untersucht und diskutiert werden. Eine sehr detaillierte temperaturabhängige
[µm]

22 2 Epitaktisches Wachstum
Charakterisierung verschiedener Entwicklungsstadien mittels MBE gezüchteter Germanium-Inseln
auf Si(001) findet sich in [CZD00]. Die Abb.2-8 bis Abb. 2-10 zeigen verschiedene mit AFM
vermessene Topologien einer (001) orientierten Oberfläche von Probe 98/1085 mit einem
mittleren Ge-Gehalt von 9%. Die Züchtungstemperatur betrug 600°C bei einer Abkühlrate von
0.1K/min und einer Wachstumszeit von 60 min. Anschließend wurde die Probe 18 h bei 594°C
gehalten.
[110]
5 µm
Höhe [nm]
228
171
114
57
0
0 0.84 1.68 2.52 3.36 µm
Abb.2-8: Frühstadium der Inselbildung. Das Wachstum erfolgt bei konstanter
Basisbreite über das Aufklappen der Seitenfacetten bis {115} Flächen erreicht sind.
In diesem Stadium existiert keine Deckfacette.
Dabei bilden sich auf der Probe eine Vielzahl unterschiedlicher Inselmorphologien von sehr
flachen Inseln, die sich kaum vom unterliegenden Ripplemuster abheben, bis hin zu Pyramidenstümpfen
mit einer (001) Deck- und {111} Seitenfacetten. Der Übergang von flachen zu abgestumpften
Inseln erfolgt nicht kontinuierlich sondern diskret bei einer für diese Konzentration
typischen Höhe h k. Abb.2-8 zeigt im Höhenprofil drei typgleiche Inseln, deren Seitenflächen durch
{11l} Facetten gebildet werden. Zumindest für die höchste der drei Inseln kann man davon
ausgehen, dass es sich tatsächlich um Seitenfacetten handelt, da man im AFM Bild deutlich den
quadratischen Grundriß erkennt. Eine Deckfacette existiert in diesem Stadium noch nicht. Es
konnten nur Inseln dieses Typs beobachtet werden für Höhen kleiner 280 nm. Dies korrespondiert
bei einer Basisbreite von 1.8 µm zu einer Steigung von 16.9°, die nahezu mit der Neigung von
{115} Facetten (15.8°) übereinstimmt. Nach dem Ausbilden von {115} Seitenfacetten ändert sich
der Wachstumsmodus sehr rasch. Es wurden keine Facetten in dem Intervall I=({11l}, 1

2.4 Phänomenologische Aspekte des Stranski-Krastanow Modus 23
[110]
5 µm
Höhe [nm]
747
560
374
187
0
h k
0 0.92 1.84 2.76 3.68 µm
Abb. 2-9: Umschlagen des Wachstumsmechanismus′ von einem Wachstum über
immer steilere Seitenfacetten (rot) hin zu einer Pyramidenstümpfen mit (001) Deck-
und {111} Seitenfacetten (blau) bei einer kritischen Höhe h k. Anschließend
gewinnen die Inseln nur noch über das Wachstum entlang [001] an Höhe.
In Abb. 2-9 ist dieser Übergang zwischen den beiden Wachstumsmechanismen dargestellt. Bis zu
einer kritischen Höhe h k erfolgt das Wachstum durch Aufklappen der Seitenfacetten hin zu {115},
gefolgt von einem extrem schnellen Übergang zu Pyramidenstümpfen. Die hohe Geschwindigkeit
diese Überganges hat zur Folge, dass keine Zustände zwischen der roten und blauen Kurve
beobachtet wurden. Dies legt für den entsprechenden Zwischenraum eine Erhöhung der Ge-
Konzentration nahe. Gemessen an der Höhe h des finalen Pyramidenstumpfes erfolgt der
Übergang etwa bei h/4 bis h/3.
[110]
5 µm
Höhe [nm]
1001
751
501
250
0
h 3
h 2
h 1
0 1 2 3 4 µm
b {1,2,3}
Abb. 2-10: Endstadium der Inselbildung. Die Inseln wachsen, nachdem sich {111}
Seitenfacetten gebildet haben, fast nur noch entlang [001] (h 1⇒h 3), wobei ein finales
Aspektverhältnis Basisbreite/Höhe von etwa 2 vorliegt. Daneben kommt es zu einer
Verbreiterung der Basis (b 1⇒b 3) mit zunehmender Höhe.
In Abb. 2-10 ist das Inselwachstum nach Ausbildung von Pyramidenstümpfen gezeigt. Dabei
ändert sich die Basisbreite der Inseln nur noch wenig. Das Wachstum vollzieht sich vorzugsweise
entlang [001]. Die vorangestellten Beobachtungen zusammenfassend, läßt sich die Inselentstehung
in einen dreistufigen Prozeß gliedern:
(1) Aus dem Ripplemuster entstehen durch Aufklappen der Seitenfacetten bis {115},
entsprechend einem Winkel von etwa 16°, flache Inseln ohne Deckfacette. Die Inselbasis
bleibt bei diesem Prozeß unverändert.

24 2 Epitaktisches Wachstum
(2) Sind {115} Seitenfacetten vorhanden, kommt es zu einer sehr schnellen Veränderung der
Inselmorphologie hin zu Pyramidenstümpfen mit {111} Seitenfacetten und einer (001)
Deckfacette.
(3) Sobald die Insel die Form eines Pyramidenstumpfes angenommen hat, erfolgt das
Wachstum hauptsächlich über die (001) Facette. Mit dem Vorhandensein von {111}
Seitenfacetten setzt auch eine Verbreiterung der Insel mit zunehmender Höhe ein.
An Ge-Inseln auf Si(001), die mittels Gasphasenepitaxie gezüchtet wurden, kommt es bei einer
Abscheidungsrate von 3 Monolagen je Minute aufgrund starker Interdiffusion zwischen Ge-Insel
und Si-Substrat zu einem inversen Effekt, bei dem der Facettenwinkel während des Wachstums
sinkt [HZL01].
[110] 500 nm 500 nm
F
K
K
A B
Abb. 2-11: Rasterelektronenmikroskopische Aufnahmen von Probe 98/1085 mit
nominellem Ge-Gehalt von 9 %. (A) ausgewachsene Insel mit einem Aspektverhältnis
Basisbreite/Höhe von etwa 2 und (B) eine Insel kurz nach dem Übergang
der Morphologie zu einem facettierten Pyramidenstumpf. Neben dem Wachstum über
die (001) Deckfacette gibt es einen zweiten Mechanismus über {111} Seitenfacetten
(F), die vom Fuß der Insel startend nach oben und zur Seite auswachsen. Zur
besseren Visualisierung wurde ein solcher Bereich umrandet, ähnliche Muster finden
sich an den anderen Seiten. Durch den Umstand, dass diese Flächen vor Erreichen
des Inselapex beziehungsweise in lateraler Richtung vor Erreichen der Kanten in
ihrem Wachstum stoppen, führt einerseits zu einer Verbreiterung der 〈101〉 Kanten
andererseits zu einer leichten Verrundung des oberen Abschlusses. Dieser Prozeß
setzt bereits kurz nach dem Morphologieumschlag hin zu facettierten
Pyramidenstümpfen ein, wie man an den einspringenden Kanten (K) im rechten Bild
erkennt.
In Abb. 2-11 sind zwei rasterelektronenmikroskopische 4 Aufnahmen unterschiedlicher Inselstadien
der schon mit AFM untersuchten Probe 98/1085 gezeigt, an denen man deutlich beginnend am
Inselfuß das sukzessive Aufwachsen von {111} Facetten (F) beobachten kann (Teilbild A), ohne
dass diese in jedem Fall völlig auswachsen. Offensichtlich funktioniert dieser Prozeß bereits kurz
nach dem Übergang zu Pyramidenstümpfen, wie man in Teilbild B an den verbreiterten 〈101〉
4 Im folgenden wird das kürzere sich aus dem Englischen von „Scanning Electron Microscopy“ ableitende Akronym SEM für diese
Methode benutzt. Daneben ist in der deutschsprachigen Literatur auch REM als Abkürzung gebräuchlich.

2.4 Phänomenologische Aspekte des Stranski-Krastanow Modus 25
Kanten (K) erkennt, die aus kleinen {111} Flächen bestehen. In Kap. 6.1 finden sich bei der
Untersuchung kleinerer germaniumreicherer Inseln Indizien, die auf ein Einspringen der Seitenkanten
in dieser Form hindeuten.
2.4.2 Spannungsinduzierte Entstehung von Insel-Insel-Korrelation
Insel-Insel-Korrelationen mit 〈100〉 Vorzugsrichtungen bilden sich auch für Ge-Konzentrationen
größer 15% heraus, deren unterschiedliche Erscheinungsformen in Kap. 6.3 ausführlich diskutiert
werden. In diesem Kapitel soll die Entstehung von Überstrukturen in Form von Ketten im
Vordergrund stehen. Für das angesprochene Konzentrationsfenster größer 15% konnte ein
morphologischer Übergang von Rippling hin zu Inseln, wie zuvor beschrieben, nicht beobachtet
werden. Dafür lassen sich mehrere Gründe anführen: zum einen erfolgt das Wachstum bei höheren
Ge-Konzentrationen mit einer viel höheren Geschwindigkeit, die eine zeitaufgelöste Untersuchung
der Inselentstehung unmöglich macht. Andererseits besitzt das unterlegte Ripplemuster, wenn
überhaupt vorhanden, nur eine sehr geringe Amplitude. Dennoch findet man Inselensembles mit
einem bemerkenswert hohen Grad an Insel-Insel-Korrelation auch für Ge-Gehalte von 30% bis
40%. Abweichend von dem in Kap. 2.4.1 beschriebenen Übergang einer Oberflächenverwellung zu
einem Inselmuster wird in diesem Kapitel ein Mechanismus vorgestellt, der eine andere Entstehung
der Inselketten entlang 〈100〉 nahelegt.
In Abb. 2-12 sind vier Oberflächenmorphologien der Probe 97/1072 mit einem mittleren Ge-
Gehalt von 30% abgebildet, die sich infolge unterschiedlicher Wachstumszeiten in ihrem Bedeckungsgrad
um mehr als den Faktor 4 bei gleicher Inselgröße und -form unterscheiden. Der linke
Bereich von Teilbild A ist unbewachsen. Auf ihm erkennt man, wie auch in den anderen Bereichen,
Fe-Silizid Partikel (Z), die die Probe nachträglich verunreinigten. Ihm schließt sich ein Gebiet (A)
mit einer mittleren Bedeckung von 2.6 Inseln/µm 2 an, in dem ein Mechanismus dafür sorgt, dass
fast die Hälfte aller Inseln sich in sogenannten Dimeren oder Trimeren anordnet. Dies sind
Verbände von Inseln, die in unserem Fall immer eine Vorzugsrichtung entlang 〈100〉 also entlang
der Inseldiagonalen aufweisen.
Bei einer gleichverteilten Positionierung würde man entweder nur Solitärinseln, die sich nicht einer
Kette zuordnen ließen, oder zumindest eine isotrope Anordnung erwarten. Es ist offensichtlich so,
dass eine bereits bestehende Insel bestimmte Plätze in ihrer Umgebung für eine zweite Insel
favorisiert. Dabei kommt dem Substrat und der Benetzungsschicht in diesem Prozeß insofern eine
vermittelnde Funktion zu, als dass durch sie hinweg in der Umgebung einer Insel entlang der
weichen 〈100〉 Richtung Bedingungen geschaffen werden, die die Bildung neuer Inseln fördern und
entlang 〈110〉 nahezu ausschließen, wie man aus dem Fehlen von Insel-Insel-Paaren entlang 〈110〉
folgern kann.

26 2 Epitaktisches Wachstum
[110]
T
D
Z
5 µm
A B
C
Abb. 2-12: Probe 97/1072 mit nominellem Ge-Gehalt von 30%. Die Inseln weisen
eine mittlere Basislänge von 130 nm auf. Im Anschluß an den Wachstumsprozeß
kam es zu einer Verunreinigung mit Fe-Silizid-Partikeln (Z), die sich im Vergleich
zu den Inseln als große Gebilde abheben. Aufgrund unterschiedlicher Wachstumszeiten
variiert die Inseldichte in den verschiedenen Teilbildern von (A) 2.6, (B) 4.3,
(C) 6.3 bis zu (D) 10.8 Inseln/µm 2 . Jenseits einer statistischen Verteilung ordnen
sich Inseln bereits bei sehr geringem Bedeckungsgrad in Dimeren (D) und Trimeren
(T) entlang der 〈100〉 Richtungen an.
Mit zunehmender Bedeckung entstehen aus Dimeren Trimere und schließlich bilden sich sehr
lange Ketten mit bis zu 12 Inseln. Diese Sequenz belegt sehr anschaulich, dass die Inselketten Insel
für Insel nacheinander heranwachsen. Eine Prepositionierung durch ein Ripplemusters konnte bei
Ge-Konzentrationen größer 15% für keine der untersuchten Proben nachgewiesen werden.
Kreuzungspunkte von Ketten fehlen bei dieser Probe fast völlig, so dass jede Insel genau einer
Kette zugeordnet werden kann. Darüber hinaus ist der Abstand der Inseln untereinander in einer
Kette nahezu konstant.
D

2.4 Phänomenologische Aspekte des Stranski-Krastanow Modus 27
Abb. 2-13: Statistische Auswertung der zu einer Inselkette beitragenden Anzahl von
Inseln als Funktion der Kettenlänge für die vier unterschiedlichen Bedeckungsgrade B
aus Abb. 2-12
Für Abb. 2-13 wurde die Anzahl der an einer Kette beteiligten Inseln als Funktion der Kettenlänge
für die vier unterschiedlichen Bedeckungsgrade B aufgetragen. Aus dem Diagramm lassen sich drei
Schlußfolgerungen ziehen, die die zuvor gemachten Aussagen zur Entstehung von Inselketten
quantitativ belegen:
(1) Da die Anzahl der Solitärinseln nahezu unabhängig vom Bedeckungsgrad ist, nimmt
der Anteil einzeln stehender Inseln gemessen an der Gesamtinselzahl mit zunehmender
Bedeckung ab.
(2) Mit anwachsender Bedeckung steigt die maximal realisierte Kettenlänge.
(3) Das Maximum der Verteilung verschiebt sich bei größerer Bedeckung zu längeren
Ketten.
Es ist eine naheliegende Vermutung, dass der Prozeß der Kettenbildung durch das eine Insel
umgebende Deformationsfeld gesteuert wird. In Abb. 2-14 sind die mit Finiter Elemente Methode
(FEM) berechneten Verzerrungsenergiedichten:
E ⎞
⎜ ⎟
⎝V
⎠
2 2 2 1 2 2 ⎤
( xx + ε yy + ε zz ) + ( ε xy + ε xz + ε ) ⎥⎦
1 ⎡
= 2G ⋅ ⋅
⎢ ε yz (2-32)
P ⎣
2
⎛ 2
strain
in der Umgebung einer Einzelinseln (A) und eines Dimers (B) gezeigt. Dabei ist G das Schermodul.
Zu den Details der FEM sei auf Kap. 5.1 verwiesen. Als Modell diente in beiden Fällen eine durch
{111} Seitenfacetten und eine (001) Deckfacette begrenzte Si 0.7Ge 0.3 Insel mit einer Basisbreite von
130 nm bei 65 nm Höhe. Diese Insel wurde auf einer Benetzungsschicht gleicher
Zusammensetzung positioniert, die sich ihrerseits auf einem Si(001) Substrat befindet. Dabei wurde
ein eingeschränkter Bereich gezeigt, um bestimmte Eigenschaften der Verteilung besser
hervorzuheben.

28 2 Epitaktisches Wachstum
[110] 200 nm
L 100
L 110
L a
100
L b
100
A B
Abb. 2-14: Mit der Methode der Finiten Elemente berechnete totale Verzerrungsenergiedichte
(A) für eine Einzelinsel Si 0.7Ge 0.3 der Basis 130 nm bei einer Inselhöhe
von 65 nm auf einer 1.8 nm dicken Benetzungsschicht der gleichen Konzentration
und (B) für ein Dimer bestehend aus zwei Inseln gleichen Typs. Grün sind die Inselpositionen
schematisch dargestellt.
3.000 e+7
2.929 e+7
2.857 e+7
2.786 e+7
2.714 e+7
2.643 e+7
2.571 e+7
2.500 e+7
-3
[Jm ]
Für die Solitärinsel ergibt sich eine kleeblattförmige 4-zählige Verteilung der totalen Verzerrungs-
energiedichte, die die unterschiedlichen Härten entlang der 〈110〉 und 〈100〉 Richtungen widerspiegelt.
Der am stärksten verspannte Bereich befindet sich in unmittelbarer Umgebung der Insel.
Die Form des Fernfeldes ähnelt jener aus Abb. 2-7 für die rückgelösten Bereiche in der Umgebung
einer Insel. Gebiete, in denen mehr Deformationsenergie gespeichert ist, neigen eher zu Rücklösung
als entspannte Bereiche. Zur besseren Visualisierung sind in Teilbild A zwei für den Abfall
des Energiedichtefeldes typische Längen L 100 und L 110 eingezeichnet. Man erkennt, dass die
Energiedichte entlang 〈110〉 langsamer abfällt als entlang 〈100〉. Eine solche Form begünstigt die
Entstehung von Dimeren in 〈100〉 Richtung, da eine zweite Insel in 〈110〉 Richtung die Verzerrungsenergiedichte
bedeutend stärker erhöhen würde als entlang der Inseldiagonalen.
[110] 200 nm
L b2
100
L b1
100
L a
100
L c2
100
L a
L c1
100 100
A B
Abb. 2-15: Verzerrungsenergiedichte für zwei verschiedene Konfigurationen bestehend
aus je 3 Inseln. Inselaufbau, Benetzungsschicht und Substrat entsprechen den
Vorgaben aus Abb. 2-14. (A) Trimer und (B) für eine Anordnung, bei der die
Inseln auf den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks positioniert wurden.
3.000 e+7
2.943 e+7
2.886 e+7
2.829 e+7
2.771 e+7
2.714 e+7
2.657 e+7
2.500 e+7
-3
[Jm ]

2.4 Phänomenologische Aspekte des Stranski-Krastanow Modus 29
In Abb. 2-14B ist die 4-zählige Symmetrie des Deformationsfeldes aufgrund der im FEM-Modell
vorgegebenen Dimervorzugsrichtung aufgehoben. Das bedeutet, dass die beiden 〈100〉 Richtungen
nicht weiter äquivalent sind. Die gemachten Beobachtungen mit AFM legen nahe, dass ein Dimer
die Energiedichte insoweit verändert, dass entlang der Hauptdiagonalen eine Kette weiterwachsen,
senkrecht dazu, die Bildung einer neuen Insel energetisch äußerst unattraktiv wird. Die Relation
a b
L100 < L100
der beiden Längen entlang 〈100〉 bestätigt diese Vermutung.
In der Umgebung eines Trimers forciert die Überlagerung der von drei in einer Linie angeordneten
Inseln, Abb. 2-15A, ausgehenden Spannungsfelder noch die Hauptrichtung. Es gilt
b2
b1
a
L100 > L100
> L100
. Eine Anlagerung senkrecht zur Hauptdiagonalen an der mittleren Insel ist
unwahrscheinlich, beziehungsweise nur in einem größeren Abstand energetisch sinnvoll. Ein
„Abbiegen“ der Ketten wird aus diesem Grund ein Prozeß, der nicht beobachtet werden konnte.
Für den unwahrscheinlichen Fall einer Dreierkonfiguration wie sie in Abb. 2-15B dargestellt ist,
c2
ergibt sich ein gleicher Abfall der Deformationssenergie am Scheitel der Konfiguration ( L ) und
c1
an beiden Ecken ( L ), der jedoch deutlich schwächer in der dazu senkrechten Richtung ausfällt:
L < L ≈ L
a
100
c2
100
c1
100
100
. Daraus folgt, dass für eine solche Konfiguration die Anlagerung einer weiteren
Insel tendenziell zu einer Verlängerung der beiden gleichwertigen Achsen führt.
Die durch eine Insel bzw. einen Verband von Inseln geprägte Verzerrungsenergiedichte allein kann
das Entstehen von Inselketten noch nicht ausreichend beschreiben, da ein Minimum in der
Verteilung nicht nachgewiesen werden konnte. Es ist zu vermuten, dass dem spannungsinduzierten
Abtrag der Benetzungsschicht eine wichtige Rolle bei diesem Prozeß zukommt.
100

3 Beugung von Röntgenstrahlen
Zur gesamten Theorie der Röntgenstreuung kann auf eine ganze Anzahl exzellenter Textbücher
[vLa60], [Zac45], [HPB98], [ANM01] verwiesen werden. In dem vorliegenden Kapitel
sollen explizit nur die für diese Arbeit relevanten Zusammenhänge bei der Streuung von Röntgenstrahlen
an Kristallen vorgestellt und diskutiert werden. Im Fall normaler Dispersion ist der
Brechungsindex n für Röntgenstrahlen in der Größenordnung 0.9999 und gibt somit unterhalb
eines kritischen Winkels Anlaß zu externer Totalreflexion. Kap. 3.1 referiert kurz die Grundlagen
für die Streuung von Röntgenstrahlen. In Kap. 3.2 wird mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen
eine allgemein gültige Wellengleichung abgeleitet, deren Lösung je nach gewählter Näherung auf die
kinematische, dynamische oder semikinematische Beschreibung der Beugung führt, wobei zunächst
von einer perfekt kohärenten Quelle ausgegangen wird. Kap. 3.3 beschäftigt sich mit den
Kohärenzeigenschaften der verwendeten Strahlung.
3.1 Grundlagen
Da Atomkerne bei weitem zu schwer sind, um den hochfrequenten Oszillationen der Röntgenstrahlung
zu folgen, wechselwirken hauptsächlich die Elektronen der Hülle mit der Strahlung. Dies
rechtfertigt, den Wechselwirkungsprozeß allein in Bezug auf die Elektronendichte ρ(r) und die mit
ihr korrelierten Größen aufzufassen. Darüber hinaus existieren völlig äquivalente Formulierungen,
die die Wechselwirkung über die dielektrische Suszeptibilität χ(r), die elektrische Permeabilität ε(r)
oder den Brechungsindex n:
n = ε( r ) = 1+
χ ( r)
≡ 1−
δ + iβ
(3-1)
beschreiben. Indem man n in einen Real- und Imaginärteil aufspaltet, läßt sich formal zwischen
Brechung und Absorption unterscheiden. Die beiden relevanten Größen δ und β sind mit der
Atomformamplitude f in folgender Weise verknüpft:
Elementar−
zelle
2
N are
ρ k 0
δ = λ ∑ ( f + ′ k f k )
(3-2)
2π
A
k
Elementar−
zelle
N are
ρ k
β = λ
2
∑ f ′
k
2π
A
k
k
k
mit λ der Wellenlänge der Strahlung, N a der Avogadroschen Konstante, A k den relativen Atom-
massen, ρ k der Massendichte und r e dem klassischen Elektronenradius. 5 f k die Atomformamplitude
der k-ten Atomsorte in der Elementarzelle, über die sich die Summen in (3-2) und (3-3) erstrecken,
5 re = e 2/4πε0mc 2 = 2.818×10 -15 m
(3-3)

32 3 Beugung von Röntgenstrahlen
ist im allgemeinen eine komplexe Zahl, die die konkrete Verteilung der Elektronen in einem Atom
berücksichtigt:
0
f ( g , ω) = f ( g)
+ f ′ ( ω)
+ if
′
( ω)
(3-4)
Im Fall kleiner Impulsüberträge und fern von Absorptionskanten verhält sich f 0 proportional der
Kernladungszahl Z, wohingegen in Kantennähe die gestrichenen Größen, die sogenannten Hönl-
Korrekturen [Hön33a], [Hön33b], berücksichtigt werden müssen.
Die dielektrische Suszeptibilität χ(r) ist eine skalare, ortsabhängige, komplexe Größe, die für
Röntgenstrahlung die weitreichende Konsequenz eines Brechungsindexes kleiner 1 zur Folge hat.
Wenngleich der Unterschied nur sehr klein ist (in der Größenordnung 10 -5 ), führt das dazu, dass
unterhalb eines kritischen Winkels α krit Röntgenstrahlen an der perfekten Oberfläche eines Kristall
totalreflektiert werden und die Welle im Kristall exponentiell abfällt. Indem man (3-1) nach χ entwickelt:
1
1+ χ ( r) ≈ 1+
χ ( r)
(3-5)
2
für den transmittierten Strahl im Medium einen Winkel zur Oberfläche von Null ansetzt und
2
cos x ≈ 1−
x nähert, folgt für den kritischen Winkel:
2
α krit ≈ 2δ
(3-6)
Typische Werte für α krit liegen bei λ = 1.54 Å in der Größenordnung einiger 0.1°.
3.2 Wellengleichung
Ausgehend von den Maxwellschen Gleichungen, die die Wechselwirkung elektromagnetischer
Wellen mit Medien beschreiben, läßt sich eine allgemein gültige Wellengleichung aufstellen, deren
Lösung sich allerdings im Kristall als ausgesprochen kompliziert erweist. Deshalb sind zur Lösung
verschiedene Näherungen sinnvoll, die im Anschluß einzeln mit Hinblick auf die Grenzen ihrer
Gültigkeit diskutiert werden. Die Maxwellschen Gleichungen in SI-Einheiten lauten:
∂B
∂D
rotE
= −
rot H = + j
(3-7)
∂t
∂t
div D = ρ(r)
div B = 0
wobei ρ(r) die Dichte der freien Ladungen und j der Verschiebungsstrom sind. Zu berücksichtigen
sind noch die Gleichungen, die die magnetische Induktion B mit der magnetischen Feldstärke H
und die dielektrische Verschiebung D mit der elektrischen Feldstärke E über die materialspezifischen
Konstanten verknüpfen:

3.2 Wellengleichung 33
B = µµ 0H
D = εε 0E
(3-8)
wobei ε die elektrische Permeabilität und µ die magnetische Suszeptibilität des Mediums sind. 6 Im
folgenden soll ein nichtmagnetisches Medium (µ=1) ohne freie Ladungen (divD=0) angenommen
werden. Wendet man die Rotation auf Gleichung (3-7) an, ergibt sich mit rot rot E = grad div E - ∆E
für eine elektromagnetische ebene Welle mit Vakuumwellenvektor K, dessen Länge gegeben ist
durch:
ω 2π
K = K = =
(3-9)
c λ
0
und λ der Wellenlänge der Strahlung sowie c 0 der Vakuumlichtgeschwindigkeit die folgende
Differentialgleichung:
2
2
( + K ) E( r)
= grad div E(
r)
− K χ(
r)
E(
r)
∆ (3-10)
Definiert man nun ein Potential V=grad div – K 2 χ(r), kann man (3-10) schreiben:
2 ( + K ) E ( r ) = V ( r ) E ( r )
∆ (3-11)
Mit der Näherung
1 ⎛ D(
r)
⎞ 1
div E( r)
= div⎜
⎟ ≈ div D(
r)
= 0
ε 0 ⎝1
+ χ(
r)
⎠ ε 0 ( 1+
χ 0 )
[HPB98], wobei χ 0
die nullte Fourierkomponente von χ(r) ist, siehe (3-39), vereinfacht sich (3-11) zur Helmholtz-Gleichung:
2
2
( + K ) E( r)
= −K
χ(
r)
E(
r)
∆ (3-12)
die sich formal mit der Greenschen Methode lösen läßt:
∫
3
E ( r)
= E ( r)
+ G(
r − r′
) V ( r′
) E(
r′
) d r′
(3-13)
oder vereinfacht:
0
E( r)
= E0
( r)
+ GVE(
r)
(3-14)
wobei E 0(r) die Lösung für verschwindendes Potential V also die Lösung der Wellengleichung im
Vakuum ist. Der Umstand, dass die gesuchte Größe E(r) auf beiden Seiten von (3-14) auftritt,
macht die Lösung des Problems ausgesprochen kompliziert. Dies bedeutet, dass E(r) nicht nur von
der einfallenden sondern auch von der gestreuten Welle selbst abhängt. Die Greensche Funktion
G(r-r′) in (3-13) genügt der Forderung:
6 ε0 ist die Dielektrizitätskonstante, µ0 die Permeabilität des Vakuums. Es gilt ε0µ0=c 2.

34 3 Beugung von Röntgenstrahlen
2 ( ∆ + ) G(
r − r′
) = δ ( r − r′
)
K (3-15)
Nach der Bornschen Näherung läßt sich die Lösung des Problems als Reihe schreiben. Dabei tritt
in der Summe auf der rechten Seite in (3-13) nicht mehr das Wellenfeld E(r), sondern nur noch
E 0(r), die Lösung für das homogene Problem auf:
( r)
E0(
r)
∑ ∞
= +
n ( GV ) E ( r)
E 0
n=
1
(3-16)
An diesem Punkt setzen nun die verschiedenen Näherungen ein, die abhängig von der Ordnung,
nach welcher man in (3-16) abbricht, entweder auf die kinematische oder dynamische Sicht der
Beugung führen. In den folgenden Unterkapiteln sollen diese einzeln behandeln werden.
3.2.1 Kinematische Beugung
Die Lösung von (3-12) schreibt sich unter Berücksichtigung des ersten Terms in der mit der
kinematischen identischen ersten Bornschen Näherung:
( r)
= E ( r)
+ GVE
( r)
(3-17)
E 0
0
Bereits hier tritt die fundamentale Näherung der kinematischen Beugung klar hervor: Ein
Röntgenquant kann nur ein einziges Mal mit dem Potential V wechselwirken. Mehrfachstreuprozesse
werden auf diese Weise von vornherein ausgeschlossen. Diese Voraussetzung ist
offensichtlich in zunehmendem Maße mit abnehmender Dicke des Streuers erfüllt. Der
Streuprozeß läßt sich immer dann hinreichend gut kinematisch behandeln, wenn nur ein kleiner
Teil der einfallenden Welle gestreut wird, so z.B. bei Streuung an Punktdefekten in Kristallen oder
aber für die Streuung an weniger perfekten Strukturen.
Die Greensche Funktion G für ein freies Teilchen lautet [HPB98]:
G
( r − r′
)
iK r−r′
1 e
= −
4π
r − r′
setzt man das in (3-17) ein, schreibt sich die Lösung der Wellengleichung:
r−r′
e iK
1
3
E(
r)
= E r − ∫ r′
E r′
r′
0 ( )
V ( ) 0 ( ) d
4π
r − r′
mit E 0(r) als Lösung der Wellengleichung im Vakuum:
E ( r)
0
E
(3-18)
(3-19)
0 iK
0r
= e
(3-20)
und dem Ausdruck für das Potential V(r) = -K 2 χ(r) folgt für die gestreute Welle:

3.2 Wellengleichung 35
E
streu
iK r−r′
2
K e
3
( r)
= GVE
r = ∫ r′
E r′
r′
0 ( ) χ(
)
0 ( ) d
4π
r − r′
bzw. auf die Elektronendichte umgeschrieben:
iK r−r′
(3-21)
e
3
E = ∫ ′ E r′
r′
streu ( r)
re
ρ ( r )
0 ( ) d
(3-22)
r − r′
Das Streuintegral in (3-22) stellt das Pendant zum Huygenschen Prinzips der Optik dar, welches
eine anschauliche Interpretation des Integrals erlaubt: ein Streuer am Punkt r′, emittiert als Antwort
auf eine einfallende Welle E0(r) eine sphärische Welle
iK
e
r−r′
, wobei sich die vom gesamten
r − r′
Kristall gestreute Amplitude am Ort r als kohärente Summe über alle sphärischen Wellen
ausgehend von der Gesamtheit aller beteiligten Streuer an den Orten r′ ergibt.
Während (3-22) innerhalb der kinematischen Näherung die Lösung der Wellengleichung unter der
Annahme sphärischer Kugelwellen beschreibt, geht man in der Fraunhoferschen Näherung, Abb.
3-1, einen Schritt darüber hinaus und betrachtet einfallende und gestreute Welle als ebene Planwellen.
Diese weitere Näherung bedeutet, dass der Beobachter hinreichend weit vom Ort des
Streuprozesses entfernt ist |r|››|r′|.
K 0
r’
K S
Ursprung
Beobachter
r
r-r’
Abb. 3-1: Im Bild der Fraunhofersche Näherung befindet sich der Beobachtungsort r
in hinreichend großer Entfernung vom Ort des Streuprozesses, so dass man
r r′
≈ r − r r′
r
− nähern kann. K 0 ist der Wellenvektor der einfallenden, K S
der der gestreuten Welle.
K s ′
Daraus folgt nun, dass sich K r − r′
nähern läßt durch Kr − r , wobei Ks immer in Beobach-
r
tungsrichtung zeigt K s = K . Aus (3-22) wird damit:
r

36 3 Beugung von Röntgenstrahlen
r i
∫
e iKr − K sr′
3
E r =
r′
E r′
r′
streu ( ) e e ρ ( ) 0 ( ) d
(3-23)
r
mit (3-20) und dem Streuvektor Q = K s − K 0 wird der letzte Ausdruck zu:
E
streu
re iKr 0
− iQr′
3 re
iKr 0
( r)
= e E ρ ( r′
) e d r′
= e E f ( Q,
λ
r ∫
) (3-24)
r
wobei die Verteilung der Elektronen innerhalb des Atoms in der Atomformamplitude f enthalten
ist.
Für die Streuung am einzelnen Elektron folgt aus Gleichung (3-22) die Thomsonschen Streu-
formel, die eine Aussage über die elastisch gestreute Intensität in Abhängigkeit von α, dem Winkel
zwischen Schwingungsrichtung des E-Feldes und abgebeugtem Strahl, macht :
I
e
2
⎛ re
⎞
= ⎜ sinα ⎟ I 0
(3-25)
⎝ r ⎠
wobei I 0 die Intensität der einfallenden Welle beschreibt:
I
0
=
( ) () 2
2
0 i K 0 r−ωt
E e = E0
r
(3-26)
Zusammenfassend fußt die kinematische Theorie auf folgenden fundamentalen Vereinfachungen:
(1) Streuprozesse, bei denen ein Röntgenquant mehr als einmal mit dem Potential V
wechselwirkt im Sinne von (3-16), werden vernachlässigt. (Abbruch der Born-Serie
nach dem 1.Glied)
(2) Die gestreute Intensität ist so schwach, dass der einfallende Strahl alle Orte des Kristalls
mit gleicher Intensität beleuchtet. (Vernachlässigung von Extinktion)
(3) Brechungseffekte beim Übergang zwischen verschiedenen Medien, z.B. der Übergang
Vakuum-Kristall, sind nicht berücksichtigt. Die Folgen dieser Vereinfachung fallen
besonders gravierend aus, wenn ein- und/oder ausfallende Welle unter einem Winkel in
der Nähe des kritischen Winkels der Totalreflexion zur Oberfläche verlaufen.
Die vorangestellten Überlegungen gelten für jede Anordnung der Streuer. Um die Streuamplitude
eines Kristalls in kinematischer Näherung zu bestimmen, muß man (3-24) folgend die von allen der
Strahlung ausgesetzten Streuern am Ort r i (entsprechend ihrem Streuvermögen f i gewichtet) ausgehenden
Amplituden phasenrichtig aufsummieren. Die Positionen der einzelnen Atome im
Kristall mögen durch r i gegeben sein, so dass die Projektionen von K 0 und K s auf r i die Phasendifferenzen
zwischen einfallender, respektive gestreuter, Welle am Ort r i berücksichtigen. Damit
läßt sich (3-24) zu der stationären Wellengleichung umschreiben:

3.2 Wellengleichung 37
re
0
E streu ( Q)
= sin Θ ∑ f i E exp[
i(
K 0ri
− K sri
+ K 0r)]
(3-27)
r
i
f i ist die in (3-4) definierte Atomformamplitude. Die Summe über alle Atompositionen i läßt sich
bei vorhandener Translationsinvarianz faktorisieren. Üblicherweise teilt man dazu den Kristall in
äquivalente Elementarzellen ein, so dass sich die Streuamplitude als Produkt aus Struktur- F(Q) und
Gitteramplitude G(Q) schreiben läßt:
re E streu
0 G
( Q)
= sin Θ E ( Q)
F(
Q)
( Q)
(3-28)
r
mit der Strukturamplitude F(Q), die durch Summation über alle Atome innerhalb einer
Elementarzelle gegeben ist und die verschiedenen Atomspezies über f i berücksichtigt :
Elementar−
zelle
( Q) = ∑ f k exp[
i k ]
F Qr
k
)]
(3-29)
und der Gitteramplitude G(Q), die durch Summation über alle beleuchteten Elementarzellen
entsteht:
Gitter
∑
[
(
G(
Q ) = exp iQ
u a + u a + u a
(3-30)
u1
, u2
, u3
1
1
2
2
3
3
wobei sich die Positionen der Elementarzellen als Produkt aus den reziproken Gittervektoren a i
und einem Tripel ganzer Zahlen (u 1, u 2, u 3) angeben lassen. Somit läßt sich die gestreute Intensität
schreiben:
2
2
I = I e F G
(3-31)
In Kap. 5.3 wird für die numerische Bestimmung der diffus gestreuten Intensität eine ähnliche
Unterteilung des Kristalls vorgenommen, mit dem Unterschied, dass dort Subzellen benutzt
werden, deren Größe ein ganzzahliges Vielfache der kristallographischen Elementarzellen betragen.
3.2.2 Distorted Wave Born Approximation
Für den Terminus ‚Distorted Wave Born Approximation’ (DWBA) hat sich keine deutsche
Übersetzung eingebürgert. Gemeint ist die störungstheoretische Behandlung der Wellengleichung
in Bornscher Näherung für den Fall, dass sich das Potential V in (3-11) in einen Anteil V A für ein
perfektes System und V B für eine kleine überlagerte Störung aufteilen läßt, und darüber hinaus die
exakte Lösung des ungestörten Problems bekannt ist. Läßt sich also V wie folgt aufteilen in:
V V V = +
(3-32)
A
so kann man (3-11) umschreiben zu:
B

38 3 Beugung von Röntgenstrahlen
2 ( + K − V ) ( r ) = V E ( r )
∆ A E B
(3-33)
E 0(r) stellt dabei die Lösung der homogenen Gleichung
2 ( ∆ + −V
) E ( r)
= 0
K (3-34)
A
0
dar. Für die Anwendbarkeit der DWBA ist die exakte Lösbarkeit von (3-34) eine Voraussetzung.
Aus (3-13) wird dann:
∫
3
( r)
= E ( r)
+ G ( r − r′
) V ( r′
) E(
r′
) d r′
A (3-35)
E 0
B
wobei G A die Greensche Funktion des ungestörten Systems und V B das Störpotential darstellt. Die
Lösung läßt sich nun mit Hilfe der Störungstheorie formulieren:
∑ ∞
=
n=
0
E( r ) E ( r)
(3-36)
n
wobei sich die Ordnung (n+1) rekursiv aus der n-ten Ordnung wie folgt ergibt:
∫
3
( r)
= G ( r − r′
) V ( r′
) E ( r′
) d r′
n A
B
(3-37)
E + 1
n
DWBA erster Ordnung bricht in der Entwicklung (3-16) nach dem ersten Term ab. Die Lösung in
verkürzter Nomenklatur lautet dann:
E E0
+ GAV
B
= E
(3-38)
0
Sie wurde erfolgreich zur Beschreibung der Streuung von Röntgenstrahlen und Neutronen an
rauhen Oberflächen [SSG88], [Pyn92], bei der Strukturaufklärung von Oberflächen mit
Beugung unter streifendem Ein- und Ausfall [Vin82] getestet. DWBA wurde im weiteren
angewandt auf die Streuung an Schichtsystemen [HKO93] und bei der Simulation von GISAXS
Experimenten an freistehenden Ge Inseln auf Si(111) Substraten [RPM99]. Der Einfluß der
zweiten Ordnung wurde u.a. von deBoer [Boe94], [Boe96] für die Reflexion an rauhen
Oberflächen untersucht.
3.2.3 Dynamische Beugung
In der dynamischen Theorie macht man sich bei der Lösung der Wellengleichung den Umstand
zunutze, dass sich die Suszeptibilität χ als Folge des Blochschen Theorems in Form einer diskreten
Fouriersumme über alle reziproken Gittervektoren g schreiben läßt:
χ )
∑
igr
( r = χ ge
(3-39)
g
Entwickelt man E nach Planwellen:

3.2 Wellengleichung 39
E(
r)
∑
= g
E
igr ik
0r
ge
e
(3-40)
so läßt sich die Grundgleichung der dynamischen Theorie schreiben:
∑
⎡
k gr 2
e ⎢K
Eg
χ g−g′
g
g′
i
⎣
2
2
− kg
Eg[
g]
+ K ∑
E
g′
⎤
⎥ = 0
⎦
(3-41)
Mit der Vereinbarung k = + g , und Eg[g] sei die Komponente von Eg , die senkrecht auf kg g
k 0
steht. Damit haben wir ein System linearer homogener algebraischer Gleichungen für die
unbekannten Koeffizienten E g. Erstreckt sich die Summe in (3-40) nur über eine begrenzte Anzahl,
läßt sich die Lösung des Gleichungssystems (3-41) einfach angeben. Die wichtigsten Fälle ergeben
sich für g′={0} (Einstrahl-), g′={0,h} (Zweistrahl-) und g′={0,h 1, h 2} (Dreistrahlfall).
Im folgenden wollen wir die Lösung für den Zweistrahlfall skizzieren. Die Entwicklung (3-40)
bricht in diesem Fall nach dem zweiten Term ab:
ik
0r ik
hr
E( r)
= E0e
+ Ehe
Die Grundgleichungen nehmen dann folgende Form an:
2
2
( K ( 1 χ ) − k )
2
+ 0 0 E0
+ K Cχ
−h
= 0
2
2
2
( K ( 1+
χ ) − k ) E + K Cχ
E = 0
0
h
h
h
E
0
h
(3-42)
(3-43)
C berücksichtigt die Polarisation und hat den Wert 1 für σ-Polarisation und |cos(2Θ)| für π-
Polarisation an. 7 Dieses System algebraischer Gleichungen verknüpft die Amplituden E 0 und E h
mit den Suszeptibilitäten χ 0, χ h und χ -h. Für die nichttrivialen Lösungen E 0 und E h muß die
Determinante des Gleichungssystems (3-43) verschwinden:
2
2 2
( ( 1 ) − k ) K ( 1+
χ )
2 4 2
( − k ) − K χ χ = 0
K χ C
(3-44)
+ 0 0
0 h
h −h
Definiert man nun die tatsächlichen Abstände ξ i der Quellpunkte von k 0 und k h von den
brechungskorrigierten Lösungen im Vakuum:
2 [ k − ( 1+
) ] i = { 0,
h}
1 2
ξ i = i K χ 0
2K
folgt aus (3-44):
(3-45)
7 Man bezeichnet den senkrecht zur Einfallsebene polarisierten Anteil der dielektrischen Verschiebung als σ- und den in der
Einfallsebene liegenden Anteil als π-Polarisation.

40 3 Beugung von Röntgenstrahlen
1 2 2
ξ 0ξh = K C χ h χ −h
(3-46)
4
Diese Gleichung beschreibt die Form der Dispersionsflächen im reziproken Raum und mit (3-43)
ergibt sich für das Verhältnis der Intensitäten:
E
E
h
0
=
ξ χ
ξ
h
0
χ
3.3 Kohärenz
h
−h
(3-47)
Die bei der Lösung der Wellengleichung implizit gemachte Annahme, dass zwischen allen Wellen
eine feste Phasenbeziehung besteht, siehe z.B. die kohärente Summation (3-27) über alle Streuer
innerhalb der kinematischen Theorie, kann nur aufrecht erhalten werden, solange die experimentelle
von der Quelle vorgegebene Kohärenzlänge größer als das Gebiet der Summation ist. Mit
Überschreiten dieser Länge geht zwischen den einzelnen Wellen eine definierte Phasenbeziehung
verloren und es kommt zu einer inkohärenten Mittelung. Andererseits kann man nur Interferenzerscheinungen
an einem System erwarten, das zumindest partiell die Fähigkeit zu kohärenter
Streuung besitzt. Auf welchen Längenskalen diese Voraussetzung als erfüllt angesehen werden
kann, ist durch Korrelationslängen gegeben.
λ
2L L
Planwelle 1
Planwelle 2
D
Planwelle 1
Planwelle 2
λ−∆λ
A B
λ
Abb. 3-2: Longitudinale (A) und transversale Kohärenzlänge (B), (A) zwei ebene
Wellen mit unterschiedlicher Wellenlänge sind exakt außer Phase nach einer Distanz
LL. Die transversale Kohärenzlänge ist eine Folge der Quellgröße. Zeichnung nach
[ANM01]
Die Abstraktion einer ebenen monochromatischen Welle idealisiert die experimentellen Gegebenheiten
in zwei wesentlichen Punkten. Die Aufhebung der perfekten Monochromasie führt einerseits
auf eine longitudinale oder auch zeitliche Kohärenzlänge, während die endliche Quellabmessung
für eine limitierte transversale räumliche Kohärenz sorgt.
Für beide Fälle sollen kurz die entsprechenden Formeln unter der Annahme, dass sich keine
optischen Elemente zwischen Quelle, Probe und Detektor befinden, abgeleitet werden. In Abb.
3-2A ist der Fall zweier Planwellen 1 und 2 skizziert, deren Wellenlängen sich um den Betrag ∆λ
unterscheiden aber exakt der gleichen Ausbreitungsrichtung folgen. Über eine Distanz von L L
R
∆Θ
∆Θ
2L T

3.3 Kohärenz 41
geraten beide vollständig außer Phase. Diese Länge wird als longitudinale Kohärenzlänge
bezeichnet und läßt sich durch folgende Überlegung abschätzen. Es gilt:
( + )( λ − λ)
2LL = Nλ
= N 1 ∆
(3-48)
Für große N läßt sich N ≈λ/∆λ nähern, woraus dann folgt:
2
1 λ
L L =
(3-49)
2 ∆λ
Die longitudinale Kohärenzlänge ist ein Maß für die spektrale Auflösung des Monochromators.
Unter der Annahme einer Wellenlängendispersion von ∆λ/λ = 6×10 -5 (ID10B, ESRF) bei
λ=1.54 Å beträgt die longitudinale Kohärenzlänge etwa 1.3 µm.
In Abb. 3-2B sind zwei dispergierende monochromatische Wellenfronten gleicher Wellenlänge
dargestellt. Die transversale Kohärenzlänge beschreibt die Distanz, auf der die Phasen beider
Wellen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung um genau π verschoben sind. Es gilt einerseits
∆Θ=λ/2L T und andererseits ∆Θ=D/R, wobei D der Abstand der Quellpunkte der beiden
Wellenfronten und R die Entfernung des Beobachtungsortes von der Quelle ist. Daraus folgt für
die transversale Kohärenzlänge:
L T
λ R
= (3-50)
2 D
Am Strahlrohr ID10B der ESRF beträgt der Abstand R zur Quelle etwa 42 m. Bei Quellabmes-
sungen von 1 mm horizontal und 25 µm vertikal folgen (für λ=1.54Å) zunächst transversale
Kohärenzlängen von etwa 3 µm (h) bzw. 100 µm (v). Verfolgt man den Strahlengang in umgekehrter
Richtung vom Detektor zur Probe und setzt eine laterale Auflösung des Detektors von
0.1 mm bei einem Abstand zur Probe von 1 m an, so ergibt sich bei dieser Konfiguration eine
deutlich kleinere experimentelle Kohärenzlänge von etwa 1 µm.
Maßgeblich für die quellseitig angebotenen Kohärenzlängen sind im Gegensatz zu den Längen aus
(3-49) und (3-50) die Projektionen dieser Größen auf die Probenoberfläche, Abb. 3-3. Man kann
leicht abschätzen, dass bei einem Einfallswinkel von 0.1° die kohärent ausgeleuchtete Länge auf der
Probe um den Faktor 500 steigt. Innerhalb dieser Länge tragen Objekte kohärent, also unter
Berücksichtung der von ihnen gestreuten Phaseninformation zum Streusignal bei. Um die Projektionseigenschaften
der Kohärenzlänge genauer zu untersuchen, hat Salditt [Sal95] die Beugung
an einem strukturierten GaAs Oberflächengitter in Reflexionsgeometrie vermessen, wobei sich die
effektive Periode d eff in einem Intervall {d... ∞ } kontinuierlich verändern ließ. Über das Detektieren
von Beugungsordnungen zeigt man zunächst, dass die projizierte Kohärenzlänge größer bzw. gleich
d eff ist. Diese läßt sich durch azimutale Probendrehung vergrößern, bis schließlich die effektive
Periode die projizierte Kohärenzlänge überschreitet und das Beugungsmuster verschwindet.
Darüber hinaus konnte die α i-Abhängigkeit des kohärent ausgeleuchteten Gebietes auf der Probe

42 3 Beugung von Röntgenstrahlen
direkt bestätigt werden. Bei Erhöhung des Einfallswinkels verkleinert sich die projizierte
Kohärenzlänge, so dass die Beugungsordnungen bei immer kleineren d eff verschwinden.
L T
L L
Kohärenzvolumen
α i
L/
T sin α i
L/cos
L α i
Abb. 3-3: Entscheidend für den Streuprozeß sind die kohärent ausgeleuchteten
Gebiete auf der Probe, mithin die Projektionen L T/sin α i und L L/cos α i. Für sehr
kleine Einfallswinkel kann die Projektion der transversalen Kohärenzlänge sehr
große Werte annehmen.
Für die hochaufgelöste Beugung spielen die Projektionseigenschaften der Kohärenzlänge jedoch
nur eine untergeordnete Rolle. In Kap. 6.3 wird zur Beschreibung der Streuung an SiGe Inselensembles
eine modifizierte in-plane Korrelationsfunktion konstruiert, die die endliche Kohärenzlänge
durch eine phasengerechte Summation der Streubeiträge innerhalb kohärent beleuchteter
Gebiete berücksichtigt. Auf größeren Längenskalen besteht zwischen den Phasen der gestreuten
Wellen keine feste Beziehung, so dass die Summation nur über Intensitäten - ohne Phaseninformation
- erfolgt.

4 Experimentelles
Zur Bestimmung von Form, Größe, innerer Zusammensetzung und damit verbundenem Deformationszustand
in mesoskopischen Strukturen sowie zur Charakterisierung von Insel-Insel-
Korrelation wurde die diffuse Röntgenstreuung in der Nähe qualitativ verschiedener reziproker
Gitterpunkte detektiert und analysiert. Die in den Kap. 6 und 7 gezeigten Intensitätsverteilungen
wurden an den Synchrotronmeßplätzen ID10B und ID11 der European Synchrotron Radiation
Facility (ESRF) in Grenoble sowie BW2 und W1 am Hamburger Synchrotronstrahlungslabor
(HASYLAB) vermessen. Für Details der Instrumentierung sei neben Veröffentlichungen wie
[DSS95] für das BW2 insbesondere auf die aktuellen Homepages des ESRF und des HASYLAB
verwiesen. Abgesehen von der konkreten technischen Umsetzung, die sich für jeden Experimentierplatz
anders ausnimmt und auf die im weiteren nicht eingegangen wird, werden in Kap. 4.1
die unterschiedlichen Streumethoden: hochaufgelöste Weitwinkelbeugung, die Kleinwinkelstreuung
sowie die Beugung unter kleinen Ein- und Austrittswinkeln näher diskutiert. Kap. 4.2 erläutert die
Funktionsweise des verwendeten linear auflösenden Detektors.
4.1 Streugeometrien
Für die folgenden Überlegungen wird von einer einfallenden monochromatischen Planwelle mit
Wellenvektor K 0 ausgegangen. Unter der Voraussetzung elastischer Streuung bleibt die Länge des
gestreuten Wellenvektors K S unverändert, und es gilt K=|K 0|=|K S|=2π/λ, wobei λ die Wellenlänge
der Strahlung ist. Bei elastischer Streuung ist die Geometrie des Streuprozesses durch den
Differenzvektor Q=K S-K 0 bestimmt.
n
A
Q z
Q y
Q x
Q y = 0
K 0
n
Q
α i αf
Abb. 4-1: Modifizierte 3-dimensionale EWALDkonstruktion. Der Radius der großen
Halbkugel (A) beträgt 4π/λ. Sie begrenzt für eine feste Wellenlänge λ den prinzipiell
zugänglichen Bereich im reziproken Raum. Die Gebiete des reziproken Raumes
innerhalb der beiden kleinen Halbkugeln, der sogenannten Laue-Zonen, sind für
den Aufpunkt des Beugungsvektors Q nur dann erreichbar, wenn entweder K S in den
Kristall hinzeigt (α f

44 4 Experimentelles
Im Realraum geben die Wellenvektoren die Ausbreitungsrichtung von Wellen an, ihre Einheit ist
jedoch Länge -1 . Trägt man sie im reziproken Raum auf, so ergibt sich eine sehr praktische graphische
Interpretation des Streuprozesses mit Hilfe der modifizierten EWALDschen Konstruktion,
wie sie in Abb. 4-1A dargestellt ist. Im Rahmen dieser Konstruktion wird der reziproke Raum in
zwei qualitativ verschiedene Bereiche aufgeteilt. In Bragg-Geometrie zeigt K 0 in den Kristall hinein,
K S hinaus, Abb. 4-1B. Für jede mögliche Kombination der beiden Vektoren unter dieser Bedingung
liegt der Aufpunkt des Beugungsvektors Q innerhalb der großen Halbkugel, deren Radius 4π/λ
beträgt, exklusive den Bereichen, die durch die beiden Halbkugeln halben Radius′ begrenzt sind.
Befindet sich der Aufpunkt dagegen in einer der kleinen Halbkugeln, so liegt Transmission vor.
Dafür muß der Austrittswinkel kleiner Null sein. 8
Maßgeblich für die Streugeometrie sind also die Winkel, die die Wellenvektoren K 0 und K S in Bezug
auf ein gewähltes Koordinatensystem einnehmen, siehe Abb. 4-1B. Der Wellenvektor der ein-
fallenden Welle K 0 ist gegeben durch einen polaren Winkel α i und den azimutalen Winkel β, analog
ist K S über α f und γ bestimmt:
2π
K 0 = ( cosα
i cos β , cosα
i sin β , −sinα
i )
(4-1)
λ
( cosα
f cosγ
, cosα
f sinγ
, sinα
f
2π
K S =
(4-2)
λ
Somit läßt sich der Beugungsvektor Q schreiben:
⎛cosα
f cosγ
− cosα
i cos β ⎞
2π
⎜
⎟
Q = ⎜ cosα
f sinγ
− cosα
i sin β ⎟
(4-3)
λ ⎜
⎟
⎝ sinα
f + sinα
i ⎠
Eine Streugeometrie heißt komplanar, wenn die Oberflächennormale n in der von K 0 und K S aufgespannten
Streuebene enthalten ist, Abb. 4-1B. Andernfalls ist die Geometrie nicht-komplanar.
Wählt man das Koordinatensystem so, dass die z-Komponente in Richtung des nach außen gerichteten
Normalenvektors zeigt, und K 0 keine Komponente in y-Richtung besitzt, so ist komplanare
Streuung auf die Q x-Q z-Ebene beschränkt.
Abgesehen von der Unterteilung in komplanar und nicht-komplanar differenziert man je nach Lage
des Aufpunktes von Q noch zwischen verschiedenen experimentellen Streumethoden. In Abb. 4-2
sind die dabei zugänglichen Gebiete des reziproken Raumes anhand einiger ausgewählter Reflexe
für eine [001] orientierte Probe eingezeichnet. Das Gebiet der hochaufgelösten Weitwinkelbeugung
9 umfaßt Gebiete im reziproken Raum (hkl) mit l größer Null, wobei zu berücksichtigen ist,
dass nur Reflexe mit |Q|≤ 4π/λ zugänglich sind. Man unterscheidet abhängig vom Vorhandensein
8 Im Gegensatz zur Optik sind Ein- und Austrittswinkel als Glanzwinkel zwischen Kristalloberfläche und ein- bzw. ausfallendem
Strahl definiert.
9 engl.: High Resolution X-Ray Diffraction ⇒ HRXRD
)

4.1 Streugeometrien 45
einer Komponente Q x symmetrische, bei denen diese verschwindet, und asymmetrische Reflexe. 10
Mit der Kleinwinkelstreuung unter kleinem Ein- und Austrittswinkel 11 tastet man die unmittelbare
Umgebung des reziproken Ursprungs (000) ab. Die Beugung unter streifendem Ein- und Austritt 12
stellt die extremste Form nicht-komplanarer Beugung dar. Der Beugungsvektor besitzt eine große
laterale Komponente bei fast verschwindendem vertikalen Impulsübertrag. Dies umfaßt die Menge
der Gitterpunkte (hkl) mit l=0 und h>0 oder k>0, von denen jene des Typs {220} grün in Abb. 4-2
eingezeichnet sind.
Hochaufgelöste (Weitwinkel-)
röntgenbeugung (HRXRD)
Kleinwinkelstreuung bei kleinem
Ein- und Austrittswinkel (GISAXS)
Beugung bei kleinem Ein- und
Austrittswinkel (GID)
220
220 [001]
004
000
(i)
(ii)
113
220
220
[ 110]
[110]
Abb. 4-2: Im reziproken Raumes definieren die SiGe Inseln auf Si(001), mit ihrer
kristallographischen Orientierung zwei ausgezeichnete Beugungsebenen, die beispielhaft
in der Nähe des 004 Gitterpunktes eingezeichnet sind: (i) aufgespannt durch
[001] und [110] bzw. (ii) durch [001] und [100] .
Die zunächst gemachte Voraussetzung eines divergenzfreien Primär- und gestreuten Strahles, führt
zu der Idealvorstellung, dass der Aufpunkt von Q nur auf einen einzigen durch K 0 und K S wohldefinierten
Punkt im reziproken Raum zeigt. Das ist insofern vereinfacht, als dass aufgrund der
experimentellen Primärstrahldivergenz, der endlichen Detektorakzeptanz und der Wellenlängenverteilung
über ein bestimmtes Gebiet - das Auflösungselement - im reziproken Raum integriert
wird. Dabei hängen Größe und Form dieses Gebietes stark von den experimentellen Gegebenheiten
ab. In Kap. 6.2.1 wird im Zusammenhang mit der Untersuchung von Korrelationseffekten
an selbstorganisierten SiGe Inseln ein sehr anschauliches Beispiel angeführt, inwiefern die Integration
innerhalb des Auflösungselementes zu scheinbar widersprüchlichen Resultaten führen kann.
10 Genau genommen besitzt Q bei der Untersuchung diffuser Streuung in der Nähe symmetrischer Reflexe auch eine (kleine) Lateralkomponente.
Im Vergleich zum vertikalen Impulsübertrag beträgt diese bei den hier untersuchten Reflexen allerdings nur etwa 1%,
siehe beispielsweise die Intensitätsverteilung in der Nähe des 004 Reflexes in Ab b. 6-4.
11 engl.: Grazing Incidence Small Angle X-Ray Scattering ⇒ GISAXS
12 engl.: Grazing Incidence Diffraction ⇒ GID Obwohl es sich bei GID im Grunde um eine spezielle Form hochaufgelöster
Weitwinkelbeugung handelt, hat sich dafür kein Terminus eingebürgert, der diesen Umstand berücksichtigt.

46 4 Experimentelles
4.1.1 Hochaufgelöste Röntgenbeugung
Zuerst wird der Fall hochaufgelöster komplanarer Weitwinkelbeugung diskutiert, bei dem die
Beugung zunächst auf die Q x-Q z-Ebene beschränkt ist. Man spricht von einem symmetrischen
Reflex, wenn die Netzebenennormale [hkl] kolinear zur Oberflächennormale n verläuft, von einem
asymmetrischen Reflex, wenn beide einen Winkel ungleich Null einschließen. Der prinzipielle
Unterschied zwischen symmetrisch und asymmetrisch besteht in dem Umstand, dass Q symm nur
eine sehr kleine Komponente parallel zur Kristalloberfläche besitzt. Beim asymmetrischen Reflex
setzt sich Beugungsvektor dagegen aus einer parallelen und vertikalen Komponente gleicher
Größenordnung zusammen. Bei den in dieser Arbeit untersuchten Proben, deren Substrate ausnahmslos
eine (001) Orientierung aufweisen, sind alle (00l) Reflexe symmetrischer Natur, während
z.B. (113), (224) oder (404) asymmetrisch sind. Im komplanaren Fall folgt für β und γ direkt die
Forderung β=γ=0. Damit vereinfacht sich (4-3) zu:
⎛cosα
f − cosα
i ⎞
⎜
⎟
Q = K⎜
0 ⎟
⎜
⎟
⎝ sinα
f + sinα
i ⎠
Praktisch realisiert man das Abtasten des reziproken Raumes durch Winkelbewegungen eines die
Probe tragenden Goniometers. Durch kombinierte Bewegungen von Probe und Detektor läßt sich
der Aufpunkt des Beugungsvektors Q prinzipiell zu beliebigen Positionen innerhalb des grau unterlegten
Bereiches in Abb. 4-1B bewegen. Als Zwischenresultat erhält man eine winkelabhängige
Intensitätsverteilung, die, um sie im reziproken Raum darstellen zu können, noch transformiert
werden muß in eine Verteilung als Funktion reziproker Koordinaten.
Bei der Mehrzahl der Messungen kam ein positionsempfindlicher Detektor (PSD) zum Einsatz,
dessen Funktionsweise in Kap. 4.2 näher erläutert wird. Trägt man die Lage des Detektorfensters in
Abb. 4-1B ein, ergibt sich Abb. 4-3, die in gewisser Vereinfachung eine Überlagerung von realem
und reziprokem Raum darstellt. Einerseits ist das Detektorfenster als grüner Streifen am Aufpunkt
von K S eingezeichnet. Dies entspricht der Position im Ortsraum. Auf den reziproken Raum
übertragen, bedeutet dies ein simultanes Abtasten der Intensitätsverteilung am Aufpunkt von Q
entlang einer Linie. Da die Länge von K S stets 2π/λ beträgt, unterliegt diese Linie beim Übergang
zum reziproken Bild einer leichten Verkrümmung, wie man in den Messungen in Kap. 6.2.1
erkennt. Dennoch erlaubt diese Sichtweise eine sehr anschauliche Vorstellung, welche Bereiche des
reziproken Raumes bei einer bestimmten Konfiguration durch den Detektor überstrichen werden.
Im folgenden soll noch die Transformation der experimentellen Winkel in Koordinaten des rezi-
proken Raumes angeben werden. ζ als Funktion der Kanalnummer des PSD gibt den korrespondierenden
Winkel zwischen einem beliebigen Kanal # PSD und einem Referenzkanal 13 auf dem PSD
an. Der tatsächliche Streuwinkel am Detektor ergibt sich folglich als Summe aus Detektorwinkel
2Θ und ζ(# PSD). Der Winkelbezeichnung vieler Diffraktometer für den Winkel zwischen Ober-
13 Je nach Anwendung befindet sich der Referenzkanal etwa mittig oder nahe am Rand des PSD (so bei der Vermessung diffuser
Intensität in der Nähe asymmetrischer Reflexe exklusive Substrat).
(4-4)

4.1 Streugeometrien 47
fläche und einfallendem Strahl folgend, wird α i im weiteren mit ω bezeichnet. Der Winkel zwischen
Kristalloberfläche und gebeugtem Strahl ist dann 2Θ-ω+ζ(# PSD).
K 0
ω=α i
ω-2Θ-scan Q(#)
ω-scan
PSD
K s(#)
2Θ ζ(#)
2Θ−ω=αf
Q z||n
Abb. 4-3: komplanare Meßgeometrie mit positionsempfindlichem Detektor. Entlang
des grünen Streifens (PSD) wird die Intensität ortsaufgelöst gemessen. Die Position
auf dem PSD läßt sich im reziproken Raum am Aufpunkt von Q abtragen. Damit
ergibt sich eine anschauliche Interpretation des erfaßten Bereiches im reziproken
Raum. Durch systematische Veränderung der Winkel ω und 2Θ läßt sich eine 2dimensionale
Intensitätsverteilung messen. Ändert man beispielsweise ω und 2Θ im
Verhältnis 1:2 (ω-2Θ-Scan) bleibt die Richtung des Beugungsvektors erhalten nur
sein Betrag ändert sich. Das führt zur einer Verschiebung des Aufpunktes von Q
entlang seiner Richtung. Eine reine ω-Bewegung bedeutet Längeninvarianz für Q.
Der Aufpunkt beschreibt in diesem Fall einen Kreisbogen um den Ursprung.
Mit diesen Vereinbarungen schreibt sich (4-4):
⎛cos
⎜
Q = K⎜
⎜
⎝ sin
( 2Θ
− ω + ζ ( # ) )
0
− cosω
⎞
( ( ) ) ⎟ ⎟⎟
2Θ
−ω
+ ζ # + sinω
⎠
Die Auflösung entlang einer Richtung hängt von den Unsicherheiten ∆α i, ∆β, ∆α f und ∆γ sowie
der Wellenlängenunschärfe ∆E/E 14 ab:
∂Qi
∂Qi
∂Qi
∂Qi
∂Qi
∆Qi = ∆α
i + ∆α
f + ∆β
+ ∆γ
+ ∆K
∂α
∂α
∂β
∂γ
∂K
i
f
i = ( x,
y,
z
Für komplanare Geometrien gilt β=γ=0, während die Divergenzen in der Q x-Q y-Ebene ∆β und ∆γ
ungleich Null sind. Damit ergibt sich bei Vernachlässigung von Wellenlängendispersion zunächst
allgemein für HRXRD:
14 Übliche Energieauflösungen ∆E/E an Synchrotronquellen betragen abhängig vom verwendeten Kristall-Monochromator einige
10 -5, so dass ∆K≈4×10 -5 Å -1 bei E=8000 eV gilt. Der letzte Summand in (4-6) führt damit nur zu einem kleinen der Größe wegen
vernachlässigbaren Beitrag in z-Richtung.
)
(4-5)
(4-6)
Q X

48 4 Experimentelles
⎛ sinα
f ∆α
f + sinα
i∆α
i ⎞
⎜
⎟
∆Q
HRXRD = K⎜
cosα
f ∆γ
+ cosα
i∆β
⎟
(4-7)
⎜
⎟
⎝cosα
i∆α
i + cosα
f ∆α
f ⎠
Beispielhaft soll im folgenden ∆Q für den symmetrischen 004 Reflex berechnet werden. Die für
diese Abschätzung der Auflösung zugrundegelegten Werte verstehen sich als typische Werte. Alle
hier vorgestellten Messungen wurden mit einem eindimensional ortsauflösenden Detektor
ausgeführt, der einen Abstand zur Probe von etwa 750 mm hatte. 15 Für die Beugungsexperimente
wurde der PSD senkrecht 16 , wie in Abb. 4-3 illustriert, zur Oberfläche positioniert. Nimmt man
eine laterale Auflösung entlang des Detektors von 100 µm an, so ergibt sich ein ∆α f von 1.3×10 -4
rad. Für die Messungen aus Abb. 6-4 bis Abb. 6-9 wurde zur Einschränkung des Integrationsgebietes
senkrecht zur Beugungsebene eine 1 mm Schlitzblende vor dem PSD angebracht. Daraus
folgt ∆γ≈1.3×10 -3 rad. Da am Synchrotron die kleinere Divergenz vertikal zur Synchrotronebene 17
vorliegt, wählt man vorzugsweise diese auch als Beugungsebene. Die angebotene Primärdivergenz
senkrecht dazu wird durch Blenden und die Entfernung zur Quelle bestimmt, so daß ∆β etwa eine
Größenordnung schlechter als ∆α i ist. Unter diesen Annahmen ergibt sich:
⎛2.
9×
10
⎜
= 4.
3×
10
⎜
⎝4.
3×
10
−4
⎞
⎟
Å
⎟
⎠
∆Q 004 ⎜
−3
⎟
−4
−1
(4-8)
Die Auflösung senkrecht zur Beugungsebene ist wegen des Einsatzes einer Blende (anstelle eines
Kollimatorkristalls) um eine Größenordnung schlechter als die beiden vergleichbaren Werte in x-
und z-Richtung innerhalb der Beugungsebene.
4.1.2 Röntgen-Kleinwinkelstreuung unter streifendem Ein- und Austritt
GISAXS ist eine Technik, mit der die Streuung unter kleinen Ein- und Austrittswinkel in Vorwärtsrichtung
untersucht wird. Dabei werden Bereiche des reziproken Raumes in der Nähe des
Ursprunges abgetastet. Eng damit verwandt ist die Reflektometrie 18 , die sich definitionsgemäß auf
den komplanaren Teil beschränkt. Da unter diesen Bedingungen die Länge des Streuvektors sehr
klein bleibt, ist GISAXS eine nahezu deformationsunempfindliche Methode. In gewisser Hinsicht
erweist sich gerade dieses Nichtwahrnehmen als ein großer Vorteil von GISAXS, mit der sich
unabhängig vom Deformationszustand das Dichteprofil untersuchen läßt.
15 Die für die Abschätzung der Auflösung zugrundegelegten Werte verstehen sich als typische Werte, deren Betrag für einen anderen
Experimentieraufbau durchaus um den Faktor 2 von den hier verwendeten abweichen kann.
16 Zur besseren Unterscheidung von der parallelen Anordnung des PSD bei GISAXS wird hier die Orientierung als senkrecht zur
Oberfläche bezeichnet, wenngleich der Detektor natürlich um den Winkel 2Θ-ω gegen die Oberflächennormale geneigt ist.
17 Die vertikale Divergenz ist proportional 1/γ, mit γ = E/E0. Am ESRF beträgt E = 6GeV, die Ruheenergie des Elektrons
E0 = 0.511 MeV. Daraus folgt 1/γ ≈ 8.5×10-5. Durch den Einsatz von Undulatoren verringert sich die Strahldivergenz nochmal um
den Faktor 1 / n , mit n der Anzahl der Perioden. Deshalb erreicht man beispielsweise am Strahlrohr ID10B der ESRF eine
vertikale Divergenz von 17 µrad.
18 engl.: X-Ray Reflectivity ⇒ XRR

4.1 Streugeometrien 49
K=
0
s
K0 p
K0 α i
P
Q =
(Q ,Q ,0)
x y
S
Q=
(Q ,0,Q )
x z
p
Ks s
K = ( K,0,K)
s
sx sz
Abb. 4-4: GISAXS Geometrie (A) projiziert auf die Q x-Q y-Ebene und (B) im
Schnitt der Q x-Q y-Ebene. Während die laterale Komponente des Impulsübertrages als
Funktion von Q z in (B) durch die Lauekugeln begrenzt ist, gibt es in (A) eine solche
Begrenzung für Q y nicht. Da die diffuse Intensität im allgemeinen rasch mit Q z
abfällt, liegt in diesem Vorgehen die einzige Möglichkeit, große laterale Impulsüberträge,
respektive kleine Längen im Ortsraum, bei gleichzeitig kleinem Q z abzutasten.
Trotz vieler Gemeinsamkeiten zwischen GISAXS und XRR gibt es insbesondere in Hinblick auf
die in-plane erreichbaren lateralen Impulsüberträge bemerkenswerte Unterschiede. In Abb. 4-4 sind
zwei aufeinander senkrecht stehende Schnitte durch den reziproken Raum in GISAXS Geometrie
gezeigt. Der Wellenvektor der einfallenden Welle K 0 trifft unter einem sehr kleinen Winkel α i, der
kleiner oder in der Größenordnung des kritischen Winkels α krit. ist, die Oberfläche. Da die gestreute
Intensität stark mit steigendem Q z abfällt, ist man in der komplanaren Ebene in Teilbild B auf einen
kleinen lateralen Impulsübertrag δQ x beschränkt. Dieses Beschränkung läßt sich umgehen, indem
man diese Ebene verläßt und Bereiche außerhalb untersucht, wo es selbst für den Extremfall Q z=0
keine vergleichbare Begrenzung für Q y gibt.
Für das Vermessung einer Intensitätsverteilung in-plane, also parallel zur Kristalloberfläche,
empfiehlt es sich, den PSD horizontal (parallel zur Kristalloberfläche) zu stellen. Durch Rotation
der Probe um ihre Oberflächennormale, läßt sich dann eine 2-dimensionale Intensitätsverteilung
aufnehmen. Um dabei den sehr intensiven spekular reflektierten Strahl (und damit das Über-
γ
A
B
Q y
Q z
Q x
Q x

50 4 Experimentelles
sprechen der einzelnen PSD Kanäle) zu minimieren, bieten sich prinzipiell zwei miteinander kombinierbare
Möglichkeiten an. Zum einen kann mittels eines Absorberdrahtes vor dem PSD die sehr
intensive spekulare Streuung unterdrückt werden. Darüber hinaus läßt sich die Intensität nochmals
deutlich verringern, indem die spekulare Bedingung leicht verletzt wird, also α i≠α f gilt. Die damit
verbundene außermittige Rotation des PSD um die Oberflächennormale ist bei den praktizierten
Abweichungen einiger 0.1° jedoch vernachlässigbar. Mit horizontal positioniertem PSD kann man
darüber hinaus auch out-of-plane Intensitätsverteilungen vermessen, wobei verschiedene Q z-Werte
bei konstantem lateralen Impulsübertrag durch gleichzeitiges Verändern von α i und α f im
Verhältnis 1:1 realisiert werden.
In GISAXS sind die Einfalls- und Ausfalls- sowie der azimutale Winkel γ hinreichend klein, um für
die Abschätzung der Auflösung in guter Näherung, den Sinus dieser Größen durch das Argument
zu ersetzen. Darüber hinaus möge die Quelle perfekt monochromatisch sein. Dann ergibt sich für
∆Q nach (4-6):
∆Q
GISAXS
⎛α
f ∆α
f + γ ∆γ
+ α i ∆α
i + β ∆β
⎞
⎜
⎟
≈ K⎜
α f γ ∆α
f + ∆γ
+ ∆β
⎟
⎜
⎟
⎝ ∆α
i + ∆α
f ⎠
Bei einem typischen Abstand PSD-Probe von 750 mm und einer lateralen Auflösung des Detektors
von 100 µm bedeutet das für ∆γ ≈ 1.3×10 -4 rad, wobei der maximale Winkel γ max ≈ 0.033 rad beträgt.
Das Gebiet, über welches man in vertikaler Richtung integriert, hängt von der Öffnung des
Detektors ab. Setzt man zentrisch wieder eine 1 mm Schlitzblende ein, folgt für ∆α f ≈ 1.3 mrad.
Ein- und Austrittswinkel bei GISAXS sind in der Größenordnung des kritischen Winkels der
Totalreflexion α krit, somit gilt α i ≈ α f ≈ 3 mrad. Mit β=0 und ∆β«∆γ 19 folgt aus diesen Annahmen,
dass die Auflösung in y-Richtung maßgeblich durch ∆γ, entlang z durch ∆α f (der Term ∆α i ist
durch die kleine Quelldivergenz am Synchrotron um mindestens eine Größenordnung kleiner)
bestimmt wird. Bei einer Energie von 8000 eV ergibt sich dann:
∆Q
000
⎛ 3.
3×
10
⎜
≈ ⎜5.
2×
10
⎜
⎝5.
2×
10
−5
−4
−3
⎞
⎟
⎟ Å
⎟
⎠
−1
(4-9)
(4-10)
Die beste Auflösung liegt in x-Richtung vor. Für eine Messung, bei der die Probe azimutal gedreht
wird, um die in-plane Intensitätsverteilung zu bestimmen, ist ∆Q y die entscheidende Größe. Diese
max
und das durch γmax vorgegebene ∆Qy definieren ein Längenfenster im Ortsraum zwischen etwa
5 nm und 1.2 µm. Dies prädestiniert GISAXS für die Untersuchung von Ordnungsphänomenen in
SiGe Inselensembles. Anstelle einer Schlitzblende läßt sich auch ein Kollimatorkristall vor dem
PSD verwenden. In diesem Fall verkleinert sich ∆α f, abhängig von der konkreten Reflexion, auf
19 Am ID10B der ESRF beträgt die Quelldivergenz 28×17µrad (H×V) und ist somit etwa eine Größenordung kleiner als das durch
den Detektor vorgegebene ∆γ.

4.1 Streugeometrien 51
etwa 0.05 mrad, so dass in diesem Fall auch die von der Quelle angebotene Divergenz ∆α i
berücksichtigt werden muß. Eine möglichst kleine Vertikaldivergenz und erreichbare Intensität sind
bei der Messung zwei miteinander konkurrierende Größen. Inwieweit man eine Größe auf Kosten
der anderen ändert, hängt von der konkreten Aufgabenstellung ab. Im Endeffekt bedeutet der
Einsatz eines Kollimatorkristalls anstelle einer Blende eine Verbesserung der Auflösung in Q z um
mindestens eine Größenordnung.
4.1.3 Beugung unter streifendem Ein- und Ausfall
GID ist die extremste Ausprägung nicht-komplanarer Beugung. Als Folge sehr kleiner Ein- und
Austrittswinkel nimmt die Oberflächennormale n einen Winkel von etwa 90° gegen die Beugungsebene
ein. Als Folge sehr kleiner Vertikalkomponenten von K 0 und K S besitzt der Beugungsvektor
ebenfalls nur eine minimale vertikale Komponente, so dass GID nahezu unempfindlich auf
vertikale Gitterdeformationen reagiert. Ein großer Vorteil, wie auch für GISAXS, besteht in der
hohen Oberflächensensitivität. Diese resultiert aus dem raschen Abklingen des einfallenden Wellenfeldes
mit zunehmender Tiefe im Regime der Totalreflexion.
p
K0 β
P
Q =
radial
angular
(Q x,Q y,0)
γ
p
Ks Abb. 4-5: GID Geometrie in einem in-plane Schnitt. Der einfallende Strahl trifft die
Kristalloberfläche unter einem kleinen Winkel α i und wird an den senkrecht
stehenden Netzebenen gebeugt. Der resultierende Beugungsvektor Q unterscheidet sich
dabei nur wenig von seiner in-plane Komponente Q P . Durch gleichsinniges Verändern
der Winkel β und γ läßt sich eine Intensitätsverteilung in radialer Richtung erfassen,
ändert man β allein, beschreibt der Aufpunkt des Beugungsvektors einen Kreisbogen
um den Ursprung (angularer Scan). Durch das Kombinieren beider Meßmodi läßt
sich die Intensitätsverteilung 2-dimensional erfassen. Bei der Verwendung eines eindimensional
auflösenden Detektor lassen sich so auch 3-dimensionale Intensitätsverteilungen
erfassen.
In Abb. 4-5 sind die geometrischen Verhältnisse bei GID auf die Kristalloberfläche projiziert dargestellt.
Zum einen läßt sich der reziproke Raum in radialer Richtung durch gleichsinniges Ver-
Q y
Q x

52 4 Experimentelles
ändern von β und γ im Verhältnis 1:2 abtasten. In gewisser Weise komplementär dazu ordnet sich
der angulare Scan ein, wobei nur die Richtung des Beugungsvektors, nicht jedoch dessen Länge
geändert wird. Der Aufpunkt von Q beschreibt bei Veränderung von β dann einen Kreisbogen um
den reziproken Ursprung.
Bei der Berechnung des Auflösungselementes werden die gleichen Annahmen in Bezug auf
Detektordistanz, inhärente Auflösung des Detektors und Quelldivergenzen, wie schon zuvor für
HRXRD und GISAXS gemacht. Aus (4-6) folgt in GID Geometrie:
⎛ sin β ∆β
+ sinγ
∆γ
⎞
⎜
⎟
∆Q
GID = K⎜
cos β ∆β
+ cosγ
∆γ
⎟
(4-11)
⎜
⎟
⎝ ∆α
i + ∆α
f ⎠
Da in allen GID Messungen ein Si(111)-Analysatorkristall die gestreute Strahlung senkrecht zum
PSD analysierte, verringert sich die Akzeptanz ∆γ auf etwa 0.04 mrad. Für die z-Komponente ist
neben ∆α f , das durch die Auflösung des PSD mit etwa 1.3×10 -4 rad gegeben ist, ∆α i entscheidend.
Da die Steigerung von Auflösung durch Verkleinern von eintritts- und austrittsseitig angebrachten
Blenden erreicht wird, stellt die erreichte Größenordnung immer einen Kompromiß zu Lasten der
Intensität dar. Mit ∆α i ≈ 36 µrad ergibt sich ein Auflösungselement in der Nähe des 220 Gitterpunktes:
∆Q
220
⎛8.
8×
10
⎜
= ⎜ 2.
1×
10
⎜
⎝6.
6×
10
−5
−4
−4
⎞
⎟
⎟Å
⎟
⎠
−1
(4-12)
Im gewählten Bezugssystem entspricht die x- der angularen- und die y- der radialen Richtung. Diese
Auflösung ermöglicht das Detektieren von Korrelationspeaks, die einen Abstand von 1.4×10 -3 Å -1 in
beiden Richtungen vom Substratreflex haben, siehe beispielsweise Abb. 6-33A. Mit einem Aufbau
ohne Analysatorkristall wäre dies nicht möglich.
4.2 Positionsempfindlicher Detektor
Der verwendete positionsempfindliche Detektor (PSD) (Fa. BRAUN) besteht in seinem Inneren
aus einem etwa 50 mm langen Pt-beschichteten Zähldraht. Dieser liegt auf einem Potential von
etwa 3000 V in Bezug auf die Wandung und wird während des Betriebes ständig mit einem Argon-
Methan Gemisch gespült. Durch ein etwa 50 mm langes und 10 mm breites Be-Fenster gelangen
die Röntgenquanten ins Innere und ionisieren die Ar-Atome, für Cu-Kα Strahlung mit einer
Wahrscheinlichkeit von etwa 50 %. Mittels eines TACs (time to amplitude converter) kann aus der
Laufzeitdifferenz der Elektronen auf die Position des Röntgenquants geschlossen werden. Bei einer
aktiven Länge des Drahtes von etwa 45 mm und 2048 Kanälen ergibt sich eine nominelle
Auflösung von etwa 20 µm, der praktisch erreichbare Wert liegt etwa um den Faktor 4 bis 5 höher.
Der Hauptvorteil des PSD liegt klar auf der Hand: im Gegensatz zu einem 0-dimensional
auflösenden Detektor, erfaßt der PSD die Intensitätsverteilung 1-dimensional ortsaufgelöst mit

4.2 Positionsempfindlicher Detektor 53
einem Mal, wodurch das Vermessen 2- und 3-dimensionaler Intensitätsverteilungen im reziproken
Raum in angemessenen Zeiten möglich wird. Ein großer Nachteil dieses Detektortyps besteht in
seinem vergleichsweise geringen Dynamikbereich von etwa 10 4 . Integrale Intensitäten von 10 4
Ereignisse/s führen bereits zu einem deutlichen Übersprechen der einzelnen Kanäle. Darunter
versteht man die Vortäuschung einer erhöhten Zählrate über einen weiten Kanalbereich für den
Fall, dass eine vergleichsweise hohe Intensität auf einige wenige Kanäle beschränkt ist. Dieser
Effekt verstärkt sich mit Zunahme der Intensität und führt zu einer schlechteren Auflösung entlang
des PSD Drahtes. In Abb. 4-6 ist am Beispiel drei verschieden intensiver Primärintensitäten eine
deutliche Verbreiterung der Flanken mit zunehmender Intensität zu erkennen. 1000 cps stellen die
obere Grenze für die auf einen Kanal auftretende Intensität dar. Der Effekt des Übersprechens läßt
sich nur minimieren, indem die auftreffende Intensität verringert wird, was dann auf Kosten sehr
intensitätsschwacher Details geht. Um den Dynamikbereich einer Messung dennoch zu erhöhen,
werden entweder Absorber verschiedener Stärke eingesetzt, oder, wenn die Bereiche hoher
Intensität für die Messung unerheblich sind, blendet man durch einen entsprechend vor dem PSD
positionierten Bleidraht hoher Absorption diese Bereiche aus.
A
Abb. 4-6: Auf 1 normierte ortsaufgelöste Intensität gemessen mit einem PSD der Fa.
BRAUN für verschiedene integrierte Primärintensitäten. Für hohe Intensitäten (B
und C) zeigt das Spektrum starke Ausläufer zu beiden Seiten des Maximums, in
denen intensitätsschwache Details nicht mehr zu registrieren wären.
C
B

5 Numerische Streurechnungen für monodisperse
mesoskopische Systeme
Im Kap. 3 wurden verschiedene Herangehensweisen zur Lösung der Wellengleichung vorgestellt.
Unter ihnen zeichnet sich der kinematische Ansatz durch eine numerisch vergleichsweise leicht
umzusetzende Einfachheit aus. Zur Berechnung der Streuintensitäten müssen dafür, neben der
chemischen Zusammensetzung, die Positionen r der Streuer selbst bekannt sein, für elastisch
relaxierte Strukturen also der Deformationstensor ε ij(r). Kap. 5.1 gibt einen kurzen, an den praktischen
Bedürfnissen orientierten Einblick in die Methode der Finiten Elemente (FEM), mit der im
Rahmen dieser Arbeit ε ij(r) numerisch berechnet wurde. Da FEM mit variierenden Zellgrößen
arbeitet, die zudem noch größer als der atomare Gitterabstand sind, kann das so gewonnene Feld
nicht direkt für die Streurechnung verwendet werden. Die notwendige Netzverfeinerung und
-regularisierung wird in Kap. 5.2 besprochen. Schließlich wird die allgemein gehaltene Formulierung
der kinematischen Streuung aus Kap. 3.2.1, in der die Verschiebungen noch implizit in den
Positionen r der Streuer berücksichtigt werden, für das konkret vorliegende Problem der Streuung
an mesoskopischen Inseln in Kap. 5.3 angepaßt. Dabei zeigt sich, dass die diffus gestreute
Intensität in Beugung durch Deformationsfeld und Formfunktion, in einem Kleinwinkelstreuexperiment
nur durch die Formfunktion bestimmt ist. In diesem Zusammenhang werden Effekte
durch Positionskorrelation der Inseln in Konsequenz einer erweiterten Formfunktion für ein
Inselensemble diskutiert.
5.1 Die Methode der Finiten Elemente
Analytische Ansätze zur Bestimmung des Deformationsfeldes in verspannten Strukturen existieren
z.B. für planare Schichten [BlM67], in vergrabenen [FDO97] und freistehenden [ShK97]
Quantendrähten, für Hut Cluster [SSE96] und rotationssymmetrische Inselstrukturen
[KaP01]. Im allgemeinen bleibt jedoch ein analytisches Vorgehen Problemen vorbehalten, die
sich hinreichend vereinfacht darstellen lassen. Darüber hinaus gibt es Versuche, unter der Annahme
isotroper elastischer Konstanten das Deformationsfeld in vergrabenen pyramidalen Quantenpunkten
[PeF00] und in SiGe/Ge Übergittern [HDS98] analytisch zu berechnen. Es gibt bis
jetzt jedoch keine analytischen Lösungsansätze für das Deformationsfeld komplexerer Gebilde wie
sie z.B. facettierte SiGe Inseln darstellen, die die elastische Anisotropie berücksichtigen. Dagegen
wurden abhängig vom Umfang verschiedene numerische Wege zu dessen Bestimmung beschritten:
(a) Sehr kleine Systeme mit wenigen 10 bis 100 Atomen können ab-initio quantenmechanisch
berechnet werden. Beispielsweise wurden solche Rechnungen für Quantendrähte und
Cluster mit bis zu 100 Atomen durchgeführt [BKP92], [SBF96]. Trotz rasanter
Fortschritte bei der Entwicklung immer leistungsfähigerer Computer bleibt diese Methode
auf kleine Systeme beschränkt, wenngleich sie ein nahezu vollständige Beschreibung in
Hinblick auf die elektronischen und mechanischen Eigenschaften liefert. Sie ist jedoch
nicht applikabel für die in dieser Arbeit untersuchten Strukturen mit lateralen
Ausdehnungen in der Größenordnung von 100 nm.

56 5 Numerische Streurechnungen für monodisperse mesoskopische Systeme
(b) Anstelle explizit die quantenmechanische Schrödinger-Gleichung zu lösen, macht man bei
der Valence Force Field Methode (VFF) [PKW98] spezielle Annahmen zu den
Potentialen eines Vielteilchensystems und bestimmt die Deformation durch Minimierung
der Energie in Bezug auf die Atompositionen R=R i-R j:
∑
( i − R j ) + ∑
E = V R V Θ + ...
(5-1)
ij
2
ijk
3
ijk
V 2 ist ein abstandsabhängiger Zwei-, V 3 ein Drei-Körperterm, der vom Bindungswinkel Θ ijk
abhängt. Dabei ist man für V j nicht auf harmonischen Potentiale festgelegt. Einzig und
allein die elastischen Konstanten und die konkrete Kristallstruktur gehen explizit in die
Rechnungen ein. VFF wurde z.B. erfolgreich zur Bestimmung des Spannungstensors von
InAs Quantenpunkten in einer GaAs Matrix benutzt [JiS97].
(c) Die Methode der Finiten Elemente (FEM) fußt auf der grundlegenden Annahme der
linearen Elastizitätstheorie: dem Vorhandensein harmonischer Potentiale zwischen den
Atomen. Berücksichtigt werden neben den elastischen Konstanten die Gitterparameter der
beteiligten Materialien. Mit FEM können verschiedenste physikalische Probleme gelöst
werden, die sich durch lineare partielle Differentialgleichungen beschreiben lassen. In
Bezug auf mesoskopische Strukturen wurde FEM in der Vergangenheit u.a. zur Spannungsanalyse
in den Systemen SiGe/Si [CAS94], [SHK02] und InAs/GaAs [BFA96],
[GSB95] verwendet.
Im Limit kleiner Deformationen führen die Methoden (b) und (c) zu gleichen Resultaten, da mit
abnehmender Deformation die harmonische Näherung für die Potentiale immer besser wird.
Insbesondere an den Grenzflächen, dort wo die Gradienten also am größten sind, liefert Methode
(b) von der linearen Elastizitätstheorie abweichende Ergebnisse. Am Beispiel einer vergrabenen
InAs Insel mit Zinkblendestruktur wurde dies von Pryor et.al. [PKW98] anschaulich vorgeführt.
In der umgebenden GaAs Matrix beträgt der relative Unterschied zwischen den mit beiden
Methoden ermittelten Deformationen dagegen nur 0.5%. Ein großer und für die vorliegende Arbeit
essentieller Vorteil von FEM besteht in der Möglichkeit, vergleichsweise einfach verschiedene
Inselmorphologien und –zusammensetzungen mit Hilfe des in dem benutzten Programmpaket
enthaltenen graphischen Interfaces MSC.MarcMentat2001 zu modellieren und auf ihr typisches
Streumuster zu testen.
Im folgenden soll etwas näher auf die Methode der Finiten Elemente selbst und anschließend auf
deren praktische Umsetzung zur Deformationsbestimmung in verspannten Inselstrukturen eingegangen
werden. Weitergehende Informationen, auch zu anderen mit FEM behandelbaren Problemstellungen,
findet man beispielsweise in [Bat95].
Zur Berechnung eines technischen Systems bildet man die reale Struktur zunächst auf ein
idealisiertes System ab, welches sich durch ein Set von Gleichgewichts- und Randbedingungen
beschreiben läßt. Man unterscheidet dabei zwei Problemklassen: (1) diskrete Systeme mit einer
endlichen Anzahl von Zustandsparametern, die sich durch einen Satz algebraischer Gleichungen
formulieren lassen und (2) kontinuierliche Systeme, bei denen Differentialgleichungen an deren

5.1 Die Methode der Finiten Elemente 57
Stelle für die unbekannten Zustandsgrößen treten, die sich unter Berücksichtigung der Randbedingungen
nur für sehr einfache Systeme exakt lösen lassen, während komplexere Strukturen
numerisch zu behandeln sind. Dafür wird das kontinuierliche System reduziert auf eine diskrete
Idealisierung. Im Vergleich mit anderen numerischen Verfahren zeichnet sich FEM im
wesentlichen durch zwei Punkte aus:
(1) Es wird eine integrale Formulierung des Problems verwendet, um ein System algebraischer
Gleichungen aufzustellen.
(2) FEM benutzt stetige, stückweise glatte Funktionen für die unbekannten Funktionen.
Es existieren verschiedene Methoden zur numerischen Lösung von Randwertproblemen, von
denen die Variationsmethode bei dem verwendeten FEM Programm benutzt wird. Das gesuchte
Deformationsfeld stellt sich als Folge einer Energieminimierung unter Berücksichtigung der vor-
gegebenen Randbedingungen ein. Die potentielle Energie Π(u(r)) ist gegeben durch [ChP92]:
1
⎧
⎫
( ∫ ij ij dV − ⎨ f ⋅u
dV + T ⋅u
dS⎬
(5-2)
2 V
⎩V
S ⎭
( u r)
) = σ () r ε () r
Π ∫ ∫
wobei σ ij(r) und ε ij(r) die Komponenten des Spannungs- und Deformationstensors sind. Der erste
Summand beschreibt die inhärente Spannungsenergie, während im zweiten Integral von außen
wirkende Volumen- (f) und Oberflächenkräfte (T) berücksichtigt sind. Für ein vorgegebenes
Deformationsfeld u(r), welches Π(u(r)) minimiert, fordert die Verschiebungsmethode, dass die von
einer zusätzlichen virtuellen Deformation δu(r) verrichtete Arbeit verschwindet:
⎧
⎫
δ Π = ∫σ
ij () r δε
ij ( δu)
dV − ⎨∫f⋅δudV
+ ∫T⋅δudS⎬
= 0
(5-3)
V
⎩V
S ⎭
wobei δ für irgendeine beliebige Variation der Zustandsparameter steht, die die gewählten Randbedingungen
erfüllt. Bei Vernachlässigung von Volumen- und Oberflächenkräften und unter Verwendung
des HOOKEschen Gesetzes (2-6), führt das auf das Minimierungsproblem:
∫
cijklε kl δε
ij
V
( δu)
dV = 0
Die Vorgehensweise mit FEM läßt sich in fünf Schritte unterteilen:
(1) Definition der äußeren Geometrie und Unterteilung in Subelemente, welche durch Knoten
miteinander verbunden sind. Bei allen in dieser Arbeit verwendeten FEM Modellen handelt
es sich um kuboide Elemente mit 8 begrenzenden Knoten. 20 Hier endet der von
20 Dieses umfaßt neben der Modellierung im Programmpunkt MAIN ⇒ MESH GENERATION und der Definition der Randbedingungen
in MAIN ⇒ BOUNDARY CONDITIONS (Definition der geometrischen Randbedingungen und der imaginären
(5-4)

58 5 Numerische Streurechnungen für monodisperse mesoskopische Systeme
MSC.MarcMentat2001 unterstützte Teil mit der Generierung eines Eingangsdatensatzes,
auf den im weiteren der eigentliche FEM Prozessor MSC.Marc2001 zugreift.
(2) Anschließend werden die totalen Verschiebungen u(r) in den Knoten bestimmt.
(3) Für jeden Knoten wird eine das Kräftegleichgewicht beschreibende Gleichung aufgestellt.
(4) Lösung des in (3) aufgestellten Systems von Gleichungen unter Minimierung der Energie.
Für mechanische Probleme hat sich ein iterativer Algorithmus bewährt, der die Größen
benachbarter Knoten vergleicht und unterhalb einer wählbaren Schwelle abbricht. 21
(5) Bestimmung der verschiedenen Komponenten des Spannungs- und Deformationstensors
und abgeleitete Größen aus den an den Knoten vorliegenden Deformationen. 22
Benetzungsschicht
Substrat
Abb. 5-1: Dreidimensionales FEM Modell einer SiGe Insel mit einer Basislänge
B 110 und Höhe h auf einer Benetzungsschicht, die sich auf einem Substratmaterial
(Si) befindet. Die Inselform entspricht einer 001 orientierten abgeschnittenen
Pyramide mit {111}Seiten- und einer (001) Deckfacette mit einem Aspektverhältnis
B 110/h von etwa 2.
Das Ergebnis von Punkt (1) ist in Abb. 5-1 am Beispiel einer SiGe Insel auf einem Si Substrat dargestellt.
Die Verbindungen zwischen den Elementen sind als weiße Kanten, deren Schnittpunkte als
Knoten zu sehen. Im Anschluß müssen die Randbedingungen für die außen liegenden Knoten des
Substrates definiert werden: die unterste Knotenlage wird hinsichtlich möglicher Translationen in
allen drei Raumrichtungen fixiert (u(x,y,z) = 0), Knotenverschiebungen in den äußeren x-z- und yz-Ebenen
dürfen nur innerhalb dieser Ebenen möglich sein (u x(x,y,z) = 0 bzw. u y(x,y,z) = 0). Das
konkrete FEM Modell wirkt infolge der periodischen Randbedingungen als eine sich in zwei
Dimensionen wiederholende Grundstruktur.
Endtemperatur T2=1, siehe (5-8)) und MAIN ⇒ INITIAL CONDITIONS (Definition der imaginären Anfangstemperatur T1=0
für alle Knoten) auch die Zuweisung der materialspezifischen Eigenschaften in MAIN ⇒ MATERIAL PROPERTIES.
21 Als Standardwert für die untere Schwelle wurde im Menüpunkt MAIN ⇒ JOBS ⇒ MECHANICAL ⇒ JOB PARAMETERS ⇒
SOLVER ITERATIVE SPARSE mit den Parametern MAX # ITERATIONS = 5000 und TOLERANCE = 10 -9 verwendet.
22 Man findet die totalen Verschiebungen im Ausgabefile in binärer oder ASCII Form vor, wenn man in MAIN ⇒ JOBS ⇒
MECHANICAL ⇒ JOB RESULTS den Schalter für POST FILE auf (ASCII+Binary) setzt. Die Simulationen wurden auf einem
1 GHz Windows 2000 Rechner ausgeführt, der das notwendige Lizenzfile von einem Server bezieht. Typische Rechenzeiten
betragen bei bis zu 100000 Knoten einige 10 Minuten. In dieser Konfiguration lassen sich nur Jobs ausführen, die im Verzeichnis
\MSC\MENTAT2001\BIN abgelegt sind!
h

5.1 Die Methode der Finiten Elemente 59
Die Materialkonstanten werden durch die elastischen Konstanten c ij berücksichtigt, wobei man dem
VEGARDschen Gesetz folgend einen linearen Zusammenhang zwischen den Randkomponenten
eines 2-komponentigen Systems annimmt:
SiGe Ge Ge Si Ge
c = c x + c ( 1−
x )
(5-5)
ij
ij
ij
Zu beachten ist, dass die physikalische Nomenklatur, wie sie in Kap. 2.1 verwendet wird, von der
des benutzten Programms abweicht. In MSC.MarcMentat2001 gilt im Gegensatz zu (2-8) folgende
technische Konvention:
⎡σ
11 ⎤
⎢ ⎥
⎢
σ 22 ⎥
⎢σ
⎥ 33
⎢ ⎥=
⎢σ
12 ⎥
⎢σ
⎥
23
⎢ ⎥
⎢⎣
σ 31 ⎥⎦
FEM
cij
⎡ε11
⎤
⎢ ⎥
⎢
ε 22 ⎥
⎢ε
⎥ 33
⎢ ⎥
⎢γ
12 ⎥
⎢γ
⎥
23
⎢ ⎥
⎢⎣
γ 31 ⎥⎦
in der die Nichtdiagonalelemente σ 12, σ 23 und σ 31 zyklisch vertauscht sind. Diese Änderung führt
dazu, dass die in Kap. 2.1 abgeleiteten transformierten Werte c ij′ nicht direkt denen der Matrix
FEM { }
c des FEM Programms entsprechen. Für den konkreten Fall eines um die [001] Achse um
ij
45° gedrehten Koordinatensystems müssen sie aufgrund der unterschiedlichen Nomenklatur in
folgender Weise ersetzt werden:
c
c
c
c
FEM
ij
FEM
44
FEM
55
FEM
66
= c
= c
= c
= c
ij
′
66
55
44
′
′
′
{i < 4; j
< 4}
Gitterparameterunterschiede werden durch unterschiedliche thermische Ausdehnungskoeffizienten
α x (x = Schicht, Substrat) realisiert. Im verwendeten Programm besteht die Möglichkeit,
mechanische Spannungen als Funktion eines Temperaturunterschieds ∆T thermisch zu induzieren.
(5-6)
(5-7)
Dabei wird ein linearer Zusammenhang zwischen Deformation und ∆T zugrundegelegt:
ε ij ∑α ij∆T
(5-8)
=
i,
j
Schicht
Der thermische Ausdehnungskoeffizient α
nimmt für die Schicht den Wert des zu reali-
ii
sierenden Misfits f an und 0 für alle Elemente des Substrates. Man definiert nun zwei Zustände (1)
und (2) mit den hypothetischen Temperaturen T 1=0 und T 2=1 und erzeugt durch Erhöhen der

60 5 Numerische Streurechnungen für monodisperse mesoskopische Systeme
Temperatur von T 1 auf T 2 einen Temperatursprung ∆T, in dessen Folge eine der Gitterfehlpassung
proportionale elastische Spannung an der Grenzfläche zwischen Schicht und Substrat auftritt.
5.2 Regularisierung des FEM Netzes
Das aus der FEM-Rechnung gewonnene Deformationsfeld kann nicht direkt für die
Beugungssimulationen benutzt werden. Zum einen liegt das an den unterschiedlichen Knotenabständen
des FEM-Netzes entlang verschiedener Richtungen zum anderen an der Tatsache, dass
die Interknotenabstände für die Beugungssimulation deutlich zu groß sind. Typische Werte liegen
in dem Intervall 5 ... 50Å und würden im zu untersuchenden Gebiet des reziproken Raumes
Artefakte verursachen. 23 Ziel muß es deshalb sein, diese in Gebiete des reziproken Raumes zu
verlagern, die außerhalb des Meßgebietes liegen. Im Rahmen einer linearen Interpolation zwischen
FEM-Knoten erzeugt man dazu ein homogenisiertes verfeinertes Zielnetz, auf dessen Grundlage
die gestreuten Intensitäten berechnet werden.
0
(X 0,Y 0,Z 0)
3
7
4 5
(x,y,z)
2
n
6
n+1
Abb. 5-2: Lineare Interpolation zur Bestimmung des Deformationsfeldes für einen
Punkt (x,y,z) des verfeinerten Netzes als Funktion der Deformation in den
umgebenden durchnummerierten FEM-Knoten (X i,Y i,Z i), wobei nur acht
unmittelbar benachbarte Knoten berücksichtigt werden. Eine Bedingung für die
Anwendbarkeit des beschriebenen Formalismus ist, dass die Knoten in Ebenen mit
konstantem z angeordnet sind.
Stellt man an das FEM Netz die Forderung, dass die Knoten innerhalb von Ebenen angeordnet
sind, läßt sich die Interpolation entlang der drei Raumrichtungen faktorisieren, was zu einer
erheblichen Verringerung der Rechenzeit führt. Zuerst werden die Knotenpositionen in einem
regulären Zielnetz erzeugt, dessen Schrittweite zwischen interatomarem Abstand und einigen
Vielfachen davon variieren kann. Für jeden dieser so definierten Knoten sucht man in den benachbarten
Ebenen n und (n+1) die acht nächstgelegenen FEM Knoten, deren Daten zur Bestimmung
23 Nimmt man die experimentellen Befunde aus Kap. 6.2.1 vorweg und behauptet, dass in der Umgebung des 004 Reflexes ein Gebiet
von etwa ±0.1Å -1 in beiden Richtungen innerhalb der Beugungsebene die relevanten Strukturen enthält, so ergibt sich für den
Interknotenabstand des Zielnetzes eine obere Schwelle von ungefähr 30Å. In der überwiegenden Anzahl der Fälle wurden daher
die Knoten auf einem Zielnetz mit vierfachem kristallographischen Gitterparameter berechnet.
1
x
y
z

5.3 Streurechnungen in kinematischer Näherung 61
des Deformationsfeldes für den Zielknoten ausgewertet werden, Abb. 5-2. Sobald der Zielknoten
außerhalb des durch die acht Knoten erzeugten Kuboids liegt, wird er verworfen.
Die Deformation im Punkt (x,y,z) läßt sich unter diesen Voraussetzungen im Rahmen einer
linearen Näherung schreiben:
7 ⎛ x − X i ⎞ ⎛ y − Yi
⎞ ⎛ z − Z i ⎞
u(
x, y,
z)
= ∑ ⎜1
⎟ ⎜1
⎟ ⎜1
⎟
⎜
−
u i ( x,
y,
z)
i 0 X 1 X ⎟ ⎜
−
0 Y3
Y ⎟ ⎜
−
0 Z 4 Z ⎟
= ⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ − 0 ⎠
wobei i über die benachbarten Knoten läuft.
5.3 Streurechnungen in kinematischer Näherung
Die kinematische Theorie muß für die Streuung an exakt periodischen Gittern versagen, da für eine
solche (ins Unendliche fortgesetzte) Anordnung der Streuer die Gitteramplitude aus (3-28) auf δförmige
Bragg-Peaks führt. Sobald das System jedoch hinreichend an Perfektion verliert, läßt sich
der diffus gestreute Anteil gut in kinematischer Näherung berechnen. Mesoskopische Strukturen,
deren Größe einige nm bis µm betragen kann, tragen ihren geometrischen Ausmaßen entsprechend
nur mit einem vergleichsweise kleinen Teil der Probe zur gestreuten Gesamtintensität bei. Als eine
weitergehende Limitierung der kinematischen Herangehensweise erweist sich der Umstand, dass
vergrabene, pseudomorph gewachsene Strukturen im allgemeinen einen nur wenig von der umgebenden
Matrix abweichenden Gitterparameter aufweisen, was im kinematischen Grenzfall zu
falschen Ergebnissen führt. Voraussetzung für die Anwendbarkeit der kinematischen Theorie ist
ein hinreichend stark in seiner Gitterperiodizität gestörtes System, wie es z.B. in freistehenden SiGe
Inseln vorliegt.
5.3.1 Deformationsbedingte diffuse Streuung in hochaufgelöster Weitwinkelbeugung
Zur Berechnung der diffus gestreuten Intensität in kinematischer Näherung unterteilt man das reale
Gitter ρ real (r) in zwei hypothetische Subsysteme: (1) ein homogenes perfektes Referenzgitter ρ ref (r)
und (2) eine Differenz ρ diff (r), die sich aus der Abweichung von realem und Referenzgitter ergibt:
ρ diff (r) =ρ real (r) - ρ ref (r). In Abb. 5-3 sind am Beispiel einer auf einem Substratmaterial positionierten
Insel schematisch Referenz- sowie ideales und reales Gitter dargestellt. Das Referenzgitter erhält
man, wenn die Insel gitterangepaßt auf dem Substrat aufwüchse, ohne dieses zu deformieren oder
selbst deformiert zu werden. Unter Berücksichtigung verschiedener Atomspezies entsteht aus
diesem das ideale (immer noch undeformierte) Idealgitter, aus welchem durch Zulassen von
Relaxation 24 das reale, nunmehr deformierte Gitter wird. Alle Deformationen verstehen sich im
Sinne einer totalen Deformation bezogen auf das ideale Gitter. Infolge der Unterteilung in eine exakt
periodische Struktur und in eine Abweichung der realen von der Referenzstruktur läßt sich das
Streusignal separieren in einen auf das Referenzgitter zurückzuführenden, kohärenten Anteil und
einen infolge der Abweichung ρ diff , diffusen Teil.
24 Dieses Vorgehen entspricht in gewisser Weise dem Vorgehen für die FEM Simulation. Dort wird über den Schalter einer
Nodaltemperatur ein Gitterparametermisfit induziert.
(5-9)

62 5 Numerische Streurechnungen für monodisperse mesoskopische Systeme
Komposition
Relaxation
Referenz ideal real
Abb. 5-3: Ein reales (deformiertes) Gitter läßt sich über die Abweichung von einem
hypothetischen Referenzgitter definieren, das innerhalb identischer Grenzen die
Gitterperiodizität des undeformierten Systems enthält, so dass die kohärent gestreute
Intensität auf das Referenz-, die diffuse Intensität auf die Abweichung zwischen
Referenz- und realem Gitter zurückgeführt werden kann. Durch das Besetzen von
Plätzen des Referenzgitters mit verschiedenen Atomsorten entsteht zunächst ein ideales
Gitter, wobei die exakte Periodizität erhalten bleibt. Aus diesem wird dann, bei
„Einschalten“ der Relaxation das reale Gitter.
Der vom Referenzgitter gestreute Anteil läßt sich nur dynamisch berechnen und soll hier nicht
weiter diskutiert werden. Wir wollen uns im folgenden auf die diffuse Streuung beschränken, deren
Amplitude proportional der Fouriertransformierten der Elektronendichtedifferenz ρ diff (r) ist:
A
diff
∝ [ iqr]dV
r
q exp ) ( ) ( ρ (5-10)
diffus ∫
V
Unter der Voraussetzung, dass die Elektronen bei Verschiebung der Atomkerne diesen starr folgen,
läßt sich die reale Elektronendichte als Funktion von ρ ideal , die ihrerseits vom Deformationsfeld u(r)
abhängt, ausdrücken:
( r) = ( r − u(
r))
ideal
real
real
ideal
ρ ρ
bzw. ρ ( r + u(
r))
= ρ ( r)
(5-11)
Die aus FEM gewonnenen Verschiebungen u(r) verstehen sich als totale Verschiebungen in Bezug
auf einen Idealkristall, der im allgemeinen durch ein undeformiertes Substrat gegeben ist. (5-10)
liefert unter dieser Annahme für die diffus gestreute Amplitude:
∫
ideal
ref
[ ( r)
exp[
iq(
r + u(
r)
) ] − ( r)
[ i ]
A ( q) ∝ ρ ρ exp qr dV (5-12)
diffus
V
Teilt man den Kristall in Superzellen, so läßt sich das Integral über den gesamten Kristall als
Summe, getrennt in einen Strukturfaktor, der die Streuung an einer Superzelle beschreibt und einen
Gitterfaktor, in dem über alle Superzellen aufsummiert wird, formulieren.

5.3 Streurechnungen in kinematischer Näherung 63
diffus
ideal
ref
∑∑ { ρ ( R i + rk
) exp[
iq[
[ R i + rk
] + u(
R i + rk
) ] − ( R i + rk
) [ iq[
R i + k ]
}
A ( q) ρ exp r
∝ i k
(5-13)
R i gibt die Positionen der Superzellen an, r k ist der Ortsvektor zu den einzelnen Atomen in der
Superzelle. Nehmen wir an, dass sich das Deformationsfeld innerhalb einer Superzelle nur wenig
ändert, so kann man nähern, dass u nur vom Ort der Superzelle selbst anhängt, also einzig die
Gesamtverschiebung der Superzelle zu berücksichtigen ist:
u R + r ) ≈ u(
R )
(5-14)
( i k
i
nehmen wir weiter an, dass die Superzellen ganzzahlige Vielfache der Einheitszellen sind, so folgt
aus der Translationsinvarianz:
ideal
ideal
ρ R + r ) = ρ ( r )
(5-15)
( i k
k
Damit läßt sich die Doppelsumme (5-13) umschreiben zu:
diffus
∝ i
ideal
ref
∑{
F ( q,
R i ) exp[
iq[
R i + u(
R i ) ] − F ( q,
R i ) [ i i ] }
A ( q) exp qR (5-16)
ideal
wobei sich die Summe über alle Superzellen i erstreckt. Die Strukturamplitude Fi der i-ten
Superzelle ist gegeben durch:
∑
ideal
ideal
i q, R i ) = ( rk
, R i
k
[ i ]
F ( ρ ) exp qr
(5-17)
k
ideal
In erster Näherung ist Fi (q,Ri) in Vorwärtsrichtung (q=0) proportional der Summe über alle
Kernladungszahlen Zi in der Superzelle i. Während sich in der rk-Abhängigkeit von ρ ideal die lokale
chemische Zusammensetzung in der Superzelle findet, berücksichtigt Ri die globale Abhängigkeit
vom Ort der Superzelle in der (z.B. Insel)struktur. Aus (5-11) folgt die Beziehung für Strukturamplitude
des realen Gitters F real :
F
real
q i
i
[ iqu(
) ]
ideal
( , R ) = F ( q,
R ) exp r
(5-18)
Im Fall verschwindender Deformation (u=0) erhält man das Ergebnis, dass die Strukturamplituden
von realem und idealem Gitter übereinstimmen. In Kap. 6.2.2.6 wird gezeigt, dass bei Weitwinkelbeugung
in unserem Fall das Konzentrationsprofil der Probe nur mittelbar über den unterschiedlichen
Gitterparameter und somit über das Deformationsfeld Einfluß auf das Beugungsbild
hat, direkt jedoch nur minimal beiträgt.
5.3.2 Strukturfaktorempfindliche diffus gestreute Intensität in GISAXS
In Kap. 4.1 wurde gezeigt, dass der Betrag des Beugungsvektors in GISAXS Geometrie um etwa 3
Größenordnungen verkürzt ist im Vergleich zur hochaufgelösten Weitwinkelbeugung. Für diesen

64 5 Numerische Streurechnungen für monodisperse mesoskopische Systeme
Fall kann man in (5-16) den sehr kleinen Term |qu| vernachlässigen und den Exponentialterm
ausklammern:
A
diffus
( q)
∝
ideal
ref
∑{
F ( q = 0,
R i ) − F ( q = 0,
R i ) }
i
exp
144444424444443
∆F
( q=
0,
R )
i
[ iqR
]
i
(5-19)
Dominierend für die diffus gestreuten Amplituden bleibt allein die Form (implizit in der Summe
über i enthalten), die chemische Zusammensetzung (gegeben durch die Differenz ∆F der Strukturfaktoren
für Ideal- und Referenzkristall) und mögliche räumliche Korrelation (ebenfalls in der
Summe über i enthalten).
Führt man die Formfunktion Ω(r) ein, die im Kristall den Wert 1 annimmt und außerhalb ver-
schwindet, so kann man die Elektronendichte des Idealkristalls ρ ideal (r) in ein Produkt aufspalten:
ρ
ideal
ideal
( r) ρ ( r)
Ω(
r)
= ∞
(5-20)
ideal
bestehend aus ρ (r)
, der Elektronendichte eines unendlich ausgedehnten Idealkristalls, mo-
∞
duliert mit der Formfunktion. Zunächst bleibt Ω(r) ganz allgemein eine Funktion, die sowohl ein
Inselensemble als auch eine Einzelinsel beschreiben kann. Die Streuamplitude A(q), welche
identisch mit der Fouriertransformierten von (5-20) ist, läßt sich unter Benutzung des Faltungstheorems
angeben. Dieses besagt, dass die Fouriertransformation eines Produktes zweier Funktionen
im Ortsraum eine Faltung zweier Fouriertransformierten im reziproken Raum ist:
∫
ideal ( FT ) ( FT )
A(
q) ∝ ρ ( q′
) Ω ( q − q′
) dq′
(5-21)
∞
Nimmt man für den Kristall innerhalb der durch Ω=1 gegebenen Grenzen Homogenität und
Translationsinvarianz an, läßt sich die Fouriertransformierte der Elektronendichte als diskrete
Fouriersumme formulieren:
ρ
ideal ( FT )
∞
∑
( q ′ ) = ρ δ ( q′
− g)
g
g
(5-22)
wobei die Summation über alle Gittervektoren g erfolgt. Damit geht in (5-21) das Integral in eine
Summe über:
∑
(FT )
A( q ) ρ Ω ( q − g)
(5-23)
∝ g
g
In dem Maße, in dem Ω(r) im Ortsraum ausgedehnt ist, bleibt Ω (FT) (q) auf kleine Bereiche im
reziproken Raum beschränkt, und es gibt für einen bestimmtes g keine Beiträge eines anderen
Gitterpunktes h ≠ g. Für diesen Fall vereinfacht sich (5-23) zu:
( FT )
A ( ) ∝ ρ Ω ( q)
(5-24)
g
q g

5.3 Streurechnungen in kinematischer Näherung 65
Die diffus gestreute Amplitude im reziproken Raum ist folglich bestimmt durch die Fouriertransformierte
der Formfunktion, die sich in der Umgebung jedes reziproken Gitterpunktes wiederholt.
q [A ]
-1
110
(000) (00 )
1
4
0.05
0.00
-0.05
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
-1
q 001 [A ]
Abb. 5-4: |Ω (FT) (q)| 2 eines Pyramidenstumpfes mit einer Basislänge von 130 nm
bei einer Höhe von 65 nm in der durch die Facetten- und Oberflächennormale
aufgespannten Ebene. Bei q 001=0.27Å -1 befindet sich für das zugrundegelegte Gitter
der (001) Reflex. |Ω (FT) (q)| 2 wiederholt sich um jeden der in dieser Simulation
vorhandenen reziproken Gitterpunkte (000) und (00¼). Entlang der
Facettennormale treten intensive Streaks (F) auf, die mit der Oberflächennormale
einen Winkel ϕ=54.7° einschließen. Die Intensität entlang F weist aufgrund der
endlichen Größe des streuenden Objekts Intensitätsmodulationen der Periode
∆q 110=2π/B auf.
Abb. 5-4 zeigt das Betragsquadrat der fouriertransformierten Formfunktion der in Abb. 5-1
dargestellten Insel. Die Netzverfeinerung erfolgte in diesem Fall mit dem vierfachen des Gitterparameters
für Silizium (a Si=5.4309Å), so dass der erste Reflex entlang [001] bei einem q 001 von
0.27Å -1 auftritt, was genau einem Viertel des Wertes für den Silizium (001) Reflex entspricht. Die
zugrundegelegte Insel hat eine Basisbreite von 130 nm bei einer Höhe von 65 nm. Deutlich zu
erkennen sind Gitterabbruchstäbe 25 senkrecht zu der (001) Deckfacette und den {111} Seitenfacetten,
wobei die Intensitätsmodulationen entlang der Facettenrods durch die endliche Größe der
Insel hervorgerufen werden.
5.3.3 Positionskorrelation
Die Untersuchung mesoskopischer Strukturen mit diffuser Röntgenstreuung macht stets Aussagen
über ein Ensemble von Objekten. Nimmt man beispielsweise eine Objektgröße von 100 nm bei
einer ausgeleuchteten Fläche von 1 mm 2
an, so erfolgt die Mittelung, abhängig vom Bedeckungsgrad,
über etwa 10 8 Objekte. 26 Damit verbunden ist eine einschneidende Begrenzung der hier
benutzten Methoden. Mitteln diese über eine derart große Anzahl, lassen sich Aussagen zu einem
25 Häufig findet sich in der deutschsprachigen Literatur neben Gitterabbruchstab und Laue-Stachel auch der englische Begriff Crystal
Truncation Rod (CTR). Zur Abgrenzung von dem sehr intensiven (001) CTR verwenden wir für den durch die {111} Inselfacetten
hervorgerufenen Gitterabbruchstab auch Facettenrod.
26 Aufgrund einer begrenzten Kohärenzlänge der Röntgenstrahlung verringert sich die Anzahl der kohärent beleuchteten Inseln
erheblich. Jenseits der experimentellen Kohärenzlänge geht die Phaseninformation verloren und die Summation erfolgt
inkohärent.
ϕ
F

66 5 Numerische Streurechnungen für monodisperse mesoskopische Systeme
einzelnen Objekt nur dann machen, wenn alle Objekte hinreichend gleich in Form, Größe und
innerem Aufbau sind. Ein Argument, welches den Einsatz der Methoden dennoch rechtfertigt, ist
der Umstand, dass für mögliche technologische Anwendungen eine hohe Konformität in den
genannten Punkten Voraussetzung ist. Während die Amplituden in (5-16) und (5-24) Resultate für
einzelne streuende Objekte sind, muß für ein Kollektiv monodisperser Objekte deren Anordnung
berücksichtigt werden. In der totalen diffusen Intensität kann diese zu Beiträgen führen, die als
intensitätsstarke Satelliten in der Nähe des kohärenten Braggpeaks auftreten.
(5-20) gilt über eine Einzelinsel hinaus für ein Ensemble. Diese Abhängigkeit ist zunächst nur
implizit in Ω(r) enthalten. Läßt man verschiedene Inseltypen m zu, so erhält man eine Formfunktion
der Gestalt:
∑
( r − R )
Ω(
r) = Ω
(5-25)
m
m
m
Genau am Ort r=R m wird in der Umgebung von r eine Insel des Typs m generiert. Handelt es sich
nur um einen einzigen Inseltyp, läßt sich dessen Formfunktion Ω m≡Ω Insel(r) vor die Summe schrei-
ben, und man erhält Ω(r) als Faltung einer Inselformfunktion und einer Summe über Deltafunktionen,
die den Ort der Inseln enthält: 27
(
Ω(
r) = Ω Insel ( r)
⊗∑
δ r − Rm
) (5-26)
m
Auf (5-26) läßt sich erneut das Faltungstheorem, nun jedoch in anderer Richtung anwenden, um die
total
an einem Ensemble gestreute Amplitude A (q)
zu berechnen, die im reziproken Raum das
diffus
Produkt der einzelnen Fouriertransformierten ist:
∫ ∑ ( r −
[ iqr]
total
( FT )
( FT )
3
A ( q ) ∝ Ω ( q)
= Ω ( q)
δ R ) exp d r (5-27)
diffus
Insel
m
Das Integral in (5-27) trägt nur mit diskreten r=R m bei und zerfällt in eine Summe, die die
Bedeutung einer Korrelationsfunktion G(q) im reziproken Raum hat:
[ ] 2
|| || z
iq
q z
G q R
(5-28)
(
|| z
) = G(
q , q ) = ∑ exp
m
m +
Vernachlässigt man für ein System freistehender Insel vertikale Schwankungen der Inselpositionen,
so reduziert sich G(q) auf den in-plane Anteil, für den im folgenden durchweg der Begriff
Korrelationsfunktion gebraucht wird.
27 Diese Formulierung setzt innerhalb der Inseln eine homogene Elektronendichteverteilung voraus. Der Fall morphologisch
verschiedener Typen soll unberücksichtigt bleiben.
m
m

5.3 Streurechnungen in kinematischer Näherung 67
z
||
G(
q, q = 0)
≡ G(
q )
(5-29)
Für die an einem Inselensemble diffus gestreute GISAXS-Intensität folgt damit:
( FT )
2
∝ Ω ( q)
exp[
iq(
R R )]
total
I diffus ( q)
Insel ∑ m − n
m,
n 144424443
||
G(
q )
]
(5-30)
Das Einführen einer Formfunktion in die Elektronendichte wie in (5-20) und das Auffassen der
Formfunktion eines Ensembles gleicher Inseln als Faltung der Formfunktion dieses einen Inseltyps
mit einer Summe über δ-Funktionen läßt sich auch auf die Elektronendichten (5-11) anwenden.
Allgemein schreibt sich die an einem Inselverband totale diffus gestreute Amplitude bei
Berücksichtigung von Gitterdeformation als Summe über alle Inselpositionen m :
∑
[
total
A ( q) = A ( q)
exp iqR
(5-31)
diffus
diffus
m
m
wobei A diffus(q) die diffus gestreuten Amplitude an einer Einzelinsel nach (5-16) ist. Für die totale
diffus gestreute Intensität gilt dann:
I
total
diffus
∑
[ iq(
R − )]
total
single
( q ) = A ( q)
= I ( q)
exp R
(5-32)
diffus
2
diffus
m,
n
Wie in Kap. 6.3.2 gezeigt wird, liefert nicht jede beliebige Mittelung 〈 〉 über Inselpositionen in
(5-30) ein sinnvolles Ergebnis, vielmehr muß mit Rücksicht auf die endliche Kohärenzlänge im
Experiment eine teils kohärente teils inkohärente Summation der Inselpositionen ausgeführt
werden.
m
n

6 SiGe/Si Inselstrukturen
Um die Entstehung von mesoskopischen Inseln besser verstehen zu können, bedarf es zusätzlich
zu direktabbildenden Verfahren wie Rasterkraftmikroskopie und Atomkraftmikroskopie, die Aussagen
zur äußeren Morphologie machen können, (das betrifft sowohl die Form von einzelnen
Objekten als auch die Charakterisierung von Ordnungsphänomenen) Methoden, die sich sensitiv
auf die Eigenschaften im Inneren der Objekte zeigen. Zu ihnen gehören u.a. die Raman-Streuung
und die Photolumineszenz, die beide jedoch nur Mittelwerte für Größen wie Komposition und
Deformation liefern. Einen ortsaufgelösten Zugang bietet die Elektronenmikroskopie in
Transmission (TEM). Mit ihrer hohen Auflösung im direkten Raum erlaubt sie eine detaillierte
Analyse, jedoch immer beschränkt auf eine kleine Anzahl von Objekten. Einen anderen Weg geht
man mit der Streuung mit Röntgenstrahlen. Die Auflösung wird hier nicht mehr direkt sondern
indirekt durch eine hohe Winkelgenauigkeit bei der Messung im reziproken Raum realisiert.
Da man bei der Untersuchung mit Röntgenstrahlung je nach Kohärenzlänge der Strahlung über ein
sehr großes Ensemble von Inseln mittelt, eignen sich, will man Aussagen zu einzelnen Objekten
machen, nur Probensysteme, bei denen eine entsprechend hohe Homogenität gewährleistet werden
kann. Stranski-Krastanow Inseln mit einer erreichbaren Größendispersion kleiner als 10%
[MHB94] erweisen sich als ausgezeichneter Kandidat für diese Aufgabe. Im System Si 1-xGe x auf
Silizium lassen sich insbesondere in dem Konzentrationsfenster zwischen 25% und 40%
Germanium Inselensemble hoher Perfektion herstellen. Die mit wachsendem x verbundene
Verkleinerung der Inseln [DSW98] geht jedoch oft mit der Ausbildung großer plastisch relaxierter
Inseln einher, die die Applikation der vorgestellten Methode (aufgrund der starken diffusen
Streuung an den Fehlanpassungsversetzungen) für Konzentrationen jenseits 40% Ge vereiteln.
Deshalb wurden aus einer Probenreihe zwei mit nominellen Ge-Gehalten von 25 % und 30 %
ausgewählt, um an diesen Möglichkeiten und Grenzen numerischer Streurechnungen in
kinematischer Näherung zu demonstrieren.
Das vorliegende Kapitel ist wie folgt gegliedert: zunächst wird in Kap. 6.1 mit Hilfe der direkten
Verfahren SEM und AFM die Inselform bestimmt. Die so gewonnenen Resultate werden darüber
hinaus genutzt, um die gemessenen Intensitätsverteilungen in GISAXS Geometrie mit kinematischen
Simulationen zu vergleichen. Im dem sich anschließenden Kap. 6.2 wird der Einfluß
verschiedener Ge-Kompositionen im Inselinneren auf das Streubild diskutiert und mit experimentellen
Ergebnissen der hochaufgelösten Weitwinkelbeugung verglichen. Dabei wird bereits
deutlich werden, dass sowohl GISAXS- als auch das Beugungssignal Informationen über eine
Einzelinsel hinaus enthalten. Die periodische Anordnung der Inseln führt in beiden Fällen zu
zusätzlichen Beiträgen in der diffusen Intensität, die eingehend in Kap. 6.3 diskutiert werden. Es
wird ein Weg vorgeschlagen, die Insel-Insel-Korrelation in den Simulationen zu berücksichtigen.
Die kinematische Näherung versagt, sobald Ein- und/oder Austrittswinkel in die Nähe des
kritischen Winkels der Totalreflexion gelangen. Kap. 6.4 zeigt diese Grenzen auf, die in einer semikinematischen
oder dynamischen Herangehensweise zu überwinden sind. Hier bietet sich ein sehr
interessanter Zugang zum Deformationsfeld in den inselnahen Bereichen der Benetzungsschicht.

70 6 SiGe/Si Inselstrukturen
6.1 Inselform
In Abb. 6-1 ist die Oberflächenmorphologie der Probe 1082 gezeigt, die einen mittleren nominellen
Ge-Gehalt von 25% besitzt. In der mit Atomkraftmikroskopie aufgenommene Morphologie in
Teilbild A verwischen die Inselkonturen, da das aufgenommene Höhenprofil durch Faltung der
AFM Spitze mit der Oberfläche entsteht. 28 Man erkennt im Vergleich zur elektronenmikroskopischen
Aufnahme in Teilbild B eine deutliche Übertreibung der Inselgröße. Erst im SEM Bild
werden die Konturen wegen der besseren lateralen Auflösung deutlich. Die abgebildeten Inseln
sind in ihrer Form und Größe mit einer mittleren Basislänge B 110 von 130 nm und einer Höhe h
von etwa 65 nm sehr homogen. Der Wert für die Höhe ergibt sich sehr genau, wenn man unter der
Voraussetzung von {111} Seitenfacetten 29 die Basisbreite und die Breite der (001) Deckfacette in
Beziehung setzt. Man erkennt in A, dass die Inseln in Ketten entlang den 〈100〉 Richtungen
angeordnet sind, darüber hinaus bildet sich partiell ein 2-dimensionales Flechtwerk-Muster, welches
durch die Verzahnung einzelner Ketten entsteht, sich jedoch in dieser Vergrößerung noch nicht
deutlich genug zeigt. Bei der Kleinwinkelstreuung an einem auf diese Weise geordneten Inselverband
werden wir in Kap. 6.3 detailliert auf die Korrelation eingehen.
[110]
500 nm [nm]
80
70
60
50
40
A
30
20
10
0
100 nm
Abb. 6-1: Oberflächentopologie der Probe 1082, (A) AFM und (B) SEM Aufnahme.
Die Inseln haben die Form von Pyramidenstümpfen mit {111} Seiten- und
(001) Deckfacette. Aufgrund der Form der AFM-Spitze kommt es in (A) zu einer
Übertreibung der Inselgröße. Infolge unterschiedlicher Sekundärelektronenausbeute
heben sich Deck- und Seitenfacetten in (B) voneinander ab. Am intensivsten treten die
begrenzenden Kanten hervor. Es ergibt sich eine Basisbreite zwischen 120 und 130
nm. Die Kantenlänge der Deckfacette beträgt etwa 40 nm, so dass man bei
Vorhandensein von {111} Seitenfacetten auf eine Höhe von 65 nm schließen kann.
Um Aussagen über die innere Zusammensetzung und die Spannungsverteilung treffen zu können,
muß man zunächst eine bestimmte Inselform und –größe sowie eine Ausgangskomposition
ansetzen. Diese Größen können dann im Rahmen des hier exemplarisch demonstrierten iterativen
Verfahrens hinreichend verfeinert werden. In Kap. 5.3.2 wurde gezeigt, dass sich das GISAXS
28 Übliche Spitzenradien betragen etwa 50 nm, für besondere Zwecke bis hinab zu 10 nm. Die hier verwendete Spitze besitzt einen
nominellen Radius von 50 nm.
29 Die Annahme von {111} Facetten erscheint zunächst willkürlich, wird jedoch durch die folgenden GISAXS Messungen in
Ergänzung mit kinematischen Simulationen, denen ein {111}-facettierter Pyramidenstumpf zugrundeliegt, bestätigt. AFM-Linienprofile
wie in Kap. 2.4.1 zeigen ebenfalls {111} Facetten.
B

6.1 Inselform 71
Signal unter der Voraussetzung homogener Inseln, multiplikativ aus zwei Anteilen zusammensetzt:
einem Anteil, der die Form der Einzelinsel berücksichtigt und einem Korrelationsanteil, der die
Anordnung der Objekte berücksichtigt. Vorab wollen wir uns auf den ersten Term, der
Fouriertransformierten der Inselform, beschränken, um in Kap. 6.3 auf die Bestimmung der in-plane
Korrelationsfunktion G(q || ) näher einzugehen.
q [A ]
-1
001
0.04
0.02
0
A
F B
-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 -0.02 0.00 0.02
-1
q 110 [A ]
-1
q 100 [A ]
Abb. 6-2: Innerhalb der [110]- (A) und [100]-Zone (B) simuliertes Betragsquadrat
der Formfunktion
( FT )
Insel
2
Ω (q)
für eine wie in Abb. 5-1 dargestellte Insel mit einer
Basis von 130 nm und einer Höhe von 65 nm. (A) enthält unter einem Winkel von
54.7° die durch den Abbrucheffekt verursachten Truncation Rods (F) senkrecht zu
den {111} Inselfacetten. (B) zeigt
Ω
( FT )
Insel
(q)
2
X
in einem um 45° gedrehten Schnitt
entlang [100]. Da die 〈101〉 Inselkanten im regularisierten Inselmodell in kleine
{110} Flächen zerfallen, besitzen diese eine endliche Breite und führen zu einem
intensitätsschwachen künstlichen Truncation Rod (X) unter 45°.
9
8
7
6
log (I)
Abb. 6-2 zeigt zwei simulierte 2-dimensionale Schnitte durch das Betragsquadrat der 3-dimensionalen
Formfunktion für eine Einzelinsel mit einer Basisbreite von 130 nm und einer Höhe von
65 nm, wobei der Knotenabstand in der Insel der vierfachen Gitterkonstanten von Silizium entspricht.
Die Schnitte befinden sich in den beiden Ebenen, die durch [001] und [110] (Teilbild A)
und [001] und [100] (Teilbild B) aufgespannt werden. 30 Die Inselfacetten führen in Bild A entlang
den 〈111〉 Richtungen zu Facettenrods (F), die unter einem Winkel von 54.7° zur Kristalloberfläche
verlaufen. Wegen der begrenzten Größe der Insel sind diese in ihrer Intensität mit einer Periode
δq 110=0.005Å -1 moduliert, woraus man auf die mittlere laterale Abmessung der Inseln über
B=2π/δq 110=126 nm rückschließen kann. Diese Modulationen werden einzig durch die Form einer
Insel hervorgerufen und dürfen nicht mit den experimentell beobachteten Korrelationspeaks verwechselt
werden, die einen vergleichbaren lateralen Abstand haben, sofern der Inselabstand in die
Größenordnung der Inselabmessungen kommt. In Teilbild B fehlen die Facettenrods, da in dieser
Beugungsebene keine Flächen die Insel begrenzen. Trotzdem kommt es zu diffuser Intensität (X),
30 Die gezeigte Intensitätsskala ergibt sich aus der phasenrichtigen Summation der Amplituden und der anschließenden
Betragsbildung. Deshalb sind die überstrichenen Größenordnungen nur in relativer Hinsicht mit der Messung vergleichbar. Zum
einen liegt das an der Tatsache, dass die Amplitude der einfallenden Welle in der Simulation 1 gesetzt wurde, zum anderen hängt
die simulierte Intensität natürlich von der Anzahl der Streuer selbst und damit entscheidend von der Schrittweite des verfeinerten
Netzes ab.

72 6 SiGe/Si Inselstrukturen
die ein Artefakt der Simulation ist. Die Begrenzung der perfekten Insel ist in dieser Ebene vor-
gegeben durch die 〈101〉 Kanten, die einen Winkel von 45° mit der Oberfläche einnehmen. In dem
verwendeten Finite Elemente Modell besteht die Insel aus einzelnen kleinen Kuboiden, so dass die
Inselkanten eine modellbedingte künstliche Verbreiterung aufweisen, die zu diffuser Intensität
infolge des Abbrucheffektes unter 45° führt. Aus SEM Untersuchungen konnte nicht zweifelsfrei
geklärt werden, ob bei diesen vergleichsweise kleinen Inseln eine Verbreiterung der Kanten wie sie
in Kap. 2.4.1 an Inseln mit Basisbreiten um 1 µm beobachtet wurden, vorliegt.
Da die diffuse Streuung an mesoskopischen Strukturen schwach ist, wurden die hochaufgelösten
Beugungsmessungen sowie Kleinwinkelstreuung an verschiedenen hochbrillanten Synchrotronquellen
durchgeführt. Dabei lag die Energie der verwendeten Strahlung bei 8 keV, bei einer
spektralen Breite von etwa 31 ∆λ/λ=6×10 -5 . Für die meisten Messungen kam ein positionsempfindlicher
Detektor zum Einsatz, der, wie in Kap. 4.1 beschrieben, die Intensitätsverteilung
entlang eines Schnittes im reziproken Raum registriert. Zur Erhöhung des Dynamikbereiches der
Messungen wurden Aluminiumabsorber verschiedener Dicke eingesetzt.
In Abb. 6-3 ist die diffuse Streuung in der Nähe des reziproken Ursprungs für die Probe 1082
dargestellt. Der einfallende Strahl trifft die Oberfläche unter einem Winkel von 0.3°. Um den nutzbaren
Dynamikbereich des PSD an die diffus gestreuten Intensitäten anzupassen, wurde die
Intensität entlang des (00l) CTR durch einen Absorberdraht (Ab) ausgeblendet. Die beste
Übereinstimmung konnte für eine Insel der Basisbreite 130 nm bei einer Höhe von 65 nm erreicht
werden. Im Vergleich mit den kinematisch simulierten Intensitäten aus Abb. 6-2 existieren folgende
Unterschiede:
(1) Die Facettenrods (F) der Inselformfunktion haben in der Messung ihren Ursprung nicht
bei Null sondern bei einem q 001=0.027 Å -1 . Infolge der Brechung kommt es zu einer Intensitätsüberhöhung
genau für den Fall, dass Ein- und/oder Austrittswinkel gleich dem kri-
tischen Winkel der Totalreflexion α krit ist (Yoneda-Peak [Yon63]). Für Silizium beträgt
Yoneda
bei der verwendeten Wellenlänge αkrit=0.22°, so dass sich genau als Ausgangspunkt
für die Facettenrods ergibt.
(2) Da in der Simulation der Effekt der Reflexion nicht berücksichtigt ist, fehlt der spekular
reflektierte Strahl und somit auch die durch ihn verursachte diffuse Streuung.
(3) In der Messung überlagert die Korrelationsfunktion G(q) die Formfunktion der Einzelinsel.
Da jedoch der Abstand der Inseln größer als die doppelte Inseldiagonale ist, lassen sich
Form- und Korrelationspeaks (K) deutlich voneinander trennen. Entlang 〈100〉 erkennt
man im Ansatz diffuse Intensität unter einem Winkel von 45°, die darauf schließen läßt,
dass die Kanten der Insel nicht perfekt 1-dimensional sind, sondern eine endliche Ausdehnung
besitzen. Für Inseln mit Basislängen von etwa 1 µm, konnte eine solche Zersplitterung
mittels SEM nachgewiesen werden, siehe Kap. 2.4.
31 Wert bei einer Energie von 8 keV an der Strahlquelle ID10B der ESRF
q 001

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 73
-1
q 001 [A ]
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
A B
Ab
-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04
-1
q 110 [A ]
-0.02 0.00 0.02
-1
q 100 [A ]
Abb. 6-3: An Probe 1082 gemessene Intensitätsverteilung in der Nähe des reziproken
Ursprungs entlang der Inselbasis (A) und entlang der Inseldiagonalen (B).
Um den Dynamikbereich der Messung zu erhöhen, wurde der CTR und mit ihm der
spekular reflektierte Strahl durch einen Absorberdraht (Ab) ausgeblendet. Die
Position des spekularen Strahles (S) ist jedoch auch im diffusen Bereich auszumachen.
Analog zur Entstehung des CTR kommt es infolge der lateralen Begrenzung durch
Seitenfacetten zu einem Intensitätsstreak (F) senkrecht zu den Facetten, der infolge
der finiten Größe der Inseln in seiner Intensität moduliert ist. Die laterale Korrelation
der Inselpositionen sorgt für Korrelationspeaks (K), für diese Probe sowohl entlang
〈110〉 als auch entlang 〈100〉.
K
S
F
2
1
0
log (I)
6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln
Eine ganze Reihe von Untersuchungen beschäftigt sich mit der Aufklärung der für die optischen
Eigenschaften so ausschlaggebenden Größen wie Deformation und Zusammensetzung in
dimensionsreduzierten Strukturen. Einen guten Überblick, inwieweit in Quantenstrukturen vorliegende
Deformationsfelder und Kompositionsgradienten die Bandstruktur beeinflussen, findet
sich beispielsweise [Bru02] und den darin enthaltenen Referenzen.
Komposition und Deformation bedingen während des Wachstums einander. SiGe Inseln
favorisieren beim Wachstum zunehmend, da bereits dort elastische Relaxationsprozesse einsetzen,
die Anlagerung einer SiGe Komposition mit tendenziell höherem Ge-Gehalt, respektive größerem
Gitterparameter. Der Effekt der spannungsinduzierten Interdiffusion konnte theoretisch
[Ter98] und experimentell an verschiedenen Systemen, beispielweise InAs/GaAs
[GSB00]und an verspannten SiGe/Si Übergittern mittels Raman-Streuung [DFL95] belegt
werden. Walther et.al. konnten mittels STM und Elektronen-Energieverlust-Spektroskopie eine
Germanium-Segregation in verwellten Si 0.8Ge 0.2 Strukturen nachweisen. In den Gebieten nahe am
Apex des Ripplemusters findet eine Ge-Anreicherung statt, während es in den Tälern zu einer Ge-

74 6 SiGe/Si Inselstrukturen
Abreicherung kommt, die möglicherweise zu einem verzögernden Einsetzen der Bildung von
Misfitversetzungen beiträgt [WHC97]. Darüber hinaus existieren dazu widersprüchliche Belege,
die für freistehende mittels chemischer Gasphasenepitaxie gewachsene Germanium Inseln auf
Si(001) Interdiffusion ausschließen [MLH99], wenngleich in dieser Arbeit von der sehr groben
Näherung, das reale kontinuierlich verlaufende Deformationsfeld durch eine diskrete funktionale
Abhängigkeit zu ersetzen, Gebrauch gemacht wurde. Wie mehrere Arbeiten auf Grundlage
unterschiedlicher Verfahren übereinstimmend aufzeigen, ist Interdiffusion ein wichtiger Kanal zum
Abbau von Deformationsenergie. Für vergleichbare mit Silizium überwachsene Ge-Inseln wurde
mittels TEM eine starke Si-Interdiffusion in die Ge-Dots hinein beobachtet. Die vergrabenen
Inseln besitzen nur noch einen mittleren Ge-Gehalt von 50% [PSB00], wobei die Diffusion
extrem von der Wachstumstemperatur abhängt [CDE01]. Mit Röntgen-Energie-Verlust-
Spektroskopie konnte ebenfalls eine Si-Interdiffusion in Ge-Dots bestätigt werden [BCD00].
Auch in der Gruppe der III-V Verbindungshalbleiter kommt es beim Überwachsen zu starker
Interdiffusion. Mittels Querschnitts STM wurde das Kompositionsprofil in vergrabenen
pyramidenförmigen In 0.5Ga 0.5As Inselstrukturen untersucht. Die Quantenpunkte bestehen aus
Pyramidenstümpfen, mit In-reichem Kern [LTB00], der die Form eines nach unten spitz
zulaufenden Dreiecks im Querschnitt hat.
Steinfort et.al.[SSE96] fanden mittels STM und Röntgenbeugungsexperimenten an Ge Hut
Clusters auf einem Si(001) Substrat in Verbindung mit kinematischer Beugungssimulationen, dass
die Ge Inseln am Interface Substrat-Insel nahezu vollständig verspannt sein müssen, während am
Apex lateral etwa der Gitterparameter von reinem Ge realisiert ist. Innerhalb eines Modells, das u.a.
die Verspannungen im Substrat selbst, die Verbiegungen der Netzebenen innerhalb der Inseln und
den Einfluß von Rekonstruktion vernachlässigt, fanden sie eine quadratische Abhängigkeit der
Gitterkonstanten als Funktion der Inselhöhe. Daneben gibt es einen Beleg für einen über die ganze
Inselhöhe kontinuierlich verlaufenden linearen Deformationsgradienten in freistehenden
dreizähligen Germanium-Inseln auf Bor-terminiertem Si(111) [KRM00]. Wie mittels FEM Simu-
lationen in Kap. 6.2.2 demonstriert wird, spürt die ε xx-Komponente des Deformationstensors
kleine Änderungen des Konzentrationsprofils kaum, so dass man aus dem Verlauf des Defor-
mationsprofils ε xx(r) allein noch nicht auf einen bestimmten Verlauf des Konzentrationsprofils
schließen kann.
Über den gesicherten Nachweis von Interdiffusion und dem Vorhandensein eines Deformationsprofiles
hinaus, stellt sich die Frage nach der konkreten Zusammensetzung. Mit Hilfe energiedispersiver
Röntgenanalyse an einem speziell dafür ausgerüsteten Raster-Transmissions-Elektronenmikroskop
bestimmte Füller [FKZ99] den Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln mit nominellen
Ge-Gehalten zwischen 25 % und 80% auf Si(001) und Si(111) Substraten. Dabei konnte ein von
Null auf 40% Germanium nahezu linear ansteigender Ge-Gradient im unteren Drittel der Insel
nachgewiesen werden, während die Konzentration in den übrigen 2/3 der Insel nur von 40% auf
45% steigt. Dies deckt sich in Hinblick auf das Vorhandensein eines diskreten Konzentrationssprunges
mit Ergebnissen an freistehenden SiGe Inseln auf Si(001) [WSH00].
Daneben werden auch lineare Konzentrationsverläufe in SiGe Inseln in der Literatur diskutiert
[SDH01].

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 75
Aus dieser Aufstellung wird deutlich, dass die Beantwortung der Frage nach dem Konzentrationsverlauf
von den konkreten Bedingungen wie Wachstumsmethode (und den gewählten Parametern),
Dichte, Größe und Form der Inseln, und ob es sich um freistehende oder vergrabene Inseln
(Unterscheidung zwischen Einzel- und Vielfachschichten) handelt, stark unterschiedlich ausfallen
kann. Sie sollte nicht von der Untersuchungsmethode abhängen. Bei indirekten Verfahren kommt
deshalb der sorgfältigen Wahl, beziehungsweise der weitestgehenden Anpassung des Modells, eine
besondere Bedeutung zu.
6.2.1 Experimentelle Befunde
Zur Bestimmung des Deformationsfeldes und dem damit eng verbundenen Konzentrationsprofil
innerhalb der Inseln wurde die diffus gestreute Intensität in der Nähe verschiedener reziproker
Gittervektoren hochaufgelöst vermessen. Da es sich bei den zu untersuchenden Strukturen um
dreidimensionale Objekte handelt und die diffuse Intensität folglich ebenfalls in drei Dimensionen
Informationen enthält, wurden zunächst der symmetrische Reflex 004 innerhalb zweier nichtäquivalenter
Zonen untersucht. Einerseits wurde die Geometrie so gewählt, dass parallel zu den
〈110〉 Kanten eingestrahlt wird, andererseits entlang der Inseldiagonalen 〈100〉, siehe Abb. 4-2.
Darüber hinaus wurden die zwei asymmetrischen Reflexe -1-13 und -404 vermessen, die je in einer
der beiden Zonen liegen, um so auch den Einfluß lateraler Gitterparameterveränderungen zu
berücksichtigen.
q [A ]
-1
001
4.60
4.58
4.56
4.54
4.52
4.50
K
P CTR M
-0.05 0.00 0.05
-1
q 110 [A ]
G
F
2
1
0
-1
log (I)
Abb. 6-4: Zweidimensionale Intensitätsverteilung in der Nähe des Gitterpunktes
004 innerhalb der durch [110] und [001] aufgespannten Ebene. Senkrecht zur
Kristalloberfläche verläuft der intensitätsstarke Crystal Truncation Rod (CTR). Ein
dem Wesen nach gleicher Effekt an den {111} Inselfacetten führt zu einer
Verteilung entlang der Facettennormalen (F). Der Si-Substratreflex wurde mit
Rücksicht auf den erreichbaren Dynamikbereich nicht explizit vermessen. In ihm
schneiden sich CTR, Monochromatorstreak (M) und ein Artefakt (P), der durch
starke Streuung bei exakter Erfüllung der Bragg-Position auftritt. Die erste Ordnung
der Korrelationspeaks (K) in der Nähe des CTR werden in dieser Zone nur durch die
endliche Vertikaldivergenz auf die Beugungsebene projiziert. Die Oszillationen (G)
im unteren Bereich sind mittelbar mit der Inselgröße verbunden, können jedoch auf-

76 6 SiGe/Si Inselstrukturen
grund des komplexen Wechselspiels von lokaler Deformation und Größe nicht direkt
in eine Größe umgerechnet werden. Erst durch angepaßte Simulationen lassen sich
quantitative Aussagen machen.
In Abb. 6-4 ist für Probe 1082 die diffuse gestreute Intensität in der Nähe des 004 Reflexes
innerhalb der [110]-Zone gezeigt. Der Si-Substratreflex wurde nur hinsichtlich seiner Lage
bestimmt, nicht jedoch explizit vermessen, da aufgrund seiner sehr hohen Intensität die Empfindlichkeit
auf intensitätsschwache Details im diffusen Bereich stark herabgesetzt wäre. Experimentell
erreicht man das, indem die 2Θ-Position des PSD so verändert wird, dass der Substratpeak nicht in
den Detektor trifft. Dabei ist in exakter Braggposition nicht zu vermeiden, dass der angeregte
hochintensive Substratreflex in der aus einem evakuierten Rohr bestehenden Detektorhalterung
Streustrahlung verursacht, das als intensitätsstarkes Merkmal (P) in allen hochaufgelösten Weitwinkelmessungen
auftritt. Daneben verursachen die Ausläufer der vom Monochromator
angebotenen endlichen Primärsstrahldivergenz den sogenannten Monochromatorstreak (M), der
ebenfalls in allen hochaufgelösten Messungen vorhanden ist.
Die untersuchten Inseln weisen aufgrund des Germaniumanteils einen tendenziell größeren vertikalen
Gitterparameter auf, so dass die von der Insel gestreute Intensität bei kleineren q 001 als der
eigentliche 004 Si-Reflex erscheint. Da die Facettennormalen der die Insel begrenzenden {111}
Flächen in der Beugungsebene liegen, führt in dieser Zone der Gitterabbrucheffekt zu Intensitätsmerkmalen
(F) senkrecht zu diesen Flächen, der gleiche Effekt durch die (001) Flächen (sowohl die
unbedeckten Teile des Substrates als auch die Deckfacetten) bedingt, verursacht den sogenannten
Crystal Truncation Rod (CTR), der entlang [001] verläuft. Dieser ist überlagert von vertikalen
Schichtdickenoszillationen infolge der endlichen kaum variierenden Inselhöhe. Lateral führt der
gleiche Effekt zu Oszillationen ganz analog zu den GISAXS-Beobachtungen. Das Maximum des
Inselreflexes entlang des CTR befindet sich bei q 001= 4.565Å -1 , was auf eine mittlere relative
Gitterfehlpassung zum Substrat von 1.4% schließen läßt. Dieser Wert korrespondiert nicht direkt
mit einem bestimmten Ge-Gehalt, da einerseits die Relaxation des Gitters vom Inselfuß zum Apex
unterschiedlich stark erfolgt, andererseits der Ge-Gehalt lokal variieren kann. Neben dem CTR
erscheinen laterale Oszillationen (K), die durch die Korrelation der Inselpositionen hervorgerufen
werden, jedoch mit steigendem lateralen Impulsübertrag rasch abfallen. Der Abstand dieser Peaks
untereinander innerhalb der [110]-Zone beträgt ∆ =0.0014Å -1 HRXRD
q110 . In diesem Zusammenhang ist
es wichtig, auf das experimentelle Auflösungselement hinzuweisen. In dieser Messung wurde über
etwa ein Gebiet von 0.006Å -1 senkrecht zur Beugungsebene integriert, so dass nicht alle in diesem
Schnitt vorhandenen Korrelationspeaks (K), wie später anhand von GISAXS in-plane Messungen
gezeigt wird, durch Korrelation in der [110]-Zone sondern nur durch die Projektion auf diese
abgebildet werden. Für die Bestimmung der inneren Zusammensetzung, der genauen Form und
der Spannungsverteilung in den Inseln wird vorab dieses Detail außer acht gelassen und auf Kap.
6.3 verwiesen.
In Abb. 6-5 sind zwei Schnitte durch die vorangestellte Messung abgebildet: für q 001=4.561Å -1 ,
dieser verläuft exakt durch das Maximum der Korrelationspeaks, und bei einem kleineren
q 001=4.525Å -1 , um die Oszillationen (G) besser zu veranschaulichen. Aufgrund des äußerst
komplexen Wechselspieles von lokaler Deformation, Größe und Germaniumverteilung lassen sich

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 77
aus den Messungen quantitative Schlußfolgerungen nur mit Hilfe entsprechender Simulationen
gewinnen. In Kap. 6.2.2 wird anhand von kinematischen Streusimulationen ausführlich der Einfluß
der verschiedenen Größen auf die verschiedenen Teile des Beugungsbildes diskutiert.
log (I)
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
P
q 001 =4.561 A -1
q 001 =4.525A -1
K
CTR
G G
-1.0
-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
q 110 [A -1 ]
Abb. 6-5: Zwei Schnitte durch die Verteilung in Abb. 6-4 bei konstantem q 001
durch das Maximum der Korrelationspeaks (obere Kurve) bei q 001=4.561Å -1 und
bei q 001=4.525Å -1 (untere Kurve). In Abhängigkeit von q 001 lassen sich die zum
Signal beitragenden Komponenten gut trennen. Die Korrelationspeaks (K) sind
insbesondere in der Nähe des kohärenten CTRs stark, für größere laterale
Impulsüberträge (A) bestimmt ein Wechselspiel aus Inselform und Deformation die
Form der diffusen Intensität. In der unteren Kurve treten Oszillationen (G) auf, die
durch die begrenzte Inselgröße entstehen. Das Intensitätsmaximum (P) ist ein
Artefakt, der durch starke Einstreuung bei Erfüllung der exakten Braggbedingung
auftritt. Die Auflösung entlang q 110 reicht mit etwa 4×10 -4 Å -1 aus, siehe (4-8), um
die Korrelationspeaks (K) getrennt aufzulösen.
Abb. 6-6 zeigt die diffuse Intensität in einem um 45° gedrehten Schnitt, entlang der Inseldiagonalen.
Auch hier wurde auf die Erfassung des Substratreflexes verzichtet und nur die an den
Inseln diffus gestreute Intensität vermessen, die in ihrer Form in vielen Punkten mit der vorher
gezeigten übereinstimmt. Der Artefakt (P) entsteht wie in der vorangestellten Messung durch starke
Streuung bei Erfüllung der exakten Bragg-Position für das Substrat. Nicht in jedem Fall läßt sich
die Verwendung verschiedener Absorber restlos normieren. Deshalb kommt es im linken Teil des
Bildes zu einer Streifenstruktur. Im Unterschied zu Abb. 6-4 wird die flügelartige Intensitätsverteilung
(M0) nicht durch die {111}-Inselfacetten überlagert, sondern ist, wie im folgenden gezeigt
wird, hauptsächlich 32 durch das Deformationsfeld im Inneren der Inseln bestimmt. Aufgrund der
größeren lateralen Ausdehnung der Inseln entlang ihrer Diagonalen, wird die Struktur im
32 In Kap. 6.2.2.5 wird am Beispiel einer weiteren Probe mit etwas kleineren Inseln demonstriert, dass die Verteilung (M0) neben der
Deformation auch einen gewissen Einfluß der Inselgröße spürt und sich bei forminvarianter Größenreduktion zu größeren
lateralen Impulsüberträgen verschiebt. Darüber hinaus ist der 45° Winkel, unter dem (M0) gegen den CTR verläuft, ein Indiz für
einen Formeinfluß, das auf verbreiterte 〈101〉 Kanten hindeutet. An vergleichsweise großen Inseln mit einem Ge-Gehalt von 10%
konnte eine solche Zersplitterung der 〈101〉 Kanten explizit mittels SEM nachgewiesen werden, siehe Kap.2.4.1.
A

78 6 SiGe/Si Inselstrukturen
reziproken Raum entlang 〈100〉 komprimiert abgebildet. Deutlicher als zuvor ist die diffuse
Intensität in der Nähe des CTR durch Korrelationspeaks (K) überlagert, zwischen denen ein
mittlerer lateraler Abstand von =0.0022Å -1 HRXRD
∆
besteht. Schon hier fällt die offensichtliche
Beziehung
∆ ≈
HRXRD
q100 q 100
2 × ∆ auf. Die Korrelationspeaks innerhalb dieser Zone entstehen
HRXRD
q110 tatsächlich durch Insel-Insel-Korrelation entlang 〈100〉 (siehe auch Kap. 6.3). Bemerkenswert ist,
dass die vertikale Position der Korrelationspeaks neben dem CTR von den Maxima entlang des
CTR abweicht.
q [A ]
-1
001
4.60
4.58
4.56
4.54
4.52
4.50
CTR
P
-0.05 0.00
-1
q 100 [A ]
0.05
K
M0
M1
M2
2
1
0
-1
log (I)
Abb. 6-6: Zweidimensionale Intensitätsverteilung in der Nähe des Gitterpunktes
004 innerhalb der durch [100] und [001] aufgespannten Ebene. Die Intensitätsverteilung
bei q 001≈4.56Å -1 wird durch die SiGe Insel verursacht, während der 004
Reflex für das Si Substrat außerhalb bei q 001=4.628Å -1 liegt. Infolge hoher lateraler
Ordnung treten in der näheren Umgebung des Truncation Rods (CTR)
Korrelationspeaks (K) bis zur dritten Ordnung auf. Die Intensitätsmuster (M1) und
(M2) werden sich in den Simulationen als äußerst sensitiv auf das Deformationsprofil
innerhalb der Insel erweisen. Auch in dieser Messung kommt es durch starke
Streuung bei Erfüllung der Braggbedingung für das Substrat zu einem Artefakt (P).
Abb. 6-7 zeigt zwei Intensitätsschnitte durch die vorangestellte Messung innerhalb der [100]-Zone
für q 001=4.565Å -1 (durch das Maximum der Korrelationspeaks) und q 001=4.525Å -1 . Auch hier treten
für kleinere vertikale Impulsüberträge mehrere Peaks (M1) und (M2) auf, die, wie sich in den
folgenden Simulationen zeigen wird, weniger von der Gesamtform der Insel als vielmehr vom
inneren Aufbau und damit verknüpft vom Deformationsprofil abhängen.

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 79
M0 M0
Abb. 6-7: Schnitte durch die Messung in Abb. 6-6 bei q 001=4.565Å -1 (obere Kurve)
und q 001=4.525 Å -1 (untere Kurve). Auch hier lassen sich für unterschiedliche
vertikale Positionen die einzelnen Beiträge gut separieren. Aufgrund der Inselketten
entlang der 〈110〉 Richtungen treten zu beiden Seiten des CTR Korrelationspeaks
(K) bis zur dritten Ordnung auf. Da in dieser Zone die Inseln nicht explizit durch
Facetten begrenzt werden, sind die Peaks (M0) weitestgehend durch das Deformationsfeld
in den Inseln geprägt. Der Winkel von 45°, unter dem (M0) den
CTR kreuzt, gibt ein Indiz für verbreiterte 〈101〉 Kanten. (P) entsteht durch starke
Streustrahlung bei exakter Braggposition der Probe.
In Abb. 6-8 ist die Intensitätsverteilung in der Nähe des reziproken Gitterpunktes -1-13 dargestellt.
Im Gegensatz zum Gitterpunkt 004, wurde hier der Substratreflex (S) mitgemessen. 33 Dieser zeigt
ein weit ausgeprägtes diffuses Feld, was auf eine starke Deformation des Substrates hinweist.
Aufgrund der vom Monochromator angebotenen Strahldivergenz kommt es auch hier zu einem
Monochromatorstreak (M), der den Substratreflex unter dem Braggwinkel des Monochromatorkristalls
kreuzt.
Da im asymmetrischen Reflex der Beugungsvektor auch eine Komponente parallel zur Kristalloberfläche
besitzt, lassen sich Aussagen zu lateralen Gitterparameterunterschieden und -verkippungen
machen. Deshalb kann man hier die von den Inseln gestreute Intensität in zwei qualitativ
verschiedene Bereiche teilen: in einen Anteil, der zu Intensität (te) bei lateral gleichem q 110=q Substrat
führt und einem Beitrag in radialer Richtung (ku), der durch Streuung an den elastisch relaxierten
Bereichen der Insel hervorgerufen wird. 34 Daraus läßt sich schließen, dass es in den Insel neben
stark deformierten Gebieten auch nahezu elastisch vollständig relaxierte Bereiche geben muß. Die
33 Der sehr intensive Substratreflex führt zu einem Artefakt, der sich zunächst überraschend durch ein helles (intensitätsschwaches)
den Substratreflex kreuzendes Band auszeichnet. Um in exakter Braggposition für das Substrat den PSD nicht zu übersteuern,
wurden vor der Probe Aluminiumabsorber großer Schwächung eingesetzt. Diese reduzieren die Intensität im Reflex auf einige
1000 cps, während das diffuse Signal auf dem PSD außerhalb der Substratposition mehrere Größenordnungen schwächer ist und
innerhalb der gewählten Meßzeit/Punkt teilweise zu keinem einzigen detektierten Röntgenquant führen. Normiert man anschließend
die Messung mit den entsprechenden Schwächungsfaktoren, bleibt in diesen Bereichen die Intensität dennoch Null.
34 Ein in seiner Symmetrie nicht gebrochenes kubisches Gitter führt zu Intensität auf einer Linie, die in radialer Richtung von einem
Gitterpunkt auf den Ursprung zeigt, während z.B. tetragonal verzerrte Zellen auf Intensitätsbeiträge bei fixem qlateral=qSubstrat führen.
Bei symmetrischen Reflexen fällt L mit der Linie qlateral=konstant zusammen, und es läßt sich nicht entscheiden, ob eine tetragonal
verzerrte oder kubische Einheitszelle mit abweichendem Gitterparameter vorliegt.

80 6 SiGe/Si Inselstrukturen
Abweichung von einer perfekten tetragonalen Verzerrung am Inselfuß führt zu einer diffusen
Intensitätsverteilung in der Umgebung von (te), die jener in der Umgebung des 004 Gitterpunktes
derselben Zone stark ähnelt. Innerhalb der [110]-Zone führt der Abbrucheffekt an den {111}
Flächen zu Facettenrods, die sich in einer erhöhten Intensität entlang der Facettennormalen äußert.
In einem Wechselspiel von lateralen und vertikalen Dickenoszillationen, hervorgerufen durch die
endliche Größe der Inseln, kommt es zu einer komplexen Intensitätsmodulation, die auch in der
Nähe des Substratreflexes sichtbar wird.
q [A ]
-1
001
3.50
3.45
3.40
3.35
M
v
te l
S
CTR
-1.70 -1.65 -1.60 -1.55
-1
q 110 [A ]
F
ku
5
4
3
2
1
0
log (I)
Abb. 6-8: Zweidimensionale Intensitätsverteilung um den Gitterpunkt -1-13 (S).
Innerhalb der [110]-Zone führen die Inselfacetten zu Intensitätsmerkmalen (F)
entlang der Facettennormale. Senkrecht zur Oberfläche verläuft der Crytsal
Truncation Rod (CTR). Durch die Streuung an den tetragonal verzerrten Zellen am
Inselfuß kommt es zu einem Intensitätsbeitrag (te) bei gleichem lateralen
Impulsübertrag, während die Streuung an den relaxierten Bereichen im Inselapex zu
Intensität um Punkt (ku) führt. Es kommt zu einem ausgeprägten Wechselspiel
zwischen lateralen (l) und vertikalen (v) Schichtdickenoszillationen. Die Messung ist
überlagert vom Monochromatorstreak (M).
In Abb. 6-9A ist die an Probe 1082 diffus gestreute Intensität in der Nähe des -404 Reflexes
dargestellt. Im Gegensatz zu -1-13 befindet sich dieser Reflex in der um 45° azimutal gedrehten
Zone und ist somit auf laterale Gitterparameterunterschiede innerhalb dieser Zone empfindlich. Es
kommt wie schon an den anderen Reflexen besprochen experimentell bedingt zu mehreren
Artefakten: dem Monochromatorstreak (M) und zu einem Band scheinbar verschwindender
Intensität durch Verwendung von Absorbern in Substratnähe. Wie im -1-13 Reflex läßt sich die
diffuse Intensität qualitativ in zwei Bereiche unterteilen. Einerseits führt die Streuung an den
nahezu vollständig relaxierten Bereichen in der Inselspitze zu einem Intensitätsmaximum (ku) auf
einer vom -404 Gitterpunkt radial zum Ursprung verlaufenden Linie L bei q 100=4.570Å -1 =-q 001 und
andererseits zu einer weitverteilten diffusen Intensität, die durch Streuung am unteren Teil der Insel
hervorgerufen wird, die jedoch nicht so stark ausgeprägt ist wie beim -1-13. Aus der Lage des

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 81
Maximums (ku) läßt sich auf eine mittlere Deformation in den Inseln von 1.25 % schließen. Die
vertikalen Schichtdickenoszillationen (v), die sich besonders sensitiv auf das Aspektverhältnis
Basisbreite/Höhe der Insel erweisen werden, verlaufen unter einem Winkel von 45° gegen die
Oberflächennormale und stehen damit nicht senkrecht auf der Linie zum Ursprung. Da der -404
Reflex in der [100]-Zone liegt, würde man auch hier Korrelationspeaks erwarten. Durch den sehr
kleinen Austrittswinkel in Messung (A) bedingt, gehen in den Gebieten, in denen starker Absorber
eingesetzt werden, also in der Umgebung des CTR, vergleichsweise schwache Oszillationen
verloren. Die diffuse Intensität in Abb. 6-9B wurde zum einen bei einem größeren Austrittswinkel
zum anderen ohne Substrat an Probe 1005x gemessen. Beide Umstände machen die genauere
Untersuchung der unmittelbaren Umgebung des CTR möglich, und in der Tat treten die erwarteten
Korrelationspeak (K) zu beiden Seiten des CTR auf. Von bestimmten Unterschieden abgesehen,
die hauptsächlich durch die verschiedenen Inselgrößen beider Proben herrühren, sind die beiden
Beugungsbilder sehr ähnlich. Insbesondere erkennt man, dass der Ge-Gehalt der Inseln bei Probe
1005x größer sein muß, da das Maximum (ku) der Streuung an den relaxierten Bereichen näher am
Ursprung liegt.
-1
q 001 [A ]
4.65
4.60
4.55
4.50
4.45
0
A
CTR
S
-4.65 -4.60 -4.55 -4.65 -4.60 -4.55
-1 -1
q 100 [A ]
q 100 [A ]
v
ku
P
K
v
0
B
3
2
1
0
-1
log (I)
Abb. 6-9: 2-dimensionale Intensitätsverteilung in der Nähe des asymmetrischen -404
Gitterpunktes - Probe 1082 (A) und Probe 1005x (B). Die Streuung an den nahezu
vollständig relaxierten Bereichen der Insel führt zu den Maxima (ku) in radialer
Richtung vom Substrat. Es kommt zu vertikalen Schichtdickenoszillationen (v), die,
wie sich in den Simulationen zeigen wird, besonders empfindlich auf das Verhältnis
von lateraler Inselbreite zu -höhe sind. In (A) beträgt der Austrittswinkel für den
Substratreflex (S) etwa 1.5°, so dass die Korrelationspeaks in der Nähe des CTR
durch Absorberartefakte verdeckt werden. In (B) dagegen wurde die Wellenlänge so
gewählt, dass der Austrittswinkel 8.5° beträgt, wie man an der Neigung des Streuartefaktes
(P) gegen den CTR erkennt. Unter diesen Umständen ist es möglich, die
Korrelationspeaks (K) aufzulösen.

82 6 SiGe/Si Inselstrukturen
6.2.2 Bestimmung des Konzentrationsverlaufes in einer Einzelinsel
Ausgehend von den in Kap. 6.1 gewonnenen Informationen zur Form der Inseln und den in den
Abb. 6-4 bis Abb. 6-9 dargestellten Intensitätsverteilungen soll im folgenden untersucht werden,
inwiefern ein Konzentrationsgradient in der Insel die diffuse gestreute Intensität prägt, um im
Rahmen einer Annäherung von modellierter und experimentell gemessener Intensität, Aussagen zu
Größe, Form und Konzentrationsverlauf in der Insel machen zu können. Bevor mit einer
detaillierten Untersuchung verschiedener Profile begonnen werden kann, muß zum einen die Frage
nach der angemessenen Größe des Integrationsgebietes im Ortsraum beantwortet werden. Wie im
folgenden Unterpunkt (i) gezeigt wird, liefert eine phasengerechte Summation nur über die Streuer
in der Insel das von Substratartefakten bereinigte Inselsignal. Darüber hinaus wird der Einfluß von
Vertikaldivergenz 35 und experimenteller Auflösung auf die Simulationen in Punkt (ii) diskutiert.
(i) Passende Wahl des Integrationsgebietes im Ortsraum
In kinematischer Näherung (ohne Insel-Insel-Korrelation) setzt sich das Streusignal aus einer
Summation über alle beteiligten Streuer zusammen. Damit die Lösung nicht divergiert, muß
insbesondere für die nahezu perfekten Bereiche, namentlich gilt das für das gesamte Substrat, in
(5-16) der Beitrag des Referenzgitters phasenrichtig subtrahiert werden. In Abb. 6-10A ist exemplarisch
das so berechnete Streusignal einer homogenen Si 0.7Ge 0.3 Insel auf einem Si Substrat unter
Berücksichtigung aller im Modell enthaltenen Streuer dargestellt. 36 Neben dem Vorhandensein eines
Substrat- (S) und Inselreflexes (In) ist das Bild durch eine Reihe Artefakte überlagert, die aus der
endlichen Ausdehnung des Modellsubstrates in der Simulation resultieren. Insbesondere um (S)
erstreckt sich ein lateral weit ausgedehntes Intensitätsband, das durch Oszillationen (T) moduliert
ist, die die laterale Substratgröße widerspiegeln. Auch um den Inselreflex selbst treten solche
modellbedingten Oszillationen auf. Für das Teilbild B wurde die Summation in (5-16) nur über die
Streuer in der Insel ausgeführt. Neben dem Verschwinden des Substratreflexes sind auch die durch
die Form des zugrundegelegten Substratmodells bedingten Artefakte nicht länger vorhanden. Bis
auf eine Ausnahme bei der Beugung unter streifendem Einfall wird deshalb in den folgenden Simulationen
nur über die Streuer in der Insel summiert. Selbstverständlich bleibt bei der FEM-
Deformationsanalyse das Substrat und eine Benetzungsschicht vorhanden.
35 Unter Vertikaldivergenz versteht man in diesem Zusammenhang die Divergenz senkrecht zur Beugungsebene unabhänig von der
konkreten Orientierung der Probe.
36 Die Netzverfeinerung erfolgte mit dem vierfachen Gitterparameter von Silizium, so dass das gesamte Modell ungefähr 1.2
Millionen Streuer enthält, von denen sich nur etwa 80.000 in der Insel selbst befinden. Die Simulationen wurden u.a. auf einem 400
MHz Pentium II Rechner ausgeführt, der für die Berechnung des Streuvermögens in einem Punkt des reziproken Raumes für das
hier besprochene Modell etwa 3.4 sec benötigte. Summiert man nur über die Insel, verkürzt sich die Zeit auf 0.14 sec., so dass man
für die Berechnung von Abb. 6-10A etwa 18h für Abb. 6-10B
nur 45 min benötigt. Das unterschiedlich starke Streuvermögen der
einzelnen Atomspezies ist nicht berücksichtigt, so dass hier reiner Deformationskontrast dargestellt ist.

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 83
q [A ]
-1
001
4.60
4.55
4.50
4 5 6 7 8 9 10 11 5 6 7 8
log (I)
A B
-0.50 0 0.50 -0.50 0 0.50
-1
q 110 [A ]
-1
q 110 [A ]
Abb. 6-10: Simulierte Intensitäten in der Nähe des 004 Reflexes innerhalb der
[110]-Zone. Die zugrundegelegte Si 0.7Ge 0.3 Insel besitzt eine Basisbreite von 130 nm
bei einer Höhe von 65 nm Insel und befindet sich auf einem Substrat (mit 2 nm
Benetzungsschicht), dessen laterale Dimensionen L〈110〉=260 nm und dessen Tiefe
T [001]=65 nm betragen. In (A) wird über alle Streuer (Insel und Substrat) gemäß
(5-16) summiert, während in (B) nur die Knoten innerhalb der Insel zum gezeigten
Streubild beitragen. Die Verletzung der Gitterperiodizität an den äußeren Begrenzungen
des Substrates führt im reziproken Raum auf CTRs, deren Breite invers mit
der Größe der begrenzenden Flächen skaliert. Deshalb treten in (A) neben dem
experimentell auch vorhandenen CTR entlang [001] in 〈110〉 Richtung Artefakte
auf, die von einer Oszillation (T) der Periode 2π/L〈110〉 überlagert sind. Dieses
Verhalten findet sich besonders ausgeprägt in der Nähe des Substratreflexes (S) ist
aber auch in der Umgebung des Inselreflexes (In) in (A) sichtbar.
(ii) Einfluß von experimenteller Auflösung und Vertikaldivergenz
In den vorangestellten Messungen wurde aufgrund der experimentellen Bedingungen (Öffnung des
Detektorfensters, Abstand Probe-Detektor, primärseitige Vertikaldivergenz) senkrecht zur Beugungsebene
etwa über einen Bereich von 0.006Å -1 integriert. Zumindest für die Interpretation der
Korrelationspeaks erweist sich die Berücksichtigung von Vertikaldivergenz als zwingend. Es soll im
folgenden untersucht werden, inwiefern ihre Vernachlässigung bei der Simulationen der deformationsbedingten
diffusen Streuung gerechtfertigt ist. Dafür vergleicht man beispielsweise die
Streusimulation aus Abb. 6-10B, die ohne jegliche Vertikaldivergenz gerechnet wurde, mit einer
entsprechenden Simulation, bei der man über einen Bereich von 0.006Å -1 integriert. In der vorliegenden
Rechnung in Abb. 6-11 besteht das Netz in [1-10] Richtung aus insgesamt 7 Subzellen,
bei q [110]=0 und ±{1; 2; 3}×10 -3 Å -1 Es läßt sich feststellen, dass die zusätzliche Summation senkrecht
zur Beugungsebene das Erscheinungsbild kaum verändert. Aus diesem Grunde wird in den
folgenden Simulationen auf eine Integration senkrecht zur Beugungsebene verzichtet.

84 6 SiGe/Si Inselstrukturen
-1
q 110 [A ]
q [A ]
-1
001
4.60
4.55
-0.50 0 0.50
-1
q 110 [A ]
10.0
9.5
9.0
8.5
8.0
7.5
7.0
log (I)
Abb. 6-11: Simulierte Intensität in der Nähe des reziproken Gitterpunktes 004 für
einen Si 0.7Ge 0.3 Pyramidenstumpf mit 130 nm Basisbreite und einer Höhe von
65 nm. In der Rechnung wurde über einen Bereich von 0.006Å -1 senkrecht zur
Beugungsebene integriert. Abgesehen von der Verschiebung der Gesamtintensität hin
zu größeren Absolutwerten führt die Vertikaldivergenz unter den experimentellen
Umständen zu keinen qualitativen Veränderungen des Streubildes.
0.05
0
-0.05
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 5 6 7 8
0.006 A -1
log (I)
A B
-0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05
-1
q 110 [A ]
-1
q 110 [A ]
Abb. 6-12: (A) an Probe 1005x gemessene in-plane Intensitätsverteilung durch den
004 Schichtreflex für ein konstantes q 001=4.55Å -1 . Der gezeigte Schnitt entstand
durch azimutale Drehung der Probe um 180° mit parallel zur Oberfläche ausgerichtetem
PSD, was im äußersten Bildbereich zu einer kreisrunden Begrenzung des
Meßgebietes und im zentralen Teil zu einer teils kreisförmigen Streifung aufgrund der
endlichen Schrittweite des Azimutes führt. (B) Simulation einer Insel mit 130 nm
Basisbreite entlang 〈110〉 bei einer Höhe von 65 nm. In beiden Fällen erkennt man
den Einfluß der Inselform: die größere Ausdehnung mit Inseldiagonalen entlang
〈100〉 führt (abgesehen von Abbrucheffekten) im reziproken Raum zu einer Struktur

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 85
mit inversen Ausmaßen, somit einer langen Seite entlang 〈110〉. Zur Veranschaulichung
der in den Simulationen vernachlässigbaren experimentellen Vertikaldivergenz
für alle vorangestellten Messungen ist das Integrationsgebiet von 0.006Å -1
im Teilbild (A) eingezeichnet.
Um die relevanten deformations- und formbestimmten Details in der hochaufgelösten Weitwinkelbeugung
in der entsprechenden Beugungsebene als Schnitt interpretieren zu können, reicht vor
dem PSD eine 1 mm Blende völlig aus. 37 Möchte man auch die sehr dicht beim CTR liegenden
Korrelationspeaks nur in der Zone detektieren, in der sie liegen, muß man senkrecht zur Beugungsebene
beispielsweise mit einem geeigneten Kollimatorkristall die aufgesammelte Vertikaldivergenz
einschränken.
Abb. 6-12 gibt zwei in-plane Intensitätsverteilungen in der Nähe des 004 Gitterpunktes für ein
konstantes q 001 von 4.55Å -1 als Funktion der beiden Lateralkomponenten q〈110〉 des Beugungsvektors
wieder. Teilbild A zeigt dabei eine Messung an Probe 1005x, die mit einem horizontal in
Bezug auf die Probenoberfläche positionierten PSD durch azimutale Probendrehung aufgenommen
wurde. 38 Bild B enthält eine Simulation für einen {111} facettierten Pyramidenstumpf mit
(001) Deckfacette wie in Abb. 5-1 mit einer Basis B 110=130 nm bei h=65 nm. Im unteren Drittel
besteht sie aus Si 0.75Ge 0.25 während die Ge-Konzentration darüber 30% beträgt. Man erkennt
deutlich, dass die Form der diffusen Intensität in diesem Schnitt durch die Inselform geprägt ist.
Die entlang 〈110〉 ausgerichtete Form im Ortsraum transformiert sich im reziproken Raum in eine
um 45° gedrehte vierzählige Struktur. Dies ist bereits ein Indiz für einen starken Formeinfluß auf
das Muster (M0) in Abb. 6-6, wenngleich auch das Deformationsfeld dieses prägt. In Bezug auf die
Ausdehnung der Formfunktion im reziproken Raum nimmt sich das für die Vertikaldivergenz
relevante eingezeichnete Integrationsgebiet von 0.006Å -1 Breite vergleichsweise klein aus, so dass
das Simulieren von 2-dimensionalen Schnitten für diese Strukturen tatsächlich gerechtfertigt ist.
Wichtig in diesem Zusammenhang ist die Bemerkung, dass nur über die Knoten der Insel summiert
wurde, so dass die vierzählige Struktur in Abb. 6-12 allein durch Streuung an der Insel entsteht. In
Kap. 6.4 wird ein ähnliches Muster in der in-plane Intensitätsverteilung unter GID Bedingungen
sichtbar, dass jedoch im Gegensatz zu dem besprochenen Effekt durch Streuung an Teilen des
Substrates hervorgerufen wird.
6.2.2.1 Homogene Insel
Für die erste Iteration der Simulation wird eine an den Seiten durch {111} Facetten und nach oben
durch eine (001) Deckfacette begrenzte Insel angenommen, deren Basis 130 nm und deren Höhe
65 nm beträgt. Die Insel möge wie vorher aus homogenem Si 0.7Ge 0.3 bestehen und auf einer 2 nm
dicken Benetzungsschicht, die sich auf einem Si-Substrat befindet, aufgewachsen sein. Bei der
37 Für diese Abschätzung möge die angebotene Primärstrahldivergenz senkrecht zur Beugungsebene klein gegen das Integrationsgebiet
des Detektors sein. Für ein Experiment am Synchrotron läßt sich diese Voraussetzung hinreichend gut erfüllen. Beispielsweise
hat man am Strahlrohr BW2 des HASYLAB eine horizontale Primärstrahldivergenz (= Vertikaldivergenz im Proben-Koordinatensystem)
von etwa 0.1 mrad. Dann ergibt sich für einen Abstand Detektor-Probe von 700 mm bei einer 1 mm Detektoröffnung
ein Integrationsgebiet senkrecht zur Beugungsebene von: ∆q=(2π/λ)∆Θ=(2π/λ)(1/700)≈0.006Å -1.
38 Das Integrationsgebiet senkrecht zur Beugungsebene, also entlang [001] beträgt wie in den vorangestellten Messungen 0.006Å -1, da
die gleiche jedoch um 90° gedrehte Anordnung mit 1 mm Schlitzblende vor dem PSD benutzt wurde.

86 6 SiGe/Si Inselstrukturen
Bestimmung des Deformationsfeldes gehen neben Form und Größe, die elastischen Eigenschaften
und die Gleichgewichtsgitterparameter entsprechend der Ge-Konzentration von Insel und Substrat
in die Simulationen ein. Für eine einmal gewählte Form verbleibt als einziger freier Parameter das
Zusammensetzungsprofil.
130 nm
Substrat
Benetzungs-
Insel
schicht
Silizium
65 nm
78 nm
30% Ge
Abb. 6-13: Totale Deformationen ε xx (□ und □) und ε zz (■ und ■) entlang der
[001] Richtung im Inneren einer homogenen Si 0.7Ge 0.3 Insel auf einem Silizium
Substrat für zwei unterschiedliche Inselhöhen (I) h=65nm (rote Kurven) und (II)
h=78 nm (schwarze Kurven). Bei z=0 befindet sich die Inselbasis und in (B) bzw.
(C) erreichen die Inseln ihre maximale Höhe. Während bei der größeren Insel im
Apex bereits vollständige elastische Relaxation vorliegt (ε xx = ε zz ), können die
obersten Bereiche der niedrigeren Insel noch nicht vollständig relaxieren, wie man an
dem Unterschied zwischen ε xx und ε zz deutlich erkennt. Berücksichtigt man die
Anzahl der FEM-Knoten, die zu einem bestimmten ε zz gehören (entsprechend der
Größe der (001) Fläche in Abhängigkeit von h) ergibt sich in der Insel ein gemitteltes
ε zz von 0.016.
Wenn man von unterschiedlichem Streuvermögen der einzelnen Komponenten absieht, 39 so ist die
Beugung mit Röntgenstrahlen nur mittelbar infolge lokaler Gitterdeformationen auf unterschiedliche
Zusammensetzungen empfindlich. In Abb. 6-13 sind für zwei homogene Si 0.7Ge 0.3
Inseln 40 die Größen, die maßgeblich die simulierte diffuse Intensität bestimmen, aufgetragen. Es
sind - im Sinne einer auf das Substrat bezogenen totalen Deformation - die Komponenten des De-
39 Der vernachlässigbare Einfluß des Strukturfaktors (genaugenommen der Unterschied zwischen den Atomformfaktoren der
beteiligten Atomspezies fSi und fGe) wird erst in Kap. 6.2.2.6 diskutiert. Für eine homogene Insel, die den numerisch am
einfachsten zu realisierenden Fall darstellt und deshalb an erster Stelle untersucht wird, führte die Berücksichtigung eines von q
unabhängigen Strukturfaktors ohnehin nur zu einer für alle reziproken Gitterpunkte gleichen Verschiebung der absoluten
Beugungsintensität. Deshalb wird der Strukturfaktoreinfluß erst nach Einführung verschiedener anderer Ge-Verläufe an einem
Modell mit abruptem Konzentrationssprung diskutiert.
40 Aus dem -404 Reflex ergab sich für die Streuung an den relaxierten Bereichen eine mittlere Verspannung des Gitters von etwa
0.0125, so dass als Ausgangskomposition Si0.7Ge0.3 gewählt wurde, das gegenüber Silizium einen entsprechenden relativen Gitterparameterunterschied
aufweist.

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 87
formationstensor ε xx und ε zz. Während ε zz einen Sprung an der Grenzfläche Substrat-Benetzungs-
schicht erfährt, verläuft ε xx stetig. Dieses Verhalten würde man für das pseudomorphe Aufwachsen
auch erwarten: der größere Gitterparameter in Insel und Benetzungsschicht führt in der näheren
Umgebung der Grenzschicht zu einer starken tetragonalen Deformation, mithin zu einem Sprung
in ε zz, während der laterale Gitterparameter exakt dem des Substrates folgt und erst mit zunehmender
Inselhöhe sich dem für die konkrete Zusammensetzung maximalen Gitterparameterunterschied
annähert. 41 Man erkennt, dass bei der niedrigeren Insel (rote Kurven) das Gitter in Apexnähe
noch nicht vollständig relaxiert ist, während bei der höheren Insel beide Komponenten den
gleichen Wert 0.0125 annehmen, welcher sich aus dem vollständig relaxierten System Si 0.7Ge 0.3/Si
ergibt. Mit zunehmender Tiefe muß der Einfluß der Insel auf das Substrat immer geringer werden
und beide Komponenten sich dem Wert Null annähern. Andeutungsweise wird dieses Verhalten im
linken Teil der Graphen widergespiegelt. Nimmt man für eine grobe Abschätzung laterale
Homogenität für die zz-Komponente des Deformationstensors an, so ergibt sich ein über die Höhe
gemitteltes ε zz von 0.016. In Realität fällt dieser Wert etwas geringer aus, da ε zz außerhalb der
Symmetrieachse für die gleiche Höhe kleiner ist.
Für die Diskussion der einzelnen Konzentrationsprofile wird zunächst nur auf den 004-Reflex
innerhalb der [100]-Zone Bezug genommen. Das ist insofern günstig, als dass in diesem Schnitt
keine Facettenrods das Streubild überlagern und eine systematische Untersuchung des Deformationskontrastes
erschwerten. Die kinematischen Streurechnungen wurden wie oben erläutert für
eine Einzelinsel ohne Substrat ausgeführt.
B 110
h
A
q [A ]
-1
001
4.60
4.58
4.56
4.54
4.52
4.50
-0.05 0.00 0.05
-1
q 100 [A ]
Abb. 6-14: (A) Modell einer homogenen Si 0.7Ge 0.3 Insel von 30% mit B=130nm
und h=65nm auf einem Si(001) Substrat mit einer 2 nm dicken Benetzungsschicht.
(B) simulierte diffuse gestreute Intensität in der Nähe des 004 Inselreflexes (I). Das
Subnetz nach der Verfeinerung besitzt den vierfachen Gitterparameter von Silizium.
41 „Pseudomorph“ bezieht sich also streng genommen nur auf den Grenzbereich Benetzungsschicht/Insel.
B
I
8
7
6
5
log (I)

88 6 SiGe/Si Inselstrukturen
In Abb. 6-14B ist die von einer Insel mit homogener Ge-Verteilung diffus gestreute Intensität in
der Nähe des 004 Gitterpunktes innerhalb der [100]-Zone dargestellt. Das Intensitätsmaximum (I)
befindet sich bei q 001=4.565Å -1 . Diese Position entspricht einem mittleren ε zz von 0.014, was gut zu
dem gemittelten Wert aus FEM passt. In der Messung Abb. 6-6, erscheint das Maximum bei
gleichem q 001, dennoch wird die Gesamtform der diffusen Intensität nur unzureichend reproduziert.
Der Hof der diffusen Intensität befindet sich im Vergleich zur Messung bei zu kleinem q 001, was die
Vermutung eines lokal niedrigeren Ge-Gehalt in bestimmten Bereichen der Insel nahe legt.
6.2.2.2 Abrupter Konzentrationssprung bei h/2
Die im vorigen Kapitel zugrundegelegte homogene Ge-Verteilung innerhalb der Insel gibt die
Realität offensichtlich nur unzureichend wieder. Um eine Verbesserung in der Übereinstimmung
zwischen Messung und Simulation zu erreichen, wurden für verschiedene Ge-Profile die diffus
gestreuten Intensitäten simuliert. Dabei bleibt vorab die äußere Form der Insel konstant. Als erstes
Beispiel einer strukturierten Insel soll ein Konzentrationssprung bei der Hälfte der Inselhöhe von
im unteren Teil 25% Germanium (Bereich I) auf 30% in der oberen Hälfte (Bereich II) untersucht
werden. Die Tendenz, dass sich im oberen Teil ein höherer Ge-Gehalt abscheidet, wird aus zwei
Gründen plausibel. In Kap. 2.4 wurde deutlich, dass das Inselwachstum über flache
Pyramidenstümpfe in einem Anfangsstadium hin zu höheren Stümpfen in einer zweiten Phase
erfolgt. Mit Sicherheit kann das Gitter der flachen Inseln bereits elastisch relaxieren und somit eine
erhöhte Wahrscheinlichkeit für das weitere Wachstum mit einer erhöhten Ge-Konzentration
realisieren. Dieser Prozeß wird darüber hinaus von einer Si-Verarmung der Schmelze begleitet,
mithin einem vergleichsweise erhöhten Angebot von Germanium.
In Abb. 6-15 sind die Komponenten ε xx und ε zz in der Symmetrieachse einer gradierten Insel
gezeigt. Während sich die laterale Komponente ε xx im Vergleich zu einer homogenen Insel kaum
ändert, erfährt ε zz bei der Hälfte der Inselhöhe einen Sprung. Da sich in der FEM Rechnung nur
Elementen bestimmte Materialeigenschaften zuweisen lassen, und Elemente durch Knoten begrenzt
sind, erstreckt sich der Übergangsbereich vertikal über mindestens zwei Elemente, dessen
Ausdehnung entlang z in diesem Fall 8 nm beträgt, also etwa 13 % der Gesamthöhe des Pyramidenstumpfes.
Der vollständig im unteren Bereich der Insel liegende Knoten (1) zeigt ein
ε zz=0.0115, was auf eine nahezu vollständige Relaxation an der Oberkante des unteren Teilbereiches
schließen läßt, (der im FEM Modell angenommene Gitterparameterunterschied in
Bereich I beträgt 0.0105, respektive 25% Germanium). Da der erste Knoten (2) jenseits der inneren
Grenzfläche in Bereich II ein ε zz von 0.0130 aufweist, kann man schlußfolgern, dass der gesamte
obere Bereich nur vergleichsweise schwach verspannt ist.

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 89
Substrat
Benetzungs-
Insel
schicht
Silizium
25% Ge
1 2
30% Ge
Abb. 6-15: Totale Deformationen ε xx (□) und ε zz (■) entlang der [001] Richtung
im Inneren einer SiGe Insel auf einem Silizium Substrat. Der Ge-Gehalt ändert sich
bei der Hälfte der Inselhöhe von 25% auf 30%. Bei z=0 (A) befindet sich die
Inselbasis bei (C) erreicht die Insel ihre maximale Höhe. Man erkennt, dass im
Bereich h/2 der Konzentrationssprung im FEM-Modell nicht zu einer abrupten
Veränderung von ε zz führt, sondern über einen Bereich von drei Knoten verschmiert
ist (B). Das entspricht einer Schichtdicke von etwa 8 nm.
Die in der Nähe des (004) Reflexes diffus gestreute Intensität in Abb. 6-16B weist entlang q 001 im
Gegensatz zu einer homogenen Insel Ge-Verteilung zwei Maxima auf: bei =4.565Å -1 ( I )
q
und bei
q
( II )
001
=4.551Å -1 . Maximum (I) entsteht durch Streuung an den relaxierten Bereichen der Insel.
Durch den im Vergleich zur Si 0.3Ge 0.7 Insel geringeren Ge-Gehalt in der unteren Inselhälfte etwas
kleineren vertikalen Gitterparameter wird die diffuse Intensität zu größeren q 001 verschoben ist.
Diese Verschiebung einerseits und ein Phasensprung am Interface andererseits führen zu
Maximum (II). Die durch die unterschiedlichen Bereiche hervorgerufenen vertikalen Schichtdickenoszillationen
(v) sind besonders im Bereich q 001>4.58Å -1 ausgeprägt, ihr mittlerer vertikaler Abstand
beträgt etwa 0.015Å -1 und korrespondiert zur halben Inselhöhe h/2 entsprechend der vertikalen
Ausdehnung der beiden Subbereiche. In der Messung sind diese Oszillationen ebenfalls vorhanden,
während sie in der Simulation für die homogene Insel nicht auftreten. Obwohl die beiden Muster
(M1) und (M2) ansatzweise ausgeprägt sind, ist die Übereinstimmung von Simulation und Messung
noch vergleichsweise schlecht, so dass eine gradierte Insel mit einem Konzentrationssprung bei h/2
ausgeschlossen wird.
001

90 6 SiGe/Si Inselstrukturen
h/2
B 110
I
h
A
q [A ]
-1
001
4.60
4.58
4.56
4.54
4.52
4.50
-1
q 100 [A ]
B
-0.05 0.00 0.05
v
I
II
M1
M2
Abb. 6-16: Inselmodell (A) mit einem diskreten lateral konstantem Konzentrationssprung
bei h/2. Die Konzentration ändert sich von 25% unten (Bereich I) auf 30%
in der oberen Hälfte (Bereich II) des Inselvolumens. Die äußere Form und die Größe
der Insel stimmen mit dem vorigen Modell überein. (B) simulierte diffuse gestreute
Intensität in der Nähe des 004 Reflexes.
6.2.2.3 Linearer Konzentrationsgradient
8
7
6
5
log (I)
Ein mögliches in vertikaler Richtung linear verlaufendes Konzentrationsprofil wurde durch eine
vierfache Subschichtung innerhalb des Pyramidenstumpfes angenähert. Dabei erhöht sich wie in
Abb. 6-17A gezeigt die Konzentration von 20% Germanium am Inselfuß über 25% und 30% hin
zu 35% im Inselapex. In Teilbild B ist die an einer solchen Insel diffus gestreute Intensität in der
Nähe des 004 Gitterpunktes dargestellt. Das Maximum (I) der diffusen Intensität verschiebt sich im
Vergleich zum vorigen Modell kaum. Es befindet sich bei q 001=4.566Å -1 . Auch Maximum (II) tritt
nahezu unverändert bei q 001=4.555Å -1 auf. Davon abgesehen weisen beide Streubilder erhebliche
Unterschiede auf, im besonderen ändern sich Form und Lage der Muster (M0), (M1) und (M2). Die
vertikalen Oszillationen bei q 001>4.58Å -1 würde man aufgrund der halbierten vertikalen
Ausdehnung der Subschichten mit dem doppelten Abstand entlang q 001 erwarten. In der
Streurechnung werden diese offensichtlich durch den vorliegenden Deformationskontrast stark
überlagert und können nicht einzeln aufgelöst werden. Davon abgesehen, ist die Übereinstimmung
zwischen Messung und Simulation tendenziell sogar schlechter als für das vorige Modell, so dass
ein linearer Kompositionsgradient ebenfalls ausgeschlossen werden kann.

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 91
B 110
IV
III
II
I
h/4
h/4
h/4
h/4
-1
q 001 [A ]
4.60
4.58
4.56
4.54
4.52
A B
4.50
-0.05 0.00 0.05
-1
q 100 [A ]
Abb. 6-17: Inselmodell (A) mit vertikal gradiertem Ge-Gehalt beginnend mit 20%
Germanium im Inselfuß über 25% und 30 % in den Bereichen II und III bis zu
35% Ge im oberen Viertel der Insel. Äußere Form und Inselgröße stimmen mit dem
vorigen Modell exakt überein. (B) simulierte diffuse gestreute Intensität in der Nähe
des 004 Reflexes.
6.2.2.4 Pyramidenförmiger Einschluß
I
M0
M2
M1
II
8
7
6
5
log (I)
Bei den Untersuchungen zur Inselentstehung wurde beobachtet, dass vor Ausbildung einer
abgestumpften Pyramide das Wachstum über unterschiedliche Seitenfacetten erfolgt. Die Steilheit
nimmt für eine fixe Höhe bis zu einem Winkel von etwa 16° zu, gefolgt von einem sehr raschen
Übergang hin zu Pyramidenstümpfen immer noch gleicher Höhe. Im Anschluß erfolgt das
Wachstum fast nur noch entlang [001], während sich die Inselbasis kaum verbreitert. Dieser Befund
läßt die Vermutung zu, dass die Form des Ge-Gradienten in der Insel, der einer
pyramidenförmigen Inklusion entsprechen könnte. In Abb. 6-18A ist ein Schnitt durch das diese
Vorstellung berücksichtigende FEM Modell gezeigt. Durch die Modellierung bedingt, handelt es
sich nicht um einen perfekten durch runde Formen begrenzten Einschluß sondern eine kleine spitz
zulaufende Pyramide mit einem Ge-Gehalt von 25% umgeben von einer 30%igen Matrix. Der
innere Inselapex befindet sich bei einem Drittel der Gesamthöhe. 42 Die simulierte Intensität in Abb.
6-18B zeigt ebenso wie für die homogene als auch die Insel mit lateral homogenem
Konzentrationssprung bei h/2 ein Maximum (I) bei q 001=4.565Å -1 , das durch Streuung am
kohärenten Teil der Insel hervorgerufen wird, während die diffuse Intensität aufgrund des
geringeren Ge-Gehaltes von 25% im Inselfuß zu größeren q 001 verschoben ist.
42 Es wird bewußt wegen der Vergleichbarkeit mit dem im nächsten Kapitel diskutierten Modell eine andere vertikale Aufteilung der
Insel bei h/3 gewählt.

92 6 SiGe/Si Inselstrukturen
h/3 I
B 110
h
A
q [A ]
-1
001
4.60
4.58
4.56
4.54
4.52
4.50
-0.05 0.00 0.05
-1
q 100 [A ]
B
I
M1
M2
Abb. 6-18: Inselmodell (A) mit einer linsenförmigen Inklusion der Ge-
Konzentration 25% umgeben von einer Si 0.7Ge 0.3 Matrix. Die Höhe des
Einschlusses beträgt im Scheitel ein Drittel der Gesamthöhe der Insel. (B) simulierte
diffus gestreute Intensität in der Nähe des 004 Gitterpunktes an einer Insel mit dem
in (A) gezeigten inneren Aufbau.
8
7
6
5
log (I)
Die Muster (M1) und (M2), die ansatzweise auch schon in der vorangestellten Simulation präsent
waren, verändern ihre Lage hin zu kleineren q 001, was tendenziell die Übereinstimmung mit der
Messung verbessert, jedoch durch Veränderung des Modells noch weiter forciert werden konnte.
Insbesondere die Form der Verteilungen (M1) und (M2) wird nicht hinreichend gut durch die
Simulation reproduziert.
6.2.2.5 Abrupter Konzentrationssprung bei h/3
Die Annahme eines abrupten, über 13% der Inselhöhe verlaufenden vertikalen Ge-Gradienten, in
Abb. 6-19A von 25% im unteren Teilbereich I auf 30% im Bereich II bei einem Drittel der
Inselhöhe erweist sich als Optimum. Dabei ist zu berücksichtigen, dass es sich nicht um einen
Sprung sondern um einen auf etwa 8 nm vertikal eingegrenzten Übergangsbereich handelt. Sowohl
die Lage des Maximums (I) in Abb. 6-19B als auch Form und Lage der Muster (M1) und (M2)
stimmen mit der Messung sehr gut überein.
Auch die in der [110]-Zone liegenden Reflexe werden unter Annahme eines vertikal abrupten
Konzentrationsgradienten sehr gut reproduziert. In Abb. 6-20 sind zwei simulierte Intensitätsverteilungen
in der Nähe der 004 und -1-13 Gitterpunkte dargestellt. Die augenfälligste Veränderung
im Vergleich zum 004 Reflex in der [100]-Zone ist in beiden Fällen das Vorhandensein von
Facettenrods (F) unter einem Winkel von 54.7°.

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 93
q [A ]
-1
001
h/3
4.60
4.55
4.50
B 110
I
h
A
q [A ]
-1
001
4.60
4.58
4.56
4.54
4.52
4.50
B
-0.05 0.00 0.05
-1
q 100 [A ]
I
M1
M2
Abb. 6-19: Inselmodell (A) mit einem diskreten Konzentrationssprung bei h/3. Die
Konzentration ändert sich von 25% unten auf 30% in den oberen zwei Dritteln des
Inselvolumens. In (B) ist die simulierte diffuse Intensität für eine solche Insel in der
Nähe des 004 Reflexes gezeigt.
A
-0.50 0 0.50
-1
q 110 [A ]
q [A ]
-1
001
3.50
-1.70 -1.65 -1.60 -1.55
-1
q 110 [A ]
S
F
F
I
II
3.45
3.40
v
l
0
I
II
G 3.35
Abb. 6-20: Simulation der diffus gestreuten Intensität in der Nähe der reziproken
Gitterpunkte 004 (A) und -1-13 (B). Der -1-13 Substratreflex (S) befindet sich bei
(q 110=-1.636Å -1 ; q 001=3.471Å -1 ). Der tetragonal deformierte Teil der Insel führt zu
diffuser Intensität bei einem q 110, welches der lateralen Substratposition entspricht und
als Bereich II markiert ist. Im relaxierten Teil der Insel besitzen die Einheitszellen
nahezu kubische Symmetrie, was zu Intensität in radialer Richtung von (S)
ausgehend in Richtung Ursprung im Bereich (I) führt. Darüber hinaus werden die
Facettenrods (F) und die lateralen (l) wie auch die vertikalen (v) Dickenoszillationen
der Messung aus Abb. 6-4 sehr gut reproduziert. Im symmetrischen Reflex 004 liegt
das Zentrum beider Verteilungen (I) und (II) auf dem Truncation Rod..
B
8
7
6
5
log (I)
8
7
6
5
4
log (I)
Da in der Simulation die Streuung nur eines Inseltyps mit vorgegebener Größe berechnet wurde,
treten die vertikalen (v) und lateralen (l) Dickenoszillationen im Vergleich zu den Messungen (Abb.

94 6 SiGe/Si Inselstrukturen
6-6 und Abb. 6-8) überbetont hervor. Durch Berücksichtigung leicht verschiedener Inseltypen ließe
sich ein rascherer Abfall realisieren. Auf diese Weise wäre es prinzipiell möglich, die Größenverteilung
der Inseln abzuschätzen.
q [A ]
-1
001
4.60
4.55
4.50
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-0.05 0
-1
q 100 [A ]
0.05
log (I)
5 6 7 8
A B
CTR
K
M0
M1
M2
-0.05 0
-1
q 100 [A ]
0.05
Abb. 6-21: (A) Gemessene Intensität in der Nähe des reziproken Gitterpunktes
004 an Probe 1005x und (B) Simulation unter der Annahme eines der äußeren
Form nach gleichen Pyramidenstumpfes wie in Abb. 6-19A jedoch mit einer
Basisbreite von 110 nm bei einer Höhe von 55 nm. Der Ge-Gehalt erfährt bei einem
Drittel der Inselhöhe einen Sprung von 32% im unteren Bereich auf 38% in den
oberen zwei Dritteln.
Als weiterer experimenteller Beleg für einen vertikal stark lokalisierten Ge-Sprung soll eine
Messung in der Umgebung des 004 Reflexes in der [100]-Zone an Probe 1005x angeführt werden.
In Abb. 6-21 wird diese mit einer entsprechenden Simulation in Teilbild B verglichen. Die Messung
entspricht qualitativ der an Probe 1082 (siehe Abb. 6-6), mit gewissen quantitativen Unterschieden.
Zum einen erscheint hier der Inselreflex bei einem kleineren q 001=4.544 Å -1 , was auf einen erhöhten
mittleren Ge-Gehalt schließen läßt. Verbunden mit einer solchen Konzentrationserhöhung ist eine
Verkleinerung der Inseln, so dass für die nebenstehende Simulation eine formgleiche Insel mit
{111} Seiten- und einer (001) Deckfacette jedoch mit reduzierter Basisbreite B 100=110 nm und
einer Höhe h=55 nm zugrundegelegt wurde. Andererseits erscheinen die entsprechende
Korrelationspeak (K) neben dem Truncation Rod (CTR) mit einem größeren mittleren Abstand
von =0.0033Å -1 HRXRD
∆
, der bereits darauf hindeutet, dass ein etwa um den Faktor 1.5 kleinerer
q 100
Insel-Insel Abstand in den Ketten als bei Probe 1082 vorliegen muß. In Kap. 6.3 finden diese
Ergebnisse in vergleichende in-plane GISAXS Messungen und aus AFM gewonnenen Powerspektren
eine zusätzliche Bestätigung.
Den Streubildern beider Proben gemeinsam sind die deformationsbedingten Muster (M1) und
(M2), die praktisch als eine Art „Fingerabdruck“ der durch einen Konzentrationssprung bei einem
Drittel der Inselhöhe hervorgerufenen Deformation betrachtet werden können, wobei sich die

6.2 Deformationsfelder und Konzentrationsverlauf in SiGe Inseln 95
Simulationen als äußerst empfindlich auf kleine Änderungen der Modellannahmen erweisen. Die im
Vergleich zu Probe 1082 kleineren Inseln führen zu einer Verschiebung der Intensitätsverteilung
(M0) hin zu größeren |q 100|.
6.2.2.6 Einfluß des Atomformfaktors
Die diffus gestreute Intensität hängt neben dem Deformationsfeld u(R i) noch über die
Strukturamplitude F ideal (q,R i) in (5-16) vom unterschiedlichen Streuvermögen der Atome in den
Superzellen ab. Bei der Verwendung von Energien um 8000 eV liegen die Absorptionskanten von
Silizium und Germanium hinreichend weit entfernt, um |F ideal | proportional zu den Kernladungszahlen
Z i der entsprechenden Atomspezies in den verschiedenen Bereichen der Insel
anzusetzen. Zum anderen erstreckt sich das um einen Reflex betrachtete Gebiet im reziproken
Raum nur über einen kleinen Bereich, so dass wir die q-Abhängigkeit der Strukturamplitude vernachlässigen
können.
Abb. 6-22: Simulierte Intensitäten in der Nähe des 004 Reflexes für ein konstantes
q 100=0.01Å -1 . Die strukturamplitudenunabhängige Simulation (■) ist einzig auf
Gitterparameterunterschiede empfindlich, während bei Berücksichtigung der unterschiedlichen
Streuvermögen (□) das Signal sowohl Deformations- als auch
Kompositionskontrast zeigt. Inselform und –aufbau gleichen dem in Abb. 6-19
gezeigten Modell einer Pyramide mit diskretem Konzentrationssprung von 25% im
unteren Drittel auf 30% darüber. Der Faktor zwischen beiden Kurven resultiert aus
dem von 1 abweichenden Faktor a bei ‚Einschalten’ des Strukturfaktors.
Die aus dem unteren Teil der Insel (Bereich I) stammende Streuung wird durch die
Berücksichtigung der Strukturamplitude gegenüber Intensität, die aus dem oberen Teil (Bereich II)
stammt, aufgewertet. Dies allerdings nur um einen vergleichsweise geringen relativen Faktor:
2
⎡ xI
Z Ge + ( 1−
xI
) Z Si ⎤
a = ⎢
⎥
(6-1)
⎣ xII
Z Ge + ( 1−
xII
) Z Si ⎦

96 6 SiGe/Si Inselstrukturen
der für die angenommenen Konzentrationen (x I=25% Ge und x II=30%) den Wert 1.08 annimmt.
Entsprechend klein ist der Einfluß auf das Beugungsbild, was anhand eines Schnittes durch zwei
Vergleichssimulationen in Abb. 6-22 um den 004 Reflex in der [100]-Zone mit und ohne
Berücksichtigung der Strukturamplitude deutlich wird. Es wird deshalb mit Nachdruck darauf
hingewiesen, dass die diskutierten Konzentrationsprofile nur einen mittelbaren - über den Umweg
des modifizierten Deformationsprofiles - Einfluß auf die simulierten Streuintensitäten ausüben,
während man nahezu unempfindlich auf den direkten chemischen (Strukturfaktor-)kontrast ist.
6.2.3 Geometrisches Aspektverhältnis Basisbreite zu Inselhöhe
Im Kap. 6.2.2 wurden eingehend der Einfluß eines Konzentrationsgradienten in den Inseln auf das
Beugungsbild untersucht. Dabei wurde in allen Fällen die äußere Form der Insel, wie sie mit den
direktabbildenden Verfahren SEM und AFM bestimmt wurde, unverändert beibehalten. Diese
belegen eine hohe Konformität in Hinblick auf Größe und Form. Insofern bestand bei den
Simulationen eigentlich kein zwingender Grund, das geometrische Aspektverhältnis Breite zu
Inselhöhe als freier Parameter zu modifizieren. Dennoch soll an diesem Punkt auf einen mit einer
solchen Formänderung verbundenen, interessanten Zusammenhang hingewiesen werden.
-1
q 001 [A ]
log(I)
4.60
4.55
4.50
-1.0 -0.5
0
0.5 1.0 1.5 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0
-4.60 -4.55
-1
q 100 [A ]
S
v
I
0 II
A
-4.60 -4.55
-1
q 100 [A ]
B C
-4.60 -4.55
-1
q 100 [A ]
Abb. 6-23: Gemessene Intensität (A) in der Umgebung des -404 Reflexes. Die
diffuse Intensität besteht aus zwei Anteilen: (I) Intensität infolge des fast vollständig
relaxierten Bereiches in der Inselspitze und (II) diffuse Intensität hervorgerufen durch
die stärker deformierten Gebiete am Fuß der Insel. Die Position des Substratreflexes
(S) befindet sich bei -q 100=q 001=4.628Å -1 . Aufgrund der Neigung der die Pyramiden
begrenzenden 〈101〉 Kanten von 45° gegen die Substratoberfläche erscheinen
die charakteristischen Intensitätsmodulationen (v) ebenfalls unter 45° geneigt. Als
sehr empfindlich auf deren Ausbildung erweist sich das angenommene Aspektverhältnis
Inselhöhe/Basisbreite. Simulation (B) liegt eine 65 nm hohe Insel bei einer

6.3 Insel-Insel-Korrelation 97
Inselbasis von 130 nm mit einem Konzentrationssprung von 25% auf 30% Ge bei
einem Drittel der Inselhöhe zugrunde, während bei (C) eine 78 nm hohe Insel gleicher
Basis angenommen wurde, deren Ge-Profil ebenfalls bei h/3 einen Sprung von 25%
auf 30% Ge aufweist. In (C) kommt es zu einer starken Verschmierung des Musters
(v), wohingegen in (B) die Oszillationen deutlich reproduziert werden.
Für die Reflexe innerhalb der [110]-Zone, führt eine reine Skalierung der Inselgröße nur zu
veränderten Abständen der Schichtdickenoszillationen. Das gilt gleichermaßen für die lateralen und
vertikalen Muster. Zumindest für die vertikalen Oszillationen (v) beim -404 Reflex in Abb. 6-9
konnte nachgewiesen werden, dass eine leicht verändertes Aspektverhältnis stark dämpfend auf
diese wirkt. In Abb. 6-23 wird die gemessene Intensität (Teilbild A) an Probe 1082 mit zwei
Simulationen (Teilbilder B und C) verglichen, deren zugrundegelegte Inselmodelle sich nur in der
Höhe unterscheiden. Beide weisen {111} Seiten- und eine (001) Deckfacette bei gleicher
Basisbreite von 130 nm auf. Ein Aspektverhältnis von 0.5 (Teilbild B) reproduziert in der diffusen
Streuung die Schichtdickenoszillationen (v) sehr gut, wohingegen für eine 78 nm hohe Insel
(Teilbild C) diese nicht mehr vorhanden sind. Offensichtlich führt das veränderte Aspektverhältnis
(sicher auch das geänderte Deformationsfeld) zu einer Art destruktiver Interferenz, in deren Folge
die vertikalen Dickenoszillationen unterdrückt werden. Aus methodischer Sicht ergibt sich daraus
eine sehr interessante Vorgehensweise, bei welcher man das mit der äußeren Form verbundene
Deformationsfeld als Sonde zur Morphologieaufklärung benutzt. In Kap.7.1 wird dies beispielhaft
am System selbstorganisierter InP Inseln auf an GaAs gitterangepaßtem InGaP diskutiert.
6.3 Insel-Insel-Korrelation
Neben lithographischen Verfahren stellt das selbstorganisierte Wachstum eine sehr effiziente
Methode zur Herstellung hochgeordneter Quantenstrukturen dar. Entsprechend umfangreich sind
die Bemühungen, die Entstehungsmechanismen und die treibenden Kräfte dahinter besser zu
verstehen, um gezielt Größe, Zusammensetzung, Dichte und Korrelation der Objekte beeinflussen
zu können. Eine Vielzahl von Untersuchungen an verschiedensten Materialsystemen beschäftigt
sich mit der lateralen Selbstorganisation verspannter Stranski-Krastanow Inseln. Shchukin et.al.
[SLK95], [SLG96] konnten für eine Anordnung kohärent gewachsener dreidimensionaler
Inseln zeigen, dass der Beitrag der Kantenspannungen zur Deformationsenergie ein Minimum als
Funktion der Inselgröße aufweisen kann. Darüber hinaus besitzt auf einem kubischen (001)
orientierten Substrat eine Anordnung der Inseln in Ketten entlang der weichen kristallographischen
Richtungen 〈100〉 ein Minimum gegenüber anderen Konfigurationen. Dieser Befund deckt sich mit
kinetischen Monte-Carlo Simulationen zur Entstehung von Inselensembles unter Berücksichtigung
anisotroper Materialeigenschaften [MSS01] und den in Kap. 2.4 gemachten Beobachtungen an
SiGe Inseln. Röntgenographische Untersuchungen für verschieden dichte Inselensemble bei etwa
gleicher Inselgröße ergaben eine zusätzliche Ordnung der Inseln entlang 〈110〉 für den Fall, dass
Inselgröße und -abstand in der gleichen Größenordnung sind [SWR98]. Ein Weg, Anordnungen
abweichend von den anisotrop vorgegebenen Vorzugsrichtungen zu erzielen, besteht im Wachstum
auf fehlgeschnittenen Substraten, die durch Ausbildung von Stufenbündeln andere Richtungen für
die Inselketten favorisieren [ZBA98]. Dabei legt die Fehlschnittrichtung die langreichweitige

98 6 SiGe/Si Inselstrukturen
Ordnung senkrecht zu den Stufenbündeln fest, während die starke Wechselwirkung über das
Spannungsfeld die relativen Lagen auf ihnen bestimmt.
Der Grad an lateraler Ordnung läßt sich noch erhöhen, indem man mehrere heteroepitaktische
Schichten abwechselnd übereinander abscheidet. Im Rahmen eines deterministischen Wachstumsmodelles
konnten Tersoff et.al. für einen Vielfachstapel von versetzungsfreien Inseln, die vertikale
Korrelation auf das Spannungsfeldes über bereits bestehenden Inseln zurückführen [TTL96].
Dabei kommt es mit zunehmender Schichtzahl zu einer Art Auslese mit dem Ergebnis einer gleichmäßigeren
Größenverteilung der Inseln verbunden mit der Forcierung eines Inselabstandes. Der
Zwischenschicht kommt bei diesem Prozeß die Funktion eines Bandpaßfilters zu, der einerseits die
Vererbung sehr kleiner lateraler Inselabstände in vertikaler Richtung unterdrückt und andererseits
für sehr lockere Formationen Inselnukleation in Zwischenräumen über bereits bestehenden Inseln
in den darunter liegenden Lagen begünstigt. Mit steigender Dicke der Zwischenschicht wird der
Einfluß der vergrabenen Quantenpunkte auf die Nukleationswahrscheinlichkeit neuer Inseln immer
kleiner [SRB00]. Mit TEM Untersuchungen an InAs Quantenpunkten auf einem GaAs Substrat
[XMC95] konnte die obere Grenze zu etwa 200 Monolagen GaAs für die Zwischenschicht bestimmt
werden jenseits derer vertikale Korrelation völlig verloren geht. In einem Gebiet zwischen
40 und 200 Monolagen besteht eine teilweise vertikale Korrelation der InAs Quantenpunkte, für
Schichtdicken kleiner 40 Monolagen ist die vertikale Vererbung nahezu perfekt. Zur Charakterisierung
der erreichten lateralen Korrelation an der Oberfläche bieten sich direktabbildende
Verfahren wie AFM und SEM an. Die Bestimmung des vertikalen Korrelationsgrades ist eine
ungleich schwierigere Aufgabe. TEM Untersuchungen liefern immer nur kleine Ausschnitte und
können keine statistisch sicheren Aussagen machen. Für die Röntgenbeugung bei kleinen Ein- und
Austrittswinkeln wurde von Kegel et.al. [KMP99] ein analytisches Modell entworfen, mit dem
sich die lateralen Abweichungen der Dotpositionen in einem vertikalen Stapel bestimmen lassen.
Es zeigt sich, dass unter der Annahme einer in Wachstumsrichtung breiter werdenden gaussförmigen
Verteilung der lateralen Positionen in Bezug auf die vorhergehende Lage, die Breite der
Überstrukturreflexe quadratisch mit dem lateralen Impulsübertrag steigt. Die Forcierung eines
mittleren Abstandes und einer bestimmten Größe der entstehenden Quantenpunkte mit zunehmender
Schichtanzahl legen die Vermutung nahe, dass die jeweils oberste Lage nicht nur von der
direkt darunter befindlichen beeinflußt wird, sondern es vielmehr zu einer Überlagerung der
Spannungsfelder aller oder zumindest mehrerer zuvor gewachsener Lagen an der Oberfläche
kommt. Mit der zunehmenden Ordnung verbunden ist eine erhöhte Tendenz zur Interdiffusion in
den Quantenpunkten beim Überwachsen. Mittels Photolumineszenz an Ge/Si Übergittern konnte
dieser Effekt nachgewiesen werden [ScE00]. Darüber hinaus sorgt das von den Inseln induzierte
Deformationsfeld für eine etwas dünnere Benetzungsschicht der nächstfolgenden Dotlage, so dass
die darauf entstehenden Ge-Quantenpunkte leicht größer auswachsen [TYB99]. Mit abnehmender
Dicke der Zwischenschicht sinkt auch die Dicke der Benetzungsschicht als Folge des
wachsenden Einflusses der darunter liegenden Inseln.
Abweichend von dieser in Wachstumsrichtung ungebrochenen Replikation neuer Inseln direkt über
bereits bestehenden, wurde an vertikal gestapelten CdSe Inseln in einer ZnSe Matrix eine Anti-
Korrelation festgestellt [SKP98], bei der Inseln in Bezug auf die darunter liegenden genau in den
Zwischenpositionen auftreten. Dieses Verhalten läßt sich unter Berücksichtigung der elastischen

6.3 Insel-Insel-Korrelation 99
Anistropie in den III-V und II-VI-Verbindungen erklären [ShB99]. Nahezu perfekte 3-dimensionale
Anordnungen von Inselstrukturen lassen sich im System PbSe/PbEuTe, bei dem die
Anistropie besonders stark 43 ausgeprägt ist, herstellen [SHP98]. Diese führt zu Vererbungsrichtungen,
die von der Wachstumsrichtung unabhängig sind und im Fall von PbSe Inseln zu einer
fcc-Struktur mit einer Schichtabfolge ABCABC führen [HSP99]. Der extrem hohe Ordnungsgrad
sowohl vertikal als auch lateral erlauben die Applikation von PbSe/PbEuTe in Quantenpunktlasern
des mittleren Infrarot [SSH01].
In Kap. 6.2 standen Form, Komposition und die daran eng geknüpfte lokale Verteilung des
Deformationsfeldes einer einzelnen Insel im Vordergrund. Völlig unberücksichtigt dagegen blieben
durch Streuung an einem Ensemble von Objekten hervorgerufene Interferenzeffekte. Sobald die
Anordnung der Objekte einem zumindest teilweise periodischen Muster unterliegt und die Kohärenzlänge
der Strahlung größer oder zumindest in der Größenordnung dieser Überstruktur ist, muß
sich diese in der Messung wiederfinden. Sowohl bei linearen Strukturen [DZH98]als auch für
Quantenpunkte [HSP99]wurden solche Beiträge zum Streusignal genutzt, um Informationen zu
lateraler und vertikaler Korrelation zu gewinnen. Die spezielle Anordnung der Inseln liefert bei den
Messungen in der Nähe des CTR Beiträge zur Intensität in den Abb. 6-4 bis Abb. 6-7, die sich als
Oszillationen mit fester lateraler Periode zeigen. Der Abstand ∆q dieser Satellitenreflexe im
reziproken Raum ist über
2π
∆ q =
(6-2)
d
mit dem mittleren Abstand 〈d〉 der Objekte im Ortsraum verknüpft. Da alle hier untersuchten
Proben Inseln in nur einer Schicht enthalten, wird diese Beziehung nur für die laterale Komponenten
verwendet, wenngleich (6-2) auch für vertikale Anordnungen seine Gültigkeit beibehält.
Der Umstand, dass Korrelationspeaks besonders deutlich bei den symmetrischen Reflexen
ausgeprägt waren, liegt an der Tatsache, dass bei den untersuchten asymmetrischen Reflexen der
PSD nahezu senkrecht zur Oberfläche stand und die Korrelationspeaks in der unmittelbaren
Umgebung des CTR in der (notwendigen) Schwächung durch Absorber nicht auszumachen sind.
Dass sie jedoch auch im asymmetrischen Fall präsent sind, beweist die in Abb. 6-9B vorgestellte
Messung des -404 Reflexes an Probe 1005x, für die bewußt die Wellenlänge λ vergrößert wurde,
um einen größeren Beugungswinkel und damit einen größeren Austrittswinkel zu realisieren.
6.3.1 Vergleichende Untersuchungen mittels GISAXS und AFM
Zunächst soll in diesem Unterkapitel die Charakterisierung von Insel-Insel-Korrelation mittels
Atomkraftmikroskopie (AFM) und Kleinwinkelstreuung unter kleinen Ein- und Austrittswinkeln
(GISAXS) anhand zweier Proben beide Methoden vergleichend diskutiert werden. In dem
folgenden Unterkapitel wird eine den experimentellen Kohärenzlängen bei der Beugung angepaßte
in-plane Korrelationsfunktion konstruiert. Dabei dient das System SiGe/Si mit seinen an der
2 c
43Als Maß für die Anisotropie läßt sich im kubischen System ein Anisotropiefaktor H = c44
+ c12
− 11 definieren, der für
isotrop verteilte elastische Eigenschaften den Wert 0 annimmt. Für Silizium beträgt dieser 57.4 GPa, für PbTe: - 77.8 GPa [LaB84].

100 6 SiGe/Si Inselstrukturen
Oberfläche befindlichen hochgeordneten Inseln als ein Modellsystem. Es ist denkbar, den gleichen
Formalismus auch für vergrabene, lateral geordnete Strukturen anzuwenden.
Inwiefern die Korrelationspeaks mit der Ordnung der Inseln zusammenhängen, läßt sich am anschaulichsten
anhand einer großflächigen Oberflächentopologie h(x,y) und dem daraus gewonnenen
Powerspektrum (PS) diskutieren, welches als Betragsquadrat der 2-dimensionalen Fouriertransformierten
des Höhenprofiles h(x,y) definiert ist:
( q , q ) = ∫ h(
x,
y)
exp[
− i(
q x + q y)
]
PS dxdy
(6-3)
x
y
A
x
y
Um über Probenbereiche einiger mm 2 statistisch sichere Aussage machen zu können, bietet sich
ergänzend GISAXS an, das zuvor schon für die genaue Bestimmung der Inselform in Kap. 6.1
verwendet wurde. In diesem Zusammenhang ist jedoch ein anderer Schnitt durch den reziproken
Raum gefragt. Das reziproke Pendant der lateralen Inselpositionen befindet sich in einer Ebene
parallel zur Kristalloberfläche, so dass GISAXS nun mit einem parallel zur Kristalloberfläche angeordneten
PSD ausgeführt und die Umgebung des CTR durch azimutale Drehung der Probe
abgetastet wurde. Es läßt sich zeigen [SWR98], dass unter der Annahme einer homogenen Insel,
die Intensitätsverteilung bei exakt q 001=0 identisch mit dem Powerspektrum aus (6-3) ist.
6.3.1.1 Hoher Verzahnungsgrad der Inselketten
Abb. 6-24 zeigt die mit AFM bestimmten Inselpositionen der Probe 1082. Zur besseren Visualisierung
der Inselpositionen wurde in diesem Bild die Höhenskala so gewählt, dass nur Gebiete,
die sich höher als 10 nm von der Substratoberfläche abheben, als schwarze Objekte sichtbar
werden. Die Inseln ordnen sich in einem zweidimensionalen Muster auf der Oberfläche an, wobei
es zu Inselketten entlang 〈100〉 kommt. Der Umstand, dass man eine Kette als solche identifizieren
kann, liegt an der Tatsache, dass der Abstand innerhalb der Kette sich deutlich vom Abstand der
Ketten untereinander abhebt. Für bestimmte Bereiche der Probe ist diese Voraussetzung erfüllt.
Der mittlere Inselabstand entlang 〈100〉 beträgt
2
AFM
d =300 nm. Darüber hinaus existieren Gebiete,
100
in denen die Ketten verzahnt sind und ein ebenes quadratisches Gitter bilden. Der Inselabstand
innerhalb dieses Flechtwerkes entlang der 〈100〉 Richtungen gleicht dem Insel-Insel-Abstand in den
Solitärketten.
Im Powerspektrum in Abb. 6-25A, das von einem 40×40 µm 2 großen Gebiet angefertigt wurde,
führt diese Konfiguration zu einer vierzähligen Symmetrie mit ausgeprägten Intensitätsmaxima
sowohl entlang 〈110〉 infolge der Verzahnung der Ketten und damit durch einen definierten
Abstand in diesen Richtungen als auch entlang 〈100〉 durch die Kettenbildung mit einem mittleren
Insel-Insel Abstand. Im Teilbild B ist die in GISAXS Geometrie gemessene diffuse Intensität um
den CTR aufgetragen. Der in Vorwärtsrichtung gestreute Strahl wurde durch einen Absorberdraht
ausgeblendet, was an dem zentralen Intensitätsminimum erkennbar ist. Bei exakter Erfüllung der
spekularen Bedingung wäre die Intensität immer noch zu hoch, um Details der Messung innerhalb
des Dynamikbereichs des Detektors aufzulösen. Aus diesem Grund wurde bei Ein- und Austritts-

6.3 Insel-Insel-Korrelation 101
winkeln von 0.40° und 0.19° gearbeitet. 44 Beide Verteilungen zeigen übereinstimmend an den
gleichen Stellen Korrelationspeaks in den 〈110〉 und 〈100〉 Richtungen, deren Positionen in Tab. 6-1
zusammen mit den Ergebnissen aus den Weitwinkelbeugungsexperimenten aufgelistet sind.
[110]
5 µm
Abb. 6-24: AFM Bild der Probe 1082 mit einem nominellen Ge-Gehalt von 30%.
Die Inseln ordnen sich in einem teilweise verzahnten System an, so dass einzelne
Solitärketten (S) entlang der 〈100〉 Richtungen neben Bereichen, in denen es zu
einem 2-dimensional geordneten Inselmuster (F) kommt, existieren. Dabei ist der
Abstand innerhalb der Ketten vergleichbar mit dem Abstand der Inseln innerhalb von
Gebieten, in denen eine Verzahnung vorliegt.
Dabei fällt auf, dass sich die aus dem Powerspektrum und GISAXS ermittelten Werte in Bezug auf
die beiden ausgezeichneten Richtungen 〈110〉 und 〈100〉 nahezu decken, wohingegen das Ergebnis
der Weitwinkelbeugung sich nur in der 〈100〉 Richtung richtig einordnet. Der HRXRD-Wert ent-
lang 〈110〉 ist um den Faktor 2 kleiner als die vergleichbaren PS- und GISAXS-Werte. Auf diesen
Unterschied wurde bereits in Kap. 6.2.1 hingewiesen. Die Erklärung für die Diskrepanz findet sich
im experimentellen Auflösungselement bei der Weitwinkelbeugung. Senkrecht zur Beugungsebene
wurde über einen Bereich von 0.006Å -1 integriert. Verdeutlicht man sich das in Abb. 6-25, so wird
klar, dass man bei der Messung entlang 〈110〉 über die ersten Korrelationspeaks entlang 〈100〉
integriert. Diese werden auf die Beugungsebene projiziert und führen zu dem (auf den ersten Blick
verwirrenden) Ergebnis, dass die Korrelationspeaks in den Beugungsexperimenten entlang 〈110〉
um den Faktor 2 dichter liegen als entlang 〈100〉, denn in der [100]-Zone führt die Projektion auf
die Beugungsebene zu keinen künstlichen Satelliten. Die Lage stimmt mit den PS- und GISAXS-
Werten überein. Abgesehen von diesem auflösungsbedingten Artefakt sind alle Werte in Tab. 6-1
innerhalb kleiner Grenzen konsistent. Über (6-2) erhält man mittlere Insel-Insel-Abstände
d〈110〉 = 225 nm und d〈100〉 = 306 nm, welcher sehr genau dem 2 -fachen des Wertes entlang 〈110〉
44 Damit verbunden ist eine außermittige Rotation des Detektors um die Position q=0, deren Einfluß jedoch vernachlässigt werden
kann. Für den konkreten Fall: αi=0.40° und αf=0.19° ergibt sich eine laterale Abweichung vom Zentrum über 2π/λ(cos αi- cos
αf) von etwa 7×10 -5Å.
F
S

102 6 SiGe/Si Inselstrukturen
entspricht, so dass man auch über Bereiche von mehreren mm 2 von einem sehr hohen Maß an
Verzahnung der Ketten ausgehen kann.
-1
q [-110] [A ]
0.004
0.002
0
-0.002
-0.004
6.3.1.2 Solitärketten
A
K 100
K 110
Ab B
-0.004 -0.002 0 0.002 0.004 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004
-1
q [110] [A ]
-1
q [110] [A ]
Abb. 6-25: (A) Powerspektrum (6-3) des Höhenprofils aus Abb. 6-24 und (B)
Schnitt durch die diffus gestreute Intensität in der Nähe des reziproken Ursprungs
gemessen in GISAXS Geometrie. Die Anordnung der Inseln in Ketten führt in
beiden Fällen zu ausgeprägten Korrelationspeaks (K 100) entlang der 〈100〉
Richtungen. Darüber hinaus existiert durch die Verzahnung der Ketten ein ausgezeichneter
Abstand entlang 〈110〉, der zu zusätzlichen Korrelationspeaks (K 110) in
diesen Richtungen Anlaß gibt. Der spekulare Strahl wurde durch einen Absorber
(Ab) stark gedämpft.
∆q HRXRD 0.0014Å -1
∆q PS 0.0027Å -1
∆q GISAXS 0.0028Å -1
〈110〉 〈100〉
0.0022Å -1
0.0020Å -1
0.0021Å -1
Tab. 6-1: Probe 1082. Gemessene Abstände der Korrelationspeaks untereinander
entlang der 〈110〉 und 〈100〉 Richtung in Weitwinkelbeugung (HRXRD), Kleinwinkelstreuung
(GISAXS) und im Powerspektrum (PS).
3.8
3.6
3.4
3.2
3.0
2.8
2.6
2.4
log (I)
In Abb. 6-26 ist die Oberflächenmorphologie der Probe 1005x mit nominell 30% Germanium
abgebildet. Auch hier wurde die Höhenskala so gewählt, dass nur Teilgebiete, die sich mindestens
10 nm über die Substratoberfläche erheben, als schwarze Objekte sichtbar sind. Wie in Abb. 6-24
kommt es zur Ausbildung von Inselketten entlang 〈100〉 allerdings mit einem kleineren mittleren
Insel-Insel-Abstand
AFM
d I −I
100 von 195 nm und dem Unterschied, dass sich fast alle Inseln genau
einer Kette zuordnen lassen. Ein Verzahnen der Ketten liegt hier nicht vor. Als charakteristische
Länge in den AFM Bildern taucht zusätzlich der Abstand der Ketten untereinander
der naturgemäß deutlich größer als
AFM
d I −I
AFM
d 100 K −K
auf,
100 sein muß und darüber hinaus eine breitere Verteilung

6.3 Insel-Insel-Korrelation 103
aufweist. Einen ausgezeichneten Abstand in 〈110〉 Richtung kann es aufgrund der überwiegenden
Anordnung in Solitärketten nicht geben. Dies äußert sich im Powerspektrum Abb. 6-27A, im
Fehlen entsprechender Korrelationspeaks in 〈110〉 Richtung. Infolge der Existenz zweier
charakteristischer Längen (Intra- und Interkettenabstand) entlang 〈100〉, erscheinen dagegen die
Korrelationspeaks entlang 〈100〉 in ihrer Ausdehnung stark verschmiert, was eine quantitative
Analyse erschwert.
d 100 I-I
d 100 K-K
q [A ]
-1
[110] 1 µm [110]
5 µm
A B
Abb. 6-26: Zwei AFM Topologien der Probe 1005x mit nominellem Germaniumgehalt
von 30%. (A) Die Inselketten (teilweise hervorgehoben) sind nicht verzahnt,
sondern existieren unabhängig. (B) 20×20 µm 2 Ausschnitt der Probenoberfläche, in
dem ebenfalls keine verzahnten Ketten zu finden sind. Faltung mit der AFM-Spitze
suggeriert den falschen Eindruck von elliptischen Objekten mit großer Ausdehnung in
[110] Richtung.
[-110]
0.006
0
-0.006
-0.006
0
-1
q [110] [A ]
A
0.006
Fo
K 100
K 110
Ab B
-0.006
0
-1
q [110] [A ]
0.006
4.8
4.3
3.8
log (I)
Abb. 6-27: (A) Powerspektrum des Höhenprofiles aus Abb. 6-26. Aufgrund der
fehlenden Verzahnung der Inselketten im betrachteten Gebiet gibt es nur
Korrelationspeaks (K 100), die im Gegensatz zu Probe 1082 eine deutliche Verbreiterung
aufweisen. In Abb. 6-26 täuscht die Faltung mit der AFM-Spitze einen
elliptischen Grundriß der Inseln vor. Dieser verursacht im PS eine Stauchung entlang
[110] (Fo). (B) zeigt einen Schnitt durch die diffus gestreute Intensität in der Nähe
des reziproken Ursprunges gemessen in GISAXS Geometrie. Neben den Korre-

104 6 SiGe/Si Inselstrukturen
lationspeaks (K 100) treten hier auch Maxima (K 110) entlang 〈110〉 auf. Der
spekulare Strahl wurde durch einen Absorber (Ab) stark geschwächt.
Die in GISAXS Geometrie bei Ein- und Austrittswinkeln von 0.19° und 0.36° aufgenommene
Intensitätsverteilung in Abb. 6-27B bestätigt diesen Befund. Darüber hinaus treten hier jedoch
auch Korrelationspeaks (K 110) entlang 〈110〉 auf. Die Ergebnisse aus Powerspektrum, GISAXS und
Weitwinkelbeugung sind in Tab. 6-2 zusammengefaßt.
〈110〉 〈100〉
∆q HRXRD 0.0020Å -1 0.0033Å -1
∆q PS - 0.0021Å -1
∆q GISAXS 0.0039Å -1 0.0032Å -1
Tab. 6-2: Probe 1005x. Gemessene Lage der Korrelationspeaks entlang 〈110〉 und
〈100〉 in Weitwinkelbeugung, Kleinwinkelstreuung und Powerspektrum. Die Angaben
bei PS und GISAXS verstehen sich als grobe Abschätzung, da eine genaue
Bestimmung der Lage nicht möglich ist.
Zunächst fällt auf, dass auch hier die Integration senkrecht zur Beugungsebene bei HRXRD
innerhalb der [110]-Zone zu etwa 2 -kleineren Abständen führt als innerhalb der [100]-Zone.
Erstaunlich hingegen ist, dass abgesehen von dieser Projektion sowohl in GISAXS als auch in
HRXRD in 〈110〉 Richtung überhaupt Korrelationspeaks auftreten, 45 da diese im Powerspektrum
gänzlich fehlen. Daraus läßt sich schlußfolgern, dass die gezeigte Oberflächenmorphologie, wie sie
mittels AFM lokal bestimmt wurde und damit Grundlage des Powerspektrum ist, zumindest für
einige Probenbereiche untypisch sein muß. Das erklärt auch die mit HRXRD und GISAXS be-
stimmten Werte in 〈100〉 Richtung, die um den Faktor 1.5 von der Peakposition im Powerspektrum
abweichen.
6.3.2 Berücksichtigung von Ordnung in Simulationen
Der hochgradig geordnete Inselverband der Probe 1082 erweist sich als das perfektere und damit
geeignetere Objekt, um an ihm den Einfluß von Korrelation auf die diffuse Intensität genauer zu
untersuchen. Im folgenden wird eine Methode vorgestellt, die laterale Korrelation der Inseln in
Simulationen der diffusen Intensität in der Nähe symmetrischer Reflexe zu berücksichtigen. Dabei
dient das System SiGe/Si als ein Modellsystem, an dem ausgezeichnet getestet werden kann, in
welcher Form die Mittelung in der Korrelationsfunktion G(q), siehe (5-28), zu erfolgen hat, da die
begrenzte experimentelle Kohärenzlänge ein differenzierteres Bild erzwingt. Während man für die
Fouriertransformation der Inselpositionen aus AFM im Prinzip ein beliebig großes Ensemble
heranziehen kann, bewirkt die begrenzte experimentell realisierte Kohärenz den Verlust der
Phaseninformation auf Längenskalen jenseits der Kohärenzlänge. Dies kann in den Simulationen
durch eine kohärente Aufsummation über Bereiche, die einer kohärenten Strahlung ausgesetzt sind
45 Neben der Projektion existiert mindestens eine Ordnung „echter“ Korrelationspeaks in 〈110〉 Richtung.

6.3 Insel-Insel-Korrelation 105
und einer anschließend inkohärenten Summation der aus diesen Gebieten stammenden Intensitäten
modelliert werden.
Gleichung (5-31) macht ganz allgemein eine Aussage über die an einem Inselverbund gestreuten
Amplituden. Nimmt man zunächst eine perfekt kohärente Quelle an, so bestimmt sich die totale
total
diffus gestreute Intensität I (q)
als kohärente Summation der Amplitude Adiffus(q) über die In-
diffus
selpositionen R m. Die zugrundegelegten Amplituden stammen von der bereits mehrfach verwendeten
durch {111} Seitenfacetten und eine (001) Deckfacette begrenzten Einzelinsel mit einer
Basisbreite von 130 nm bei 65 nm Höhe des Stumpfes (siehe Abb. 6-19A), so dass das dort in
Teilbild B gezeigte Intensitätsmuster in den folgenden Simulationen als Hintergrundmuster stets
enthalten ist.
[100]
q [A ]
-1
001
4.58
4.56
4.54
A B
4.52
Sp
-0.02 0.00
-1
q 100 [A ]
0.02
Abb. 6-28: (A) Inselensemble bestehend aus 33 Inseln auf einer Fläche von
5×5 µm 2 . (B) Simulierte diffus gestreute Intensität in der Nähe des 004 Gitterpunktes
innerhalb der [100]-Zone, bei der kohärent über die gezeigten Inselpositionen
summiert wurde. Zur Berechnung der an einer Einzelinsel gestreuten Amplituden
liegt das in Abb. 6-19 gezeigte Modell mit 130 nm Basisbreite bei 65 nm Höhe
zugrunde. Kohärente Summationen der Amplituden über 2, 4, 33, 231 und 1094
Inselpositionen erzeugen deutliche Speckle-Muster.
11
10
9
8
log (I)
In Abb. 6-28A ist ein 5×5 µm 2 großer Ausschnitt der Probenoberfläche gezeigt, der 33 Inseln
enthält. Eine kohärente Summation für die gestreute Intensität:
[ iqR
]
2
total
I diffus ( q ) = ∑ Adiffus
( q)
exp m
(6-4)
∈
m En
über die dargestellten Positionen führt auf das Beugungsbild in Abb. 6-28B, das zwar das
Grundmuster der Streuung einer Einzelinsel noch erkennen läßt, jedoch von einem ausgeprägten

106 6 SiGe/Si Inselstrukturen
Speckle-Muster 46 (Sp) überlagert wird. Dieses nimmt auch für große laterale Impulsüberträge q 100
nicht ab. Es wurden für verschieden mächtige Ensemble von zwei bis 1094 Inseln, die Intensitäten
simuliert, ohne dass sich qualitativ an dem gezeigten Beugungsbild etwas ändert.
Die endliche Kohärenzlänge erfordert eine Modifikation insofern, als dass innerhalb kohärent beleuchteter
Gebiete die Amplituden phasenrichtig zu summieren sind, darüber hinaus inkohärent,
das heißt die Summation erfolgt dann über Intensitäten. (6-4) schreibt sich dann:
I
total
diffus
single
||
[ iqR
] = I ( q)
( q )
( q) A ( q)
exp m G
= ∑ ∑
∀n m∈En
diffus
2
Die inkohärente Summe erstreckt sich über verschiedene Ensembles n. Für einen Test wurden aus
dem Ensemble in Abb. 6-28A mehrere Kind-Ensembles erzeugt, indem zu jeder AFM-bestimmten
Position ein zufälliger jedoch nach oben beschränkter Wert entlang einer 〈100〉 Richtung addiert
wurde. In Abb. 6-29A ist der Prozeß der Ensembleerzeugung schematisiert dargestellt. (I) kennzeichnet
die Inselpositionen im Ur-Ensemble und (II) die Inselpositionen nach einer Verrückung
entlang einer Inseldiagonalen.
[100]
I
II
-1
q 001 [A ]
4.58
4.56
4.54
A 4.52
diffus
-0.02 0.00
-1
q 100 [A ]
0.02
(6-5)
Abb. 6-29: (A) Die aus AFM bestimmten Inselpositionen (I) eines einzigen
Inselarrays bestimmter Größe dienen als Grundlage zur Erzeugung einer Anzahl von
Kind-Ensembles, die durch Addition eines zufälligen Wertes zu jeder Inselposition
entlang der 〈100〉 Richtungen entstehen. (B) Simulierte diffus gestreute Intensität in
der Nähe des 004 Gitterpunktes. Ausgehend von den Amplituden der Streuung einer
Einzelinsel (130 nm Basisbreite bei einer Höhe 65 nm) und einem 33 Inseln
enthaltenden Ur-Ensemble wurden 1000 Kind-Ensembles durch Addition eines zufälligen
maximalen Offsets von 20 nm entlang 〈100〉 generiert. Innerhalb eines
Ensembles wurden die Amplituden aufaddiert. Anschließend wurden die Intensitäten
inkohärent über alle Kind-Ensembles summiert. Die Verschiebung zu höheren
K
B
14
13
12
11
log (I)
46 Ein Speckle-Muster repräsentiert die gesamte Struktur ohne jede Mittelung. Experimentell konnten solche Muster u.a. an optischen
Gittern beobachtet [LSM98] werden.

6.3 Insel-Insel-Korrelation 107
Absolutintensitäten resultiert aus der im Vergleich zum vorigen Einzelensemble
größeren Anzahl beitragender Inseln.
Auf diese Weise läßt sich bequem praktisch jede Anzahl von Ensembles generieren, die aufgrund
ihrer Entstehung aus nur einem Ur-Ensemble sich jedoch ähnlich sind, was sich in der simulierten
diffusen Intensität durch die Präsenz eines Speckle-Musters widerspiegelt. Im Gegensatz zum
vorigen Modell mit nur einem Ensemble ist dieses Muster für große laterale Impulsüberträge
jedoch gedämpft. Die diffus gestreute Intensität an 1000 solcher Kind-Ensembles, die alle aus dem
33 Inseln enthaltenden Ur-Ensemble erzeugt wurden, ist in Abb. 6-29B dargestellt, wobei zu jeder
Inselposition ein zufälliger maximaler Wert von 20 nm entlang 〈100〉 addiert wurde. Es beginnen
sich deutlich Korrelationspeaks (K) herauszubilden, deren Abstand gut mit dem experimentell
bestimmten Wert von =0.0022Å -1 HRXRD
∆
übereinstimmt. Dennoch bleiben große Unterschiede
q 100
zwischen Messung und Simulation, die darauf zurückzuführen sind, dass nur ein einziges Ur-
Ensemble benutzt wurde.
A
[100] 1 µm
q [A ]
-1
001
4.58
4.56
4.54
4.52
-0.02 0.00
-1
q 100 [A ]
0.02
Abb.6-30: (A) 5×5 µm 2 großer Ausschnitt aus einem AFM Bild. Die rot berandeten
Gebiete kennzeichnen die 10 verschiedenen Ur-Ensembles, die zur Generierung
von Kind-Ensembles berücksichtigt wurden. In jedem rot berandeten Gebiet
sind entsprechend der Kohärenzlänge bezüglich des Detektors 9 bis 10 Inseln
enthalten. (B) zeigt die diffus gestreute Intensität in der Nähe des 004 Gitterpunktes.
Das Vorgehen bei der Simulation gleicht exakt dem vorher erläuterten Verfahren,
mit dem Unterschied, dass hier mehrere Ur-Ensembles einbezogen wurden.
K
14
13
12
11
10
B log (I)
Durch Berücksichtigung mehrerer verschiedener Ur-Ensembles, in denen die Positionen der Inseln
mittels AFM lokalisiert wurden, läßt sich die Übereinstimmung noch verbessern. Dies stellt
insofern eine realistischere Modellierung des Streuprozesses dar, als das auch bei der Beugung über
viele verschiedene Ensemble inkohärent summiert wird. Die Annahme von zehn verschiedenen
Ur-Ensembles, so wie sie in Abb.6-30A durch 1 µm 2 rote Quadrate dargestellt sind, erweist sich als
hinreichend, um die Vielfalt der Probe zu berücksichtigen. Das Vorgehen bei der Simulation gleicht
dem vorab beschriebenen Verfahren, nur das jetzt verschiedene Ur-Ensembles zur Generierung

108 6 SiGe/Si Inselstrukturen
einer großen Anzahl von Kind-Ensembles herangezogen werden. In Abb.6-30B werden die
Korrelationspeaks bei ∆q 100=0.002Å -1 sowohl in Bezug auf ihre Lage als auch auf relative
Intensitäten gut reproduziert. Abb. 6-31 zeigt einen Schnitt durch gemessene (siehe Abb. 6-6) und
simulierte Intensität bei q 001=4.563Å -1 in der Nähe des 004 Gitterpunktes. Beide Intensitäten
wurden der Vergleichbarkeit wegen bei q 100=0 auf den selben Wert normiert. In der Simulation
treten zwischen den experimentell nachweisbaren Peaks (P1, P2 und P3) noch zusätzliche
Schultern (Z1 und Z2) auf, deren Abstand zum CTR etwa ∆q 100=0.001Å -1 beträgt. Diese verschwinden
auch dann nicht, wenn die Ur-Ensembles auf Gebiete von 4 µm 2 ausgedehnt werden. Sie
können folglich kein direkter Artefakt der Ensemblegröße sein. Möglicherweise spiegelt sich auch
hier der Abstand der Ketten untereinander wider.
Abb. 6-31: Schnitt durch die gemessene (Kurve A) und simulierte Intensität in der
Nähe des 004 Reflexes für ein konstantes q 001=4.563Å -1 . Der Abstand der Peaks
P1 bis P3 beträgt untereinander etwa 0.002Å -1 . Neben diesen treten in der
Simulation zusätzliche (Z1 und Z2) jeweils zwischen zwei experimentell gesicherten
auf, die möglicherweise auf den Abstand der Ketten untereinander zurückgeführt
werden können.
Die Streuung an einem Inselensemble setzt sich multiplikativ aus der diffusen Streuung an einer
Einzelinsel und einer teils kohärenten teils inkohärenten Summation der Amplituden bzw. Intensitäten
gemäß (6-5) zusammen. In Abb. 6-32 sind beide Faktoren der Simulation getrennt dargestellt.
Kurve C gibt die simulierte totale diffuse Intensität wieder, die sich aus der deformations-
single
und formgeprägten Streuung an einer Einzelinsel I
(q)
(Kurve A) und aus der berechneten in-
plane Korrelationsfunktion G(q || ) (Kurve B), die für große q 100 einen konstanten Wert annimmt,
zusammensetzt.
diffus

6.4 Beugung unter kleinen Einfalls- und Austrittswinkeln: Grenzen der kinematischen Beugung 109
Abb. 6-32: Simulierte totale Intensität (Kurve C) nach (6-5) unter Berücksichtigung
zehn verschiedener Ur-Ensembles. Diese setzt sich multiplikativ aus einem Anteil der
Streuung an einer Einzelinsel (A) und der in-plane Korrelationsfunktion G(q || ) (B)
zusammen. Gezeigt sind Schnitte durch die diffuse Intensität in der Nähe des
reziproken Gitterpunktes 004 für ein konstantes q 001=4.563Å -1 . In diesem Bereich
weisen die Korrelationspeaks ein Maximum auf. Während für q 001>0.006Å -1 die
Formfunktion einer Einzelinsel das Streubild dominiert, treten in der Nähe des
CTR Korrelationspeaks auf, wie sie auch in der Messung beobachtet wurden.
6.4 Beugung unter kleinen Einfalls- und Austrittswinkeln: Grenzen
der kinematischen Beugung
Bei der Beugung unter kleinen Einfalls- und Austrittswinkel besitzt der Beugungsvektor nur eine
sehr kleine Komponente senkrecht zur Oberfläche. Daraus folgt, dass man in dieser Geometrie
insbesondere auf Gitterparameterunterschiede parallel zur Oberfläche (=in-plane) empfindlich ist.
Zusätzlich bewirkt der Effekt der externen Totalreflexion einen raschen Abfall der einfallenden
Welle in den Kristall hinein, so dass GID eine oberflächensensitive, bei Benutzung verschiedener
Einfallswinkel in gewissen Grenzen 47 auch tiefenselektive Methode ist. Wegen der im Vergleich zur
Weitwinkelbeugung (im Sinne von Reflexen (hkl) mit l größer Null) stärkeren Unterdrückung von
Streubeiträgen des Substrates eignet sich GID gut für die Untersuchung kleiner und damit weniger
stark streuender in Oberflächennähe befindlicher Objekte. Beispielsweise konnten Form, Höhe,
mittlerer Radius und mittlerer Abstand von extrem kleinen (1.7 nm hoch bei einem Radius von 5.7
nm) vergrabenen CGe Quantenpunkten in Si(001) mittels GID aufgeklärt werden [SHM99].
Wenngleich in den CGe Dots eine höhenabhängige Deformation vermutet werden kann, steht der
experimentelle Nachweis hierfür aus. Da die ε xx-(in-plane)-Komponente des Deformationstensors in
den Inselstrukturen aufgrund der zunehmenden Relaxation mit wachsender Höhe steigt, siehe z.B.
Abb. 6-13, ist es mit GID möglich, die laterale Relaxation höhenaufgelöst zu analysieren. Diese
sogenannte Iso-Strain-Streuung wurde von Kegel et.al. [KML01], [KML00] entwickelt, um
47 Eine tiefenaufgelöste Untersuchung im Sinne eines kontinuierlichen Durchstimmens der Informationstiefe erweist sich als
ausgesprochen schwierig, da sich diese in der Nähe des kritischen Winkels αkrit sehr rasch ändert [Dos92].

110 6 SiGe/Si Inselstrukturen
Relaxation und In-Gehalt in InAs Quantenpunkten zu bestimmen. Eine direkte Übertragung einer
konkreten vertikalen Position z in der Insel auf ein ε xx(z) ist ausgeschlossen, da ε xx für ein
bestimmtes z auch noch von der lateralen Position (x,y) innerhalb der Insel abhängt. Die Iso-Strain-
Flächen der Pyramiden bilden gekrümmte Flächen.
-1
q radial [A ]
3.30
3.28
3.26
3.24
3.22
3.20
K
-0.02 0 0.02
-1
q angular [A ]
A
S
P Q
d
M
-0.02 0 0.02
-1
q angular [A ]
B C
-0.02 0 0.02
-1
q angular [A ]
Abb. 6-33: (A) gemessene in-plane Intensitätsverteilung in der Umgebung des GID
220-Reflexes (S) (Probe 1082, ID10B-ESRF) und kinematisch simulierte Verteilung
(B) mit und (C) ohne Berücksichtigung des Substrates. Aufgrund der angebotenen
Primärstrahldivergenz kommt es zu einem intensiven Monochromatorartefakt
(M). Die gestreute Intensität wurde mit einem senkrecht zur Oberfläche angeordneten
PSD detektiert, wobei ein Si(111)-Kollimatorkristall vor dem Detektor benutzt
wurde, um die Auflösung in der Bildebene zu erhöhen. Die Intensitätsmodulationen
(Q) sind auf das Deformationsfeld in der Umgebung der Inseln zurückzuführen, da
sie in der Simulation einer einzelnen Insel - ohne über die Streuer im Substrat zu
summieren - (Teilbild C) fehlen. In der Simulation (B) erkennt man deutlich die
Gitterabbruchstäbe (P) infolge der endlichen Größe des Modellsubstrates.
Inwieweit das in Kap. 6.2 verwendete Verfahren zur Simulation der diffusen Intensitäten in GID
Geometrie geeignet ist, und welche Grenzen sich dabei aufzeigen, soll im folgenden diskutiert
werden. In Abb. 6-33 sind drei Schnitte des reziproken Raum in der Nähe des 220 Gitterpunktes
abgebildet. Für ein konstantes q 001 wurde die Intensität als Funktion des angularen und radialen
Impulsübertrages aufgetragen. Teilbild A zeigt eine Messung an Probe 1082, die mit einem
senkrecht zur Oberfläche orientierten PSD bei einem Einfallswinkel von 0.3° ausgeführt wurde.
Die nötige Auflösung in-plane wurde (im Gegensatz zu den HRXRD-Messungen) durch einen
Si(111) Kristallkollimator erreicht. In unmittelbarer Umgebung des Substratreflexes (S), der bei
q radial=3.272Å -1 und q angular=0 erscheint, erkennt man entlang der 〈100〉 Richtungen zumindest zwei
der vier Korrelationspeaks (K), deren Abstand zum Substratreflex =0.002Å -1 GID
∆
beträgt und
somit gut mit den Werten aus AFM, GISAXS und Weitwinkelbeugung übereinstimmt. Radiale und
angulare Richtung entsprechen beim 220 Reflex den kristallographischen 〈110〉 Richtungen. Beim
q 100

6.4 Beugung unter kleinen Einfalls- und Austrittswinkeln: Grenzen der kinematischen Beugung 111
weiter unten folgenden 400 Reflex verlaufen radiale und angulare Richtung dagegen entlang 〈100〉!
Mit dieser Bezeichnung reflektiert man auf qualitative Unterschiede: während sich entlang q radial die
Länge des Beugungsvektors ändert, und ein großes q radial im Ortsraum zu Bereichen mit kleinem ε xx
gehört (und umgekehrt), ist die angulare Richtung längeninvariant in Bezug auf q und somit unempfindlich
auf laterale Gitterparameterunterschiede. Da sich die Pyramide mit zunehmender Höhe
verjüngt, finden sich in angularer Richtung Dickenoszillationen (d), deren Periode erwartungsgemäß
mit abnehmendem q radial (also mit steigender Inselhöhe) zunimmt.
Abb. 6-33B zeigt eine kinematische Simulation für den 220 Reflex, in der sich die Summation in
(5-16) sowohl über die Insel als auch über das Substratmaterial erstreckt. Als Modell diente ein
schon mehrfach verwendeter Pyramidenstumpf mit 130 nm Basisbreite und 65 nm Höhe. Die
Hauptcharakteristika der Messung werden durch die Simulation gut reproduziert: (i) Anwachsen
der Periode der Dickenoszillationen (d) für kleineres q radial und (ii) das Muster (Q) der diffusen
Intensität für q radial>3.272Å -1 . Unterschiede ergeben sich in der Nähe des Substratreflexes. Hier
treten in der Simulation durch Abbrucheffekte am Modellsubstrat Artefakte (P) auf, die sich als
Intensitätslinien für ein konstantes q radial äußern. Vergleicht man die Verteilung in Teilbild B mit der
an einer Einfachinsel (ohne Substrat) gestreuten Intensität in C, so fällt auf, dass neben dem
Verschwinden des Substratreflexes auch das Merkmal (Q) nicht mehr auftaucht, sobald nur noch
die Insel streut. Offensichtlich ist dieser Bereich an die Streuung der komprimierten Bereiche in der
Benetzungsschicht bzw. im Substrat geknüpft.
Aus dieser Beobachtung leitet sich eine Perspektive für die Bestimmung von Morphologie und Deformationszustandes
in den die Insel umgebenden Teilen der Benetzungsschicht und des Substrates
ab. Durch entsprechend verfeinerte Modellannahmen bei der FEM Rechnung (beispielsweise die
Annahme einer Insel, die auf einer spannungsinduziert teilweise rückgelösten Benetzungsschicht
positioniert ist) in Verbindung mit DWBA ließe sich systematisch der Einfluß unterschiedlicher
Parameter wie Abtragungsort und –tiefe untersuchen.
In Abb. 6-34A ist ein weiterer Schnitt, senkrecht zu den vorherigen, durch die Intensitätsverteilung
in der Nähe des 220 Gitterpunktes gezeigt, in der Form, dass die betrachtete Ebene bei q angular=0
nun durch q radial und q 001 aufgespannt wird. Die Verteilung läßt sich auch hier separieren in zwei
Gebiete, abhängig davon, ob der Betrag des radialen Beugungsvektors kleiner (I) oder größer (II)
Substrat
als q
ist. Im ersten Fall enthält das Beugungsbild Beiträge dilatierter Bereiche, während die
radial
kompressiv deformierten Gebiete zu Intensität bei q radial>q Substrat führen. In beiden Gebieten sorgt
der Abbrucheffekt an den {111} Facetten zu mehreren teils sehr intensiven Facettenrods (F), die
unter einem Winkel von 54.7° gegen die [001] Richtung auftreten. Im Vergleich zur kinematischen
Simulation ohne Berücksichtigung von Mehrfachstreuung und Brechungseffekten in Abb. 6-34B, in
der auch die spiegelsymmetrisch nach unten verlaufenden Facettenrods (F*) auftreten, werden
diese in der Messung durch Brechungseffekte verbogen. Darüber hinaus treten in der Messung
mehrere Rods auf, die in Bereich II periodisch mit einem Abstand von ∆q radial von 0.005Å -1
moduliert sind, was auf eine Länge im Ortsraum von 2π/∆q raadial von 126 nm schließen läßt.
Übereinstimmend mit der Basislänge der Pyramiden läßt sich diese als mittlere laterale Ausdehnung
der komprimierten Bereiche im Substrat deuten. Ein Hinweis auf den Beitrag kompressiv

112 6 SiGe/Si Inselstrukturen
deformierter Bereiche zur diffusen Intensität in radialer Richtung, an einem weitaus weniger
geordneten Verband reiner Ge-Inseln auf Si(001) findet sich in [JJJ00]. Da dort jedoch keine
Modellannahmen gemacht wurden, läßt sich nicht zweifelsfrei entscheiden, ob der detektierte Peak
bei q radial>q Substrat durch Streuung an komprimierten Substrat- oder Inselbereichen hervorgerufen
wird, denn auch die begrenzte Summation nur über die Streuer der Insel erzeugt Modulation in
radialer Richtung, wie man in Abb. 6-33C erkennt.
Integrale Intensität
q [A ]
-1
001
10 7
10 6
10 5
10 4
10 3
0.10
0.05
0
F
F*
3.20
3.25
-1
q radial [A ]
S
∆q radial
A I II
0.10 B
3.30
F
P S
0.05
0
B 6 7
3.20
log (I)
3.25
-1
q radial [A ]
Abb. 6-34: (A) 2-dimensionale Intensitätsverteilung in der Umgebung des GID
220- Substratreflexes (S) in der Ebene q radial/q 001 bei q angular=0. Der Einfallswinkel
betrug 0.3° bei einer Energie von 7980 eV. Innerhalb der [110]-Zone verursachen
die begrenzenden {111} Facetten um 54.7° gegen [001] geneigte Facettenrods (F),
die im Bereich q radial>3.272Å -1 eine Modulation der Periode ∆q radial=0.005Å .1 aufweisen.
Oben: über q 001 integrierte Intensität als Funktion von q radial. (B) zeigt eine
kinematische Simulation (Inselbasis B 110=130nm, Höhe h=65nm, Konzentrationssprung
von 25% auf 30% Ge bei h/3) ohne Berücksichtigung von Mehrfachstreuprozessen
und Brechung, weshalb der Substratreflex hier bei q 001=0 auftritt und
nicht wie in der Messung bei einem von Null verschiedenen Wert. Das Intensitätsmaximum
(P) in der Simulation korrespondiert zu einer gemittelten lateralen
Deformation von 0.011 gegenüber dem Substrat. In der Messung geht dieses Muster
im komplexen Wechselspiel der Facettenrods (F und F*) verloren.
Darüber hinaus wurde die Intensitätsverteilung um den 220 Gitterpunkt abhängig vom Einfallswinkel
untersucht, Abb.6-35. Mit Verkleinerung des Einfallswinkel sinkt die Informationstiefe, wie
man an der Dämpfung der Oszillationen (k) erkennt. Ein anderer interessanter Befund ist die
Verschiebung des den dilatierten Bereichen zuzuschreibenden Maximums bei q radial=3.237Å -1 (für
A
1
2
8
3
9
4
10
5
11
3.30
F
F*

6.4 Beugung unter kleinen Einfalls- und Austrittswinkeln: Grenzen der kinematischen Beugung 113
α i=0.1°) über einen Bereich, in dem dieses in mehrere Peaks aufspaltet, 48 zu einer Position bei etwa
q radial=3.253Å -1 . Rein qualitativ läßt sich dieses Verhalten mit der zunehmenden Eindringtiefe und
damit einem stärker werdenden Beitrag der unteren und damit stärker deformierten Inselbereiche
erklären.
Die vorangestellten GID Messungen und Simulationen beziehen sich auf einen Reflex innerhalb
der [110]-Zone. Bereits in den Experimenten zur Weitwinkelbeugung wurde deutlich, dass der
deformationsbedingte Anteil zur Streuung von Abbrucheffekten an den Facetten überlagert ist, die
darüber hinaus noch von Dickenoszillationen in lateraler und vertikaler Richtung überlagert sind
(siehe z.B. Abb. 6-8). Abb.6-36 zeigt dagegen die von Formeinflüssen dieser Art kaum beeinflußte
out-of-plane Intensitätsverteilung in radialer Richtung in der Umgebung des 400-Gitterpunktes. Das
Fehlen von ausgeprägten Facettenrods macht (im Gegensatz zum 220-Reflex) die experimentelle
Beobachtung des Intensitätsmaximums (P) möglich, das wie schon in der Simulation des 220-
Reflexes eine relative laterale Verschiebung von 1.1% gegenüber dem Substratreflex aufweist.
Die angeführten Beispiele ebenso wie die Befunde der Kleinwinkelstreuung belegen, dass über
qualitative Aussagen hinaus, eine rein kinematische Sicht der Beugung die Streuung nur
unzureichend wiedergibt und zur detaillierten Beschreibung z.B. DWBA angewandt werden muß,
wofür sich das System SiGe/Si mit seiner hohen Perfektion als ideales Modellsystem zum Test
einer solchen Theorie anbietet. Mittlerweile gibt es hierzu erste Ergebnisse, deren Diskussion
allerdings den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde.
V
Abb.6-35: Radiale Intensitätsverteilung in der Nähe des 220 Gitterpunktes für
Einfallswinkel zwischen 0.1° und 1°. Die Intensität wurde entlang q 001 über einen
Bereich von etwa 0.15Å -1 integriert. Die blaue Kurve entspricht der aus Abb.
6-34A. Bei sehr kleinen Eintrittswinkeln tragen die komprimierten Bereiche des
48 Die Abfolge mehrerer starker Facettenrods verursacht diese Oszillationen, siehe Abb. 6-34A.
k

114 6 SiGe/Si Inselstrukturen
q [A ]
-1
001
0.10
0.05
0
Substrates nur noch sehr wenig zum Gesamtsignal bei, was auf die Oszillationen (k)
dämpfend wirkt. Die Verschiebung (V) erklärt sich aus dem Umstand, dass bei
kleinem α i vorzugsweise die oberen und damit relaxierten Bereiche der Inseln streuen,
während bei größerem α i die tiefer gelegenen stärker deformierteren Bereiche beitragen.
A
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
I II
4.55 4.60 4.65
-1
q radial [A ]
log (I)
0.05
S
P
0
-0.05
B
4.55 4.60 4.65
-1
q radial [A ]
Abb.6-36: (A) 2-dimensionale Intensitätsverteilung in der Umgebung des GID 400-
Reflexes (S) in der Ebene q radial/q 001 bei q angular=0. Der Einfallswinkel von 0.3° liegt
bei einer Energie von 8000 eV etwa 0.08° über dem kritischen Winkel. Es läßt
sich in der Verteilung zwischen Beiträgen dilatativ (I) und kompressiv deformierter
Bereiche (II) unterscheiden. Im Gegensatz zu der 220 Messung befinden sich in der
[100]-Zone keine Inselfacetten, so dass hier die entsprechenden Facettenrods fehlen.
Im Vergleich zur Simulation kommt es brechungsbedingt zu einer vertikalen
Verschiebung des Intensitätsmaximums (P) in Bezug auf die Substratlage, während
die radiale Position sehr gut mit der Simulation (B) (Inselbasis B 110=130nm, Höhe
h=65nm, Konzentrationssprung von 25% auf 30% Ge bei h/3) übereinstimmt. Die
relative Verschiebung in Bezug auf die Substratposition beträgt 0.011.

7 InP/InGaP Quantenpunkte
Über die Strukturen auf SiGe Basis hinaus wurden im Rahmen dieser Arbeit die Untersuchungen
auf freistehende InP Inseln auf InGaP/GaAs(001) ausgedehnt. Dabei konnte gezeigt werden, dass
der vorgestellte Apparat zur kinematischen Simulation der diffus gestreuten Intensitäten unter
Berücksichtigung der mittels Finiter Elemente berechneten Deformationsfelder auch für kleinere
freistehende Objekte bis hinab zu einigen 10 nm richtige Resultate liefert. Die am weitesten
verbreitete Wachstumsmodus zur Herstellung von selbstorganisierten Quantenpunkten im Gebiet
der III-V Verbindungshalbleiter ist die Züchtung von Stranski-Krastanow (S-K) Inseln. Dabei
zeigen die entstehenden Strukturen abhängig von Material, Wachstumsmethode und –bedingungen
eine große Formenvielfalt. Beispielhaft sei hier neben dem System InP/InGaP die Herstellung von
S-K Inseln in den Systemen InAs/InGaAs [MGI94], GaSb/GaAs [HLG95], InSb/InP
[UAP97] AlInAs/AlGaAs [FLL94] aufgeführt.
Die Quantenpunkte im System InP/InGaP bilden aufgrund der etwa doppelt so großen Bandlücke
im Vergleich zu InAs/InGaAs ein Pendant zu diesen für den langwelligen Bereich des sichtbaren
Lichtes von etwa 630 nm bis 700 nm [KES95]. Seit der Demonstration von Lumineszenz an
InP/InGaP Quantenpunkten [STL96], [ZJP98] wurden erhebliche Anstrengungen zum Verständnis
des Wachstums dieser Strukturen unternommen. Dabei offenbarten sich eine ganze Reihe
unterschiedlicher Morphologien. Ballet et.al. [BSY00] bestimmten mittels STM die Form mittels
MBE gezüchteter InP Inseln zu Inseln mit (001) Deckfacette und quadratischem Grundriß. Die
Seitenfacetten werden von {113} Flächen gebildet. Mit molekularer Gasphasenepitaxie (MOVPE)
gezüchtete Inseln weisen im TEM Bild ebenfalls Pyramidenstümpfe allerdings mit einer sechseckigen
Basis auf, deren Ausdehnungen in [110] und [1-10] etwa 60 nm und 45 nm betragen bei
einer Höhe von 12 nm bis 18 nm [GCS95]. Die Insel bildenden Flächen sind vom Typ {001},
{110} und {111}. Untersuchungen der Photolumineszenz an ebenfalls MOVPE gezüchteten InP
Inseln konnten eine Elongation entlang [110] bestätigen [ZJP01], während mit Gasphasen MBE
(GSMBE) hergestellte Inseln eine inverse Asymmetrie mit der langen Seiten entlang [1-10]
aufweisen [SRN99].
7.1 Form- und Größenbestimmung
Die in dieser Arbeit untersuchten Proben wurden am Lehrstuhl für Elementaranregungen und
Transport in Festkörpern (Prof. T.Masselink) der Humboldt-Universität von Frau Hatami mittels
GSMBE auf GaAs(001) Substraten gezüchtet. Nach dem Aufbringen einer bei 500°C und einer
Wachstumsgeschwindigkeit von 0.9 µm/h gewachsenen 100 nm dicken GaAs Pufferschicht
wurden bei 415°C eine zu GaAs gitterangepaßte In0.48Ga0.52P Schicht abgeschieden, die an der
Oberfläche eine (2×1) Rekonstruktion aufweist, die mit RHEED nachgewiesen werden konnte.
Anschließend wurden bei 410°C mehrere Monolagen InP gewachsen.

116 7 InP/InGaP Quantenpunkte
[110] 200 nm
[nm]
11
[110] 500 nm
A
0
Abb. 7-1: (A) AFM Bild freistehender InP Quantenpunkte mittels MBE
gewachsen auf In 0.48Ga 0.52P/GaAs(001). Die Quantenpunkte weisen eine starke
Asymmetrie in Bezug auf die beiden 〈110〉 Richtungen auf. Es handelt sich um
entlang [110] ausgedehnte Objekte. In der SEM Aufnahme der Probenoberfläche
(B) führt die schwache Neigung der die Insel begrenzenden Flächen zu einem sehr
schwachen Kontrast. Dennoch läßt sich eine im Mittel größere Elongation entlang
[110] erkennen.
Im folgenden wollen wir uns auf eine Probe mit freistehenden InP Inseln auf einer 500 nm dicken
In 0.48Ga 0.52P Schicht konzentrieren. Die nominelle Dicke der InP Schicht beträgt 5 Monolagen. Ein
AFM Bild der Oberfläche, Abb. 7-1A, zeigt entlang [110] ausgedehnte Inseln mit einer mittleren
Basislängen von w 110 = 45 nm ± 10 nm und w 1-10 = 30 nm ± 10 nm bei einer mittleren Höhe von
etwa 8 nm. Im rasterelektronenmikroskopischen Bild, Abb. 7-1B, ist der Kontrast aufgrund der
flachen Seitenkanten der Quantenpunkte nur sehr schwach. Dennoch läßt sich auch hier eine
Elongation entlang [110] erkennen. Ein Substratfehlschnitt kann als Ursache der Asymmetrie ausgeschlossen
werden, da dieser mit einem Wert kleiner 0.05° auf Terrassenbreiten größer 300 nm
führt und somit auf die Form einer Einzelinsel keinen Einfluß haben kann. TEM plane view Auf-
nahmen an der Probe deuten im Gegensatz zu dem AFM Bild Inselkanten entlang 〈100〉 an
[HMK00]. Ein einfacher Schluß von Kontrast auf Inselform ist jedoch nicht möglich. Liao et.al.
[LZD98] konnten mit Hilfe dynamischer Mehrstrahlsimulation zeigen, dass entlang [110] ausgedehnte
Inseln den beobachteten Kontrast im TEM hervorrufen können.
Die zur Formbestimmung von mesoskopischen Strukturen bewährte Methode der Streuung unter
kleinem Ein- und Austrittswinkel (GISAXS) liefert im Vergleich zu den direktabbildenden
Verfahren gemittelte Aussagen über sehr große Inselensembles. Abb. 7-2 zeigt die diffus gestreute
Intensität in der Nähe des reziproken Ursprunges in einer Ebene parallel zur Kristalloberfläche (inplane
GISAXS). Die Messung wurde am Strahlrohr BW2 des HASYLAB in Hamburg bei einer
Energie von 8 keV durchgeführt. Einfalls- und Austrittswinkel betrugen 0.5° . Der sehr intensive
CTR wurde durch einen Absorber ausgeblendet, was sich als verschwindende Intensität im Bildzentrum
widerspiegelt.
B

7.1 Form- und Größenbestimmung 117
-1
q 110 [A ]
0.01
0.00
-0.01
∆q 110
∆q 1-10
-0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02
-1
q 1-10 [A ]
log(I)
Abb. 7-2: In-plane Grazing Incidence Small Angle Scattering (GISAXS) an der
in Abb. 7-1 gezeigten Probe. Die elliptische Intensitätsverteilung mit größerer Ausdehnung
entlang [1-10] spiegelt die Inselform wider, da Ausdehnung im Orts- und
im reziproken Raum sich invers verhalten. Die vier inneren Peaks werden durch die
laterale Korrelation der Inseln verursacht.
Die elliptische Form rührt her von der horizontalen Formanisotropie und bestätigt das aus AFM
gewonnene Aspektverhältnis w 110/w 1-10 = ∆q 1-10/∆q 110 ≈ 1.5. Die durch laterale Korrelation der
Inseln verursachten inneren Peaks sind deutlich schwächer ausgeprägt als im System SiGe. Anders
als bei den hoch monodispersen SiGe Inseln führen Schwankungen von Inselgröße und –form hier
zu einem Auslöschen von charakteristischen, mit einer typischen Länge im Ortsraum gekoppelten,
Oszillationen.
Es ist aus der Elastizitätstheorie bekannt, dass bei einer vorgegebenen Form der Insel die
Symmetrie des Deformationsfeldes unabhängig von deren Größe ist [GSB95]. Solange folglich
die Inseln nur hinreichend ähnlich in ihrer Form sind, läßt sich das Deformationsfeld als Sonde zur
Bestimmung der Inselmorphologie benutzen. Die aus der AFM Messung bestimmte Form einer
entlang [110] elongierten Insel reduziert die 4-zähligen Symmetrie des Deformationstensors für eine
Insel mit quadratischem Grundriß auf eine 2-zählige Form, was wiederum Unterschiede in der
diffus gestreute Intensität in beiden betroffenen Richtungen nahe legt.
Namentlich die beiden Komponenten ε 110 und ε 1-10 des Deformationstensors müssen verschieden
sein. Um diese experimentell zu bestimmen, wurden für die Röntgenbeugung zwei gleichwertige
Reflexe in unterschiedlichen Zonen ausgewählt. Dabei bieten sich z.B. die asymmetrischen Reflexpaare
224/2-24 und 113/1-13 an, in denen signifikante Unterschiede zu erwarten sind, während
z.B. das Paar 404/0-44 aufgrund der Inselsymmetrie ähnliche Ergebnisse liefern sollte. Abb. 7-3A
zeigt zwei Messungen der diffusen Intensität in der Nähe der Gitterpunkte 113 und 1-13.

118 7 InP/InGaP Quantenpunkte
-1
q 001 [A ]
q 001 [A ]
-1
3.30
3.25
3.20
3.15
3.10
3.25
3.20
3.15
3.10
3.05
1-13
1-13
1.50 1.55
-1
q 1-10 [A ]
A
B
I
113
113
1.50 1.55
-1
q 110 [A ]
2
1
0
-1
-2
-3
-4
log (I)
Z
CTR
6
5
4
3
2
1
log (I)
Abb. 7-3: (A) Messung der diffus gestreuten Intensität in der Nähe der reziproken
Gitterpunkte 1-13 und 113. Die Energie der benutzten Strahlung betrug 7400 eV
und (B) Simulationen der diffusen Intensität für eine In 0.83Ga 0.17P Insel
(w 110=50nm, w 1-10=30nm, h=7nm) auf einer an GaAs gitterangepaßten InGaP
Pufferschicht. Der für die Streuung an den Inselstrukturen unerhebliche GaAs-
Substratreflex wurde nicht vermessen. Er tritt bei q 110=q 1-10=1.572Å -1
/q 001=3.335Å -1 auf. In beiden Messungen erkennt man deutlich den senkrecht
verlaufenden CTR. Der Streak (Z) entsteht durch starke Streuung in der Detektorhalterung
bei exakter Bragg-Position für das Substrat, so dass die Verlängerung von
CTR und (Z) im Substratreflex einmünden.
Der Substratreflex des GaAs Substrates wurde nicht explizit vermessen. Dennoch finden sich zwei
auf ihn zurückzuführende typische Charakteristika, die auch bei den Messungen an den SiGe Inseln
auftraten. Zum einen führt der Abbrucheffekt an der Oberfläche zu einem Truncation Rod (CTR)

7.1 Form- und Größenbestimmung 119
zum anderen verursacht die starke Streuung bei exakter Braggposition einen Artefakt (Z), der sich
als intensive Linie bemerkbar macht.
Die weitverschmierte Intensität (I) bildet die deformierten Bereiche der Inseln ab. Im Gegensatz zu
Messungen an den SiGe Strukturen zeigen die Intensitätsmuster aufgrund der vergleichsweise
breiten Form- und Größenverteilung nur wenig Details. Es fällt auf, dass wie erwartet die lateralen
Positionen des Inselreflexes im reziproken Raum für die Einstrahlrichtungen entlang [110] (113
Reflex) und [1-10] (1-13 Reflex) unterschiedlich sind. Für den 113 Reflex befindet sich der
Schichtpeak bei q 110=1.564Å -1 und q 001=3.163Å -1 und für den 1-13 Reflex bei q 1-10=1.558Å -1 bei
gleichem q 001. Die lateralen Verschiebung δq 110 und δq 1-10 gegenüber den Substratwerten q 110 und
q 1-10 sind verknüpft mit den gemittelten Diagonalkomponenten des Deformationstensors:
δq
ε −
110 110
110
= ε110
=
(7-1)
q110
δq
1−10
ε 1−10
1−10
= ε1−10
= −
(7-2)
q1−10
für die sich aus den Messungen am 113 und 1-13 Reflex 〈ε 110〉 = (5.0±0.5)×10 -3 und 〈ε 1-10〉 =
(9.2±0.5)×10 -3 ergeben. Dieses Resultat bestätigt, dass die Relaxation aufgrund der unterschied-
lichen Ausdehnung entlang der beiden 〈110〉 Richtungen zu verschieden starker Relaxation in der
Insel führt. Als Maß der Asymmetrie läßt sich ein Parameter 〈α〉 einführen:
ε1−10
α = (7-3)
ε
110
der sich experimentell zu 〈α〉 exp = 1.84 bestimmt. Es ist offensichtlich so, dass die Insel entlang der
langen Seite, also entlang [110] weniger gut relaxieren kann als entlang der kurzen Seite.
Für die Simulationen des 113 und 1-13 Reflexes in Abb. 7-3B wurde eine Insel mit einer rechteckigen
Basis der Längen w 110=50 nm und w 1-10=30 nm bei einer Höhe h von 7 nm angenommen,
was mit den aus AFM bestimmten Längen gut übereinstimmt. AFM kann darüber hinaus keine
zuverlässige Aussage zur konkreten Inselform machen. Deshalb wurden für unterschiedliche
Formen von quaderförmig bis spitz zulaufend die diffusen Intensitäten simuliert, wobei die beste
Übereinstimmung von Simulation und Messung für eine spitz zulaufende Pyramide erreicht wurde,
die auch in den folgenden Überlegungen zur Skalierung der mittleren Deformation für unterschiedliche
Aspektverhältnisse beibehalten wird. Die vertikale Position des Inselreflexes, und damit
die vertikale Komponente des Deformationstensors, lies sich in der Simulation nur anpassen, wenn
man einen relativen Gitterparameterunterschied von 2.58% 49 gegenüber GaAs annimmt. Daraus
folgt, dass durch Interdiffusion von Indiumatomen während des Wachstums in der Insel im Mittel
eine ternäre Verbindung der Zusammensetzung In 0.83Ga 0.17P vorliegen muß, die in den Simu-
49 Der Gitterparameterunterschied zwischen InP und GaAs beträgt 3.8%.

120 7 InP/InGaP Quantenpunkte
lationen für die gesamte Insel konstant gehalten wurde. Der Schichtpeak in den Simulationen ergibt
für die Komponenten des Deformationstensors 〈ε 110〉 = (5.0±0.5)×10 -3 und 〈ε 1-10〉 = (8.7±0.5)×10 -3 ,
woraus für das aus der Simulation bestimmte mittlere Verhältnis 〈α〉 simu=1.71 folgt.
Die Neigung der in der Simulation modellierten Facetten von 15.64° und 25.02° sind ein starkes
Indiz für das Vorhandensein von Typ {115} (15.79°) und {113}-Facetten (25.24°). Im Unterschied
zu der von Ballet et.al. [BSY00] gefundenen Form, besitzen die Inseln der untersuchte Probe
keine Deckfacette.
-1
q 001 [A ]
3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0
4.40 4.40
4.35 4.35
4.30 4.30
4.25 4.25
4.20 4.20
4.15
4.15
4.10
0-44
404
4.10
404
4.35 4.40 4.45 4.35 4.40 4.45
4.35 4.40 4.45
-1
q 0-10 [A ]
log (I)
6.5
6.0
5.5
A I CTR B
Z
5.0
4.5
4.0
-1 -1
q 100 [A ]
q 100 [A ]
Abb. 7-4: (A) Gemessene diffus gestreute Intensität in der Nähe der 0-44 und 404
Gitterpunkte. Die Messung erfolgte exklusive des Substratreflexes, der bei
q 100=q 0-10=q 001=4.445Å -1 auftreten würde und in der Messung zu den bereits
diskutieren Intensitätsverteilung senkrecht zur Oberfläche CTR und dem Streak (Z)
führt. (B) Simulationen der diffusen Intensität für eine In 0.83Ga 0.17P Insel
(w 110=50nm, w 1-10=30nm, h=7nm) auf einer an GaAs gitterangepaßten
In 0.48Ga 0.52P Pufferschicht.
In Abb. 7-4A sind die gemessenen Intensitäten in der Nähe der beiden äquivalenten Reflexe 0-44
und 404 dargestellt. Auch hier wurde der GaAs-Substratreflex nicht mitvermessen. Die hohe Intensität
bei Erfüllung der Braggbedingung am Substrat führt wie bei den vorangestellten Messungen zu
dem bereits erwähnten Artefakt (Z), der Truncation Rod (CTR) erscheint als starke Intensitätslinie
senkrecht zur Oberfläche durch den Substratreflex. Die Inselreflexe (I) erscheinen im Unterschied
zum Reflexpaar 113/1-13 bei der gleichen Position im reziproken Raum (q 0-10=4.408Å -1 und
q 100=4.409Å -1 ), was auf eine Äquivalenz der beiden 〈100〉 Richtungen schließen läßt. Daneben, in
Abb. 7-4B, findet sich eine Simulation des 404 Reflexes für eine freistehende In 0.83Ga 0.17P Insel
3.5

7.2 Deformationsfelder in 2-zähligen Inselstrukturen 121
(w 110=50nm, w 1-10=30nm, h=7nm) auf einer an GaAs gitterangepaßten InGaP Pufferschicht. Aus
Symmetriegründen stimmen die Simulationen des 0-44 und 404 Reflexes exakt überein.
7.2 Deformationsfelder in 2-zähligen Inselstrukturen
7.2.1 Skalenverhalten
Bei einer vorgegebenen Inselform sind nur zwei der drei Größen w 110, w 1-10 und h voneinander
unabhängig. So läßt sich eine durch dieses Wertetripel definierte Form I in eine davon verschiedene
Form II ändern, indem beispielsweise die Höhe h bei konstanten Basislängen variiert wird oder
durch Variation der Längen w 110 und w 1-10 bei konstantem h. Diese Reduktion führt auf zwei für die
Insel charakteristische geometrische Aspektverhältnisse Q 110 und Q 1-10:
w110
Q110
=
2h
(7-4)
w1−10
Q1−
10 =
2h
(7-5)
Durch die Variation einzelner Parameter ergeben sich Skalenverhalten für die gemittelten Kom-
ponenten des Deformationstensors und für den aus ihnen bestimmten Parameter 〈α〉 nach (7-3).
Abb. 7-5: (A) Gemittelte berechnete Deformationen 〈ε 110〉 und 〈ε 1-10〉 in einer
freistehenden In 0.83Ga 0.17P Insel mit rechteckigem Grundriß w 110=50 nm und
w 1-10=30 nm für verschiedene Inselhöhen h. Für zunehmende Inselhöhe bei gleicher
Basis sinkt der über die Inselhöhe gemittelte Parameter 〈α〉. Je höher eine Insel, desto

122 7 InP/InGaP Quantenpunkte
besser können die oberen Bereiche in beiden 〈110〉 Richtungen relaxieren und verkleinern
damit 〈α〉.
In Abb. 7-5A ist für verschiedene Inselhöhen h bei gleicher Inselbasis (w 110=50 nm und
w 1-10=30 nm), also für ein konstantes Verhältnis Q 110/Q 1-10, die mittlere berechnete Deformation
entlang der beiden 〈110〉 Richtungen aufgetragen. Die Werte wurden aus den Peaklagen der
simulierten diffusen Intensitäten bestimmt.
Innerhalb eines Höhenfensters von 5 nm bis 10 nm nimmt die mittlere Deformation linear, für
beide 〈110〉 Richtungen mit etwa gleichen Steigungen, als Funktion der Inselhöhe zu. Über den
gesamten Höhenbereich kann die Relaxation entlang der kurzen Inselseite effizienter stattfinden als
über die lange Seite. Für Höhen größer 10 nm treten Abweichungen vom linearen Zusammenhang
auf, da ab einem bestimmten h die oberen Bereiche bereits vollständig relaxiert sind. Dass der Wert
für den angenommenen Gitterparameterunterschied von 0.0258 für keine der beiden Richtungen
erreicht wird, ist eine Folge der Mittelung über die gesamte Insel. Im Rahmen einer höhenaufgelösten
Betrachtung der Relaxation in Kap. 7.2.2 wird diese Aussage zum Relaxationsverhalten im
oberen Inselteil bestätigt.
Im Aspektverhältnis 〈α〉, Abb. 7-5B, wird eine Abnahme der Asymmetrie mit zunehmender Insel-
höhe deutlich. Während eine 5 nm hohe Insel noch ein hohes Aspektverhältnis 〈α〉 simu von 1.97
aufweist, sinkt dieses kontinuierlich auf 1.45 bei h=15 nm ab.
Ändert man bei fester Höhe das geometrische Aspektverhältnisse Q 110/Q 1-10, so offenbart sich ein
Skalenverhalten für 〈α〉. Abb. 7-6 zeigt für vier verschiedene geometrische Aspektverhältnisse
(w 110={30, 40, 50 und 60 nm}, w 1-10=30 nm) bei einer fixen Höhe h=7 nm diesen Zusammenhang.
exp
Abb. 7-6: Berechneter Parameter 〈α〉 als Funktion des Aspektverhältnisses
Q 110/Q 1-10 für eine freistehenden In 0.83Ga 0.17P Insel konstanter Höhe h=7 nm.

7.2 Deformationsfelder in 2-zähligen Inselstrukturen 123
Der aus den Röntgenuntersuchungen gewonnene Wert von 〈α〉 exp=1.84 stimmt gut mit den Werten
für die Simulation 〈α〉 simu=1.71 überein. Bei vorgegebener Inselform läßt sich dieses Skalenverhalten
als ausgezeichnetes Werkzeug zur Verbesserung der Simulation einsetzen.
7.2.2 Höhenabhängige Relaxation
Die Annahme einer mittleren Deformation bedeutet eine starke Vereinfachung der realen Ver-
hältnisse in einer Insel. Dies äußert sich beispielsweise für 〈α〉 im Nichterreichen der angenommenen
Gitterfehlpassung selbst für große Inselhöhen. In Abb. 7-7 sind die beiden Kom-
ponenten ε 110 und ε 1-10 für eine In 0.83Ga 0.17P Insel auf einer an GaAs gitterangepaßten InGaP
Pufferschicht im Schnitt durch die Insel gezeigt. Man erkennt anhand der Farbbalken deutlich, dass
bereits bei einer 7 nm hohen Insel entlang der kurzen Seite vollständige Relaxation im Apex
vorliegt. Die Tensorkomponente ε 1-10 erreicht Werte von 0.0261, was sehr genau der
zugrundegelegten Gitterfehlpassung von 2.58% entspricht. Die größere Breite entlang [110] hindert
Inseln dieser Höhe an einer vollständigen Relaxation entlang der größeren Längsausdehnung. Der
maximal für ε 110 im Inselscheitel erreichte Wert von 0.0173 bedeutet eine Relaxation von nur 67%.
0.0173
0.0147
0.0122
0.0096
0.0070
0.0045
0.0019
-0.0007
-0.0032
-0.0058
-0.0084
0.0261
0.0256
0.0190
0.0155
0.0120
0.0085
0.0050
0.0015
-0.0021
-0.0056
-0.0091
ε 110
ε 1-10
50 nm
30 nm
[001]
[1-10] [110]
[001]
[110] [1-10]
Abb. 7-7: Mit Finite Elemente Methode berechnete Deformationstensorkomponenten
ε 110 und ε 1-10 im Schnitt durch eine 50×30×7 nm 3 große In 0.83Ga 0.17P Insel, die auf
einer InGaP Pufferschicht aufgewachsen wurde, zu der der nominelle Gitterparameterunterschied
2.58% beträgt.

124 7 InP/InGaP Quantenpunkte
Eindimensionale Schnitte ε 110(z) und ε 1-10(z) entlang der Symmetrieachse durch die Insel, Abb. 7-8,
bestätigen diese Verhalten. Darüber hinaus ist das Aspektverhältnis α - hier nicht gemittelt über die
gesamte Insel, sondern abhängig von z - als Quotient beider Tensorkomponenten aufgetragen.
Dabei ist zu berücksichtigen, dass diese Werte für das Symmetriezentrum der Pyramide gelten, also
genaugenommen ε i(z)=ε i(z,x=0,y=0). Offensichtlich erfolgt die Relaxation entlang beider 〈110〉
Richtungen unterschiedlich. Der Inselfuß befindet sich bei z=0. Da dort der Substrateinfluß am
größten und der der Insel am geringsten ist, muß zum einen die Deformation in diesen Bereichen
klein sein, mithin die gespeicherte Deformationsenergie groß, andererseits zeigt sich, dass bereits im
untersten Teil eine starke Asymmetrie der Relaxation vorliegt. α variiert über die gesamte Höhe
kaum und im Inselapex bleibt eine Restasymmetrie von α Apex=1.5 bestehen.
Abb. 7-8: Mit FEM berechnete Diagonalkomponenten ε 110(z) und ε 1-10(z) des
Deformationstensors entlang der Symmetrielinie einer 50×30×7 nm 3 großen
In 0.83Ga 0.17P Insel und deren Verhältnis α(z).
Die entsprechenden Kurven für ε 110(z), ε 1-10(z) und α(z) in Abb. 7-9 zeichnen für eine 15 nm hohe
Insel bei gleichem Grundriß ein qualitativ geändertes Bild der Relaxation. Bis zu einer Höhe von
etwa 7 nm gleichen sich die Verläufe beider Inseltypen. Im Unterschied zu der 7 nm hohen Insel
nähern sich mit steigendem z die Kurven für die beiden Tensorkomponenten als Folge einer
vollständigen Relaxation in beiden 〈110〉 Richtungen dem Wert des Gitterparameterunterschiedes
von 0.0258 an. Für α zeigt sich dieses Verhalten im Erreichen des Wertes 0.97 für z=15 nm.

7.2 Deformationsfelder in 2-zähligen Inselstrukturen 125
Abb. 7-9: Mit FEM berechnete Diagonalkomponenten ε 110(z) und ε 1-10(z) des
Deformationstensors entlang der Symmetrielinie einer 50×30×15nm 3 großen
In 0.83Ga 0.17P Insel und deren Verhältnis α(z).

8 Zusammenfassung
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die zerstörungsfreie Charakterisierung selbstgeordneter
mesoskopischer Objekte in den Systemen SiGe auf Si(001) und InP auf InGaP/GaAs(001) mittels
hochaufgelöster Röntgenstreuung in Verbindung mit kinematischen Streurechnungen. Darüber
hinaus wurde der Entstehungsprozeß von Einzelinseln und Insel-Insel-Korrelation mit direktabbildenden
Verfahren untersucht.
Aufgrund der unterschiedlichen Gitterparameter bei der Heteroepitaxie kommt es beim Wachstum
zum Aufbau von Deformationsenergie, die bei den betrachteten Proben ausschließlich elastisch
über die Bildung von Stranksi-Krastanow Inseln abgebaut wurde. Die mit Flüssigphasenepitaxie
gezüchteten SiGe Inseln auf Si(001) weisen im Endstadium die Form eines vierzähligen Pyramidenstumpfes
auf, der durch {111} Seitenfacetten und eine (001) Deckfacette begrenzt wird.
Für die Entstehung von SiGe Inseln mit einem nominellen Ge-Gehalt von 10% konnten drei verschiedene
Wachstumsstadien direkt mittels Atomkraftmikroskopie nachgewiesen werden. Die
Inselentstehung erfolgt bis zu etwa einem Drittel der Höhe des finalen Pyramidenstumpfes über
steiler werdende Facetten, bis diese einen Winkel von etwa 16°, entsprechend {115} Facetten,
einnehmen. Gefolgt von diesem zeitlich gut auflösbaren vergleichsweise langsamen Prozeß findet
eine sehr rasche Morphologieänderung hin zu flachen Pyramidenstümpfen mit {111} Seitenfacetten
und einer (001) Deckfacette statt. Später wachsen die Inseln hauptsächlich über die (001)
Facette weiter. Daneben konnte ein zusätzliche Verbreiterung der Basis durch das am Inselfuß
startende Aufwachsen von {111} Flächen mittels Rasterelektronenmikroskopie nachgewiesen
werden. Da diese Flächen zum Teil jedoch nicht bis in die Inselkanten bzw. bis zur Deckfacette
komplettiert werden, kommt es zu einer deutlichen Verbreiterung der 〈101〉 Kanten.
Bei Germaniumgehalten größer 30% verläuft die Inselentstehung bereits so schnell, dass nur
ausgewachsene Pyramidenstümpfe mit AFM beobachtet werden konnten. Jedoch läßt sich bei
diesen Konzentrationen sehr gut die Entstehung von Inselketten entlang 〈100〉 abhängig vom
Bedeckungsgrad untersuchen. Dazu wurden verschieden dichte Topologien quantitativ in Hinblick
auf die auftretenden Kettenlängen und den daran beteiligten Inseln ausgewertet. Mit steigender
Bedeckung nimmt die maximal realisierte Kettenlänge zu. Darüber hinaus ordnen sich bezogen auf
die Gesamtinselzahl immer mehr Inseln in immer längeren Reihen an. Der beobachtete
Mechanismus funktioniert über die Anlagerung weiterer Inseln am Ende einer bereits bestehenden
Formation. Der Benetzungsschicht und den unterliegenden Substratbereichen kommt eine
vermittelnde Funktion bei der Propagation des die Insel umgebenden Spannungsfeldes zu. Das
Auftreten ausgesprochen langer Ketten mit mehr als 12 Inseln legt die Vermutung nahe, dass nicht
nur das Spannungsfeld der nächstgelegenen Insel die Umgebung in günstige und weniger günstige
Nukleationsplätze einteilt, sondern dass zumindest auch noch die übernächste Insel an diesem
Prozeß beteiligt sein muß. Mittels FEM Simulationen konnte gezeigt werden, dass ein vorhandenes
Dimer die Nukleation entlang seiner Hauptrichtung in einem kleineren Abstand als senkrecht dazu
favorisiert. Ein Minimum in der Deformationsenergiedichte konnte nicht nachgewiesen werden. Es
ist zu vermuten, dass dem in den FEM Simulationen nicht berücksichtigten spannungsinduzierten

128 8 Zusammenfassung
partiellen Abtrag der Benetzungsschicht eine weitaus größere Bedeutung bei der Entstehung von
Insel-Insel-Korrelation zukommt als bisher angenommen wurde.
Zur Aufklärung der inneren Zusammensetzung in den SiGe Inseln wurden hochaufgelöst die
Intensitätsverteilungen in der Nähe des symmetrischen 004 und der beiden asymmetrischen -404
und -1-13 Gitterpunkte vermessen, wobei aufgrund der Geringfügigkeit des Inselsignals ausschließlich
Synchrotronstrahlung verwendet wurde. Die Verteilungen enthalten Informationen über
Größe und Form sowie chemische Zusammensetzung und die daran eng geknüpfte Verbiegung
der Netzebenen in den Inseln. Darüber hinaus führt die Anordnung der Inseln zu Intensitätsmaxima
in der Nähe des Truncation Rod, aus denen auf den mittleren Abstand der Objekte im
Ortsraum geschlossen werden kann.
Um den Deformationszustand in den SiGe Inseln zu bestimmen, wurden Finite Elemente
Berechnungen durchgeführt. Das in einem Zwischenschritt auf einem regulären dichteren Zielnetz
approximierte Deformationsfeld diente als Eingangsgröße für die sich anschließenden
kinematischen Streurechnungen. Bei konstant gehaltener äußerer Form wurden für verschiedene
Modelle mit homogenem Ge-Gehalt, linearem Profil, diskretem Verlauf und pyramidenförmiger
Inklusion die Streumuster simuliert, wobei ein abrupter Konzentrationssprung von 25% auf 30%,
bzw. 32% auf 38% Germanium in den Inseln einer zweiten Probe, bei einem Drittel der Höhe des
Pyramidenstumpfes die Messungen am besten reproduziert. Dieser Befund legt die Vermutung
nahe, dass auch für Ge-Konzentrationen, bei denen die Inselentstehung mittels AFM zeitlich nicht
mehr aufgelöst werden kann, das Inselwachstum anfangs über immer steilere Facetten bis {115}
stattfindet, gefolgt von einer raschen Morphologieänderung zu {111} facettierten Pyramidenstümpfen
mit (001) Deckfacette und anschließendem Wachstum entlang [001].
Aufgrund des nur geringfügig unterschiedlichen Streuvermögens der beiden beteiligten Atomspezies
Silizium und Germanium sind die Messungen nur mittelbar über die Deformation des
Gitters auf die chemische Zusammensetzung empfindlich, wie anhand vergleichender Simulationen
mit und ohne Kompositionseinfluß bei gleichem Einfluß des Deformationsfeldes nachgewiesen
werden konnte.
Neben Intensitätsbeiträgen komprimierter Inselbereiche in hochaufgelösten in-plane GID-Intensitätsverteilungen
ließ sich mittels kinematischer Simulationen ein starker Einfluß kompressiv
deformierter Bereiche des Substrates und der Benetzungsschicht auf die Intensitätsverteilung nachweisen.
Im Rahmen zukünftiger Simulationen, denen zunächst ein breiteres Spektrum von FEM
Modellen zugrunde liegen muß, und die darüber hinaus den Streuprozeß dynamisch behandeln,
hätte man mit dieser Methode einen erfolgversprechenden Zugang zu morphologischen Eigenschaften
der Benetzungsschicht sowie zum Deformationsfeld in der Inselumgebung.
Zur Beschreibung der beobachteten Korrelationseffekte in Weitwinkelbeugung wurde eine in-plane
Korrelationsfunktion konstruiert. Diese enthält mit Rücksicht auf die endliche experimentelle
Kohärenzlänge zunächst eine phasenrichtige Summation über die gestreuten Amplituden von
Einzelinseln innerhalb kohärent abgetasteter Gebiete und eine anschließende Summation über die
von diesen Ensembles gestreuten Intensitäten.

Die im System InP auf an GaAs(001) gitterangepaßtem InGaP vorliegenden Stranski-Krastanow
Inseln sind aufgrund des größeren relativen Gitterparameterunterschiedes von 0.038 mit einer
mittleren Höhe von etwa 7 nm und mittleren Basisbreiten von 50 nm bzw. 30 nm entlang [110]
und [1-10] deutlich kleiner als die untersuchten SiGe Strukturen. Infolge der asymmetrischen Form
kommt es zu einem richtungsabhängigen Relaxationsverhalten der Inseln in Bezug auf die beiden
〈110〉 Richtungen. Sowohl mit Finite Elemente Berechnungen als auch durch Messungen der
diffusen Streuintensität am Reflexpaar 113/1-13 in Verbindung mit kinematischen Streusimulationen
konnte entlang [1-10] eine weiter fortgeschrittene Relaxation als entlang [110] nachgewiesen
werden. Neben diesem Befund weisen die Simulationen mit einer mittleren Zusammensetzung
von In 0.83Ga 0.17P in den Quantenpunkten auf eine Interdiffusion während des Wachstums hin.
129

9 Literaturverzeichnis
[ACM95] M.Albrecht, S.Christiansen, J.Michler, W.Dorsch, H.P.Strunk, P.O.Hansson,
E.Bauser
Surface ripples, crosshatch pattern, and dislocation formation: Cooperating mechanisms in
lattice mismatch relaxation
Appl. Phys. Lett. 67, 1232 (1995)
[ANM01] J.Als-Nielsen, D.McMorrow
Elements of Modern X-Ray Physics
J.Wiley, New York (2001)
[Bat95] Klaus-Jürgen Bathe
Finite-Elemente-Methoden
Springer, Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo (1990)
[Bau58] E.Bauer
Zeitschrift für Kristallographie 110, 372 (1958)
[BCD00] F.Boscherini, G.Capellini, L.DiGaspare, F.Rosei, N.Motta, S.Mobilio
Ge-Si intermixing in Ge quantum dots on Si(001) and Si(111)
Appl. Phys. Lett. 76, 682 (2000)
[BFA96] T.Benabbas, P.Francios, Y.Androussi, A.Lefebvre
Stress relaxation in highly strained InAs/GaAs structures as studied by finite element analysis
and transmission electron microscopy
J. Appl. Phys. 80, 2763 (1996)
[BGH01] D. Bimberg, M. Grundmann, F. Heinrichsdorff, N. N. Ledentsov, Ch. Ribbat, R.
Sellin, Zh. I. Alferov, P. S. Kop'ev, M. V. Maximov, V. M. Ustinov, A. E.
Zhukov, J. A. Lott
Quantum dot lasers: Theory and experiment
AIP Conference Proceedings 560 (1), 178 (2001)
[BKP92] F.Buda, J.Kohanoff, M.Parinello
Optical properties of porous silicon: A first-principles study
Phys. Rev. Lett. 69, 1272 (1992)
[BlM67] I.A.Blech, E.Meieran
Enhanced X-Ray Diffraction from Substrate Crystals Containing Discontinuous Surface
Films
J. Appl. Phys. 38, 2913 (1967)
[Boe94] D.K.G.deBoer
Influence of the roughness profile on the specular reflectivity of x-rays and neutrons
Phys. Rev. B 49, 5817 (1994)
[Boe96] D.K.G.deBoer
X-ray scattering and x-ray fluorescence from materials with rough interfaces
Phys. Rev. B 53, 6048 (1996)

132 9 Literaturverzeichnis
[BPS53] J.A.Burton, R.C.Prim, W.P.Slichter
J. chem. Phys. 21, 1987 (1953)
[Bru02] K.Brunner
Si/Ge Nanostructures
Rep. Prog. Phys. 65, 27-72 (2002)
[BSY00] P.Ballet, J.B.Smathers, H.Yang, C.L.Workman, G.J.Salamo
Scanning tunneling microscopy investigation of truncated InP/GaInP 2 self-assembled islands
Appl. Phys. Lett. 77, 3406 (2000)
[CAM96] S.Christiansen, M.Albrecht, J.Michler, H.P.Strunk
Elastic and Plastic Relaxation in Slightly Misfitting Epitaxial Layers – A Quantitative
Approach by Three-Dimensional Finite Element Calculations
Phys. Stat. Sol. (a) 156, 129 (1996)
[CAS94] S.Christiansen, M.Albrecht, H.P.Strunk, H.J.Maier
Strained state of Ge(Si) islands on Si: Finite element calculations and comparison to convergent
beam electron-diffraction measurements
Appl. Phys. Lett. 64, 3617 (1994)
[CAS95] S.Christiansen, M.Albrecht, H.P.Strunk, P.O.Hansson, E.Bauser
Reduced effective misfit in laterally limited structures such as epitaxial islands
Appl. Phys. Lett. 66, 574 (1995)
[CDE01] G.Capellini, M.De Seta, F.Evangelisti
SiGe intermixing in Ge/Si(100) islands
Appl. Phys. Lett. 78, 303 (2001)
[ChP92] P.C.Chou, N.J.Pagano
Elasticity Tensor, dyadic and engineering approaches
Dover (1992)
[CRP92] A.G.Cullis, D.J.Robbins, A.J.Pidduck, P.W.Smith
The characterization of strain-modulated surface undulations formed upon epitaxial Si 1-xGe x
alloy layers on Si
J. Cryst. Growth 123, 333 (1992)
[CZD00] S.A.Chaparro, Y.Zhang, J.Drucker, D.Chandrasekhar, D.J.Smith
Evolution of Ge/Si(001) islands: Island size and temperature dependence
J. Appl. Phys. 87, 2245 (2000)
[DEP64] J.P.Dismukes, L.Ekstrom, R.J.Paff
J. Phys. Chem. 68, 10 (1964)
[DFL95] K.Dettmer, W.Freiman, M.Levy, Yu.L.Khait, R.Beserman
Kinetics of interdiffusion in strained nanometer period Si/Ge superlattices studied by Raman
scattering
Appl. Phys. Lett. 66, 2376 (1995)
[Dos92] H.Dosch
Critical Phenomena at Surfaces and Interfaces

Vol. 126 Springer Tracts in Modern Physics, Springer (1992)
[Dor98] W. Dorsch
Dissertation: „Die Topologie fehlpassender SiGe-Schichten: Merkmale des Wachstums“
Erlangen-Nürnberg (1998)
[DSJ01] U.Denker, O.G.Schmidt, N.-Y.Jin-Phillip, K.Eberl
Trench formation around and between self-assembled Ge islands on Si
Appl. Phys. Lett. 78, 3723 (2001)
[DSS95] W. Drube, H. Schulte-Schrepping, H.-G. Schmidt, R. Treusch, G. Materlik,
Rev. Sci. Instrum. 66, 1668 (1995)
[DSW98] W.Dorsch, H.P.Strunk, H.Wawra, G.Wagner, J.Groenen, R.Carles
Strain-induced island scaling during Si 1-xGe x heteroepitaxy
Appl. Phys. Lett. 72, 179 (1998)
[DTB99] I.Daruka, J.Tersoff, A.-L.Barabási
Shape Transition in Growth of Strained Islands
Phys. Rev. Lett. 82, 2753 (1999)
[DWC94] D.Dutartre, P.Warren, F.Chollet, F.Gisbert, M.Bérenguer, I.Berbézier
Defect-free Stranski-Krastanov growth of strained Si 1-xGe x layers on Si
J. Cryst. Growth 142, 78 (1994)
[DZH98] A.A.Darhuber, J.Zhu, V.Holý, J.Stangl, P.Mikulík, K.Brunner, G.Abstreiter,
G.Bauer
Highly regular self-organization of step bunches during growth of SiGe on Si(113)
Appl. Phys. Lett. 73, 1535 (1998)
[EaC90] D.J.Eaglesham, M.Cerullo
Dislocation-free Stranski-Krastanow growth of Ge on Si(100)
Phys. Rev. Lett. 64, 1943 (1990)
[FDO97] D.A.Faux, J.R.Downes, E.P.O’Reilly
Analytical solutions for strain distributions in quantum-wire structures
J. Appl. Phys. 82, 3754 (1997)
[FKZ99] T.Füller, M.Konuma, J.Zipprich, F.Banhart
The critical thickness of silicon-germanium layers grown by liquid phase epitaxy
Appl. Phys. A 69, 597 (1999)
[FLL94] S.Fafard, R.Leon, D.Leonard, J.L.Merz, P.M.Petroff
Visible photoluminescence from N-dot ensembles and the linewidth of ultrasmall
Al yIn 1-yAs/Al xGa 1-xAs quantum dots
Phys. Rev. B 50, 8086 (1994)
[FrM49] F.C.Frank and J.H. van der Merwe
One-dimensional dislocations: I. Static theory, II.Misfitting monolayers and oriented overgrowth
Proc.R.Society A 198, 205 (1949)
[GCS95] K.Georgsson, N. Carlsson, L.Samuelson, W.Seifert, L.R.Wallenberg
133

134 9 Literaturverzeichnis
Transmission electron microscopy investigation of the morphology of InP Stranski-Krastanow
islands grown by metalorganic chemical vapor deposition
Appl. Phys. Lett. 67, 2981 (1995)
[GSB95] M.Grundmann, O.Stier, D.Bimberg
InAs/GaAs pyramidal quantum dots: Strain distribution, optical phonons, and electronic
structure
Phys. Rev. B 52, 11969 (1995)
[GSB00] J.M.Garcia, J.P.Silveira, F.Briones
Strain relaxation and segregation effects during self-assembled InAs quantum dots formation on
GaAs(001)
Appl. Phys. Lett. 77, 409 (2000)
[HAS92] P.O.Hansson, M.Albrecht, H.P.Strunk, E.Bauser, J.H.Werner
Thin Solid Films 216, 199 (1992)
[HDS98] V.Holý, A.A.Darhuber, J.Stangl, S.Zerlauth, F.Schäffler, G.Bauer, N.Darowski,
D.Lübbert, U.Pietsch, I.Vávra
Coplanar and grazing incidence x-ray diffraction investigation of self-organized SiGe quantum
dot multilayers
Phys. Rev. B 58, 7934 (1998)
[HiL82] J.P.Hirth, J.Lothe
Theory of Dislocations
Wiley, New York (1982)
[HKO93] V.Holý, J.Kubena, I.Ohlidal, K.Lischka, W.Plotz
X-ray reflection from rough layered systems
Phys. Rev. B 47, 15896 (1993)
[HLD89] M.A.G.Halliwell, M.H.Lyons, S.T.Davey, M.Hockly, C.G.Tuppen, C.J.Gibbings
Estimation of percentage relaxation in Si/Si 1-xGe x strained-layer superlattices
Semi. Sci. Tech. 4, 10 (1989)
[HLG95] F.Hatami, N.N.Ledentsov, M.Grundmann, J.Bohrer, Z.I.Alferov
Radiative recombination in type-II GaSb/GaAs quantum dots
Appl. Phys. Lett. 67, 656 (1995)
[HMK00] F.Hatami, U.Müller, H.Kissel, K.Braune, R.-P.Blum, S.Rogaschewski, H.Niehus,
H.Kirmse, W.Neumann, M.Schmidbauer, R.Köhler, W.T.Masselink
Planar ordering of InP quantum dots on (100) In 0.48Ga 0.52P
J. Cryst. Growth 216, 26 (2000)
[HoB78] J.Hornstra, W.J.Bartels
Determination of the lattice constant of epitaxial layers of III-V compounds
J. Cryst. Growth 44, 513 (1978)
[Hön33a] H.Hönl
Zeitschrift für Physik 84, 1 (1933)
[Hön33b] H.Hönl

Ann. der Phys. [5] 18, 625 (1933)
[HPB98] V.Holý, U.Pietsch, T.Baumbach
High Resolution X-Ray Diffraction from Thin Films and Multilayers
Vol. 149 Springer Tracts in Modern Physics, Springer (1998)
[HSP99] V.Holý, G.Springholz, M.Pinczolits, G.Bauer
Strain Induced Vertical and Lateral Correlation in Quantum Dot Superlattices
Phys. Rev. Lett. 83, 356 (1999)
[HZL01] C.J.Huang, Y.H.Zuo, D.Z.Li, B.W.Cheng, L.P.Luo, J.Z.Yu, Q.M.Wang
Shape evolution of Ge/Si(001) islands induced by strain-driven alloying
Appl. Phys. Lett. 78, 3881 (2001)
[IsH97] H.Ishikuro, T.Hiramoto
Quantum mechanical effects in the silicon quantum dot in a single-electron transistor
Appl. Phys. Lett. 71, 3691 (1997)
[JiS97] H.Jiang, J.Singh
Strain distribution and electronic spectra of InAs/GaAs self-assembled dots: An eight-band
study
Phys. Rev. B 56, 4696 (1997)
[JJJ00] Z.M.Jiang, X.M.Jiang, W.R.Jiang, Q.J.Jiang, Q.J.Jia, W.L.Zheng, D.C.Qian
Lattice strains and composition of self-organized Ge dots grown on Si(001)
Appl. Phys. Lett. 76, 3397 (2000)
[KaP01] V.M.Kaganer, K.H.Ploog
Energies of strained vicinal surfaces and strained islands
Phys. Rev. B 64, 205301 (2001)
[KES95] A.Kurtenbach, K.Eberl, T.Shitara
Nanoscale InP islands embedded in InGaP
Appl. Phys. Lett. 66, 361 (1995)
[KLM00] I. Kegel, T. H. Metzger, A. Lorke, J. Peisl, J. Stangl, G. Bauer, J. M.García,
P. M. Petroff
Nanometer-Scale Resolution of Strain and Interdiffusion in Self-Assemble InAs/GaAs
Quantum Dots
Phys. Rev. Lett. 85, 1694 (2000)
[KLM01] I. Kegel, T. H. Metzger, A. Lorke, J. Peisl, J. Stangl, G. Bauer, K.Nordlund,
W. V. Schoenfeld, and P. M. Petroff
Determination of strain fields and composition of self-organized quantum dots using x-ray
diffraction
Phys. Rev. B 63, 035318 (2001)
[KMP99] I.Kegel, T.H.Metzger, J.Peisl, J.Stangl, G.Bauer, D.Smilgies
Vertical alignment of multilayered quantum dots studies by grazing-incidence diffraction
Phys. Rev. B 60, 2516 (1999)
135

136 9 Literaturverzeichnis
[KRM00] Z.Kovats, M.Rauscher, H.Metzger, J.Peisl, R.Paniago, H.D.Pfannes, J.Schulze,
I.Eisele, F.Boscherini, S.Ferrer
Residual Strain in Ge pyramids on Si(111) investigated by x-ray crystal truncation rod
scattering
Phys. Rev. B 62, 8223 (2000)
[LaB84] Landoldt-Börnstein
Neue Serie, Gruppe III, Band 17c und Band 18, Springer Verlag, Berlin,
Heidelberg, New York, Tokyo (1984)
[LaL83] L.D.Landau, E.M.Lifschitz
Theoretische Physik Band 10
Akademieverlag Berlin (1983)
[Lin90] R.Linnebach
J. Appl. Phys. 67, 6794 (1990)
[LSM98] B.Lin, M.L.Schlossman, M. Meron, S.M.Williams, Z.Huang, P.J.Viccaro
X-ray speckles from an optical grating
Phys. Rev. B 58, 8025 (1998)
[LTB00] N.Liu, J.Tersoff, O.Baklenov, A.L.Holmes Jr., C.K.Smith
Nonuniform Composition Profile in In 0.5Ga 0.5As Alloy Quantum Dots
Phys. Rev. Lett. 84, 334 (2000)
[LuS86] S.Luryi, E.Suhir
New approach to the high quality epitaxial growth of lattice-mismatched materials
Appl. Phys. Lett. 49, 140 (1986)
[LZD98] X.Z.Liao, J.Zou, X.F.Duan, D.J.H.Cockayne, R.Leon, C.Lobo
Transmission-electron microscopy study of the shape of buried In xGa 1-xAs/GaAs quantum
dots
Phys. Rev. B 58, R4235 (1998)
[MaB74] J.W.Matthews and A.E.Blakeslee
Defects in Epitaxial Multilayers, I.Misfit Dislocations
J. Cryst. Growth 27, 118 (1974)
[MeC86] J.L.Mercer Jr., M.Y.Chou
Energetics of the Si(111) and Ge(111) surfaces and the effect of strain
Phys. Rev. B 48, 5374 (1986)
[MGI94] J.-Y.Marzin, J.M.Gérard, A.Izrael, D.Bariier, G.Bastard
Photoluminescence of Single InAs Quantum Dots Obtained by Self-Organized Growth on
GaAs
Phys. Rev. Lett. 73, 716 (1994)
[MHB 94] J. M. Moison, F. Houzay, F. Barthe, and L. Leprince, E. André and O. Vatel
Self-organized growth of regular nanometer-scale InAs dots on GaAs
Appl. Phys. Lett. 64, 196 (1994)

[MLH99] P.D.Miller,C-P.Liu, W.L.Henstrom, J.M.Gibson, Y.Huang, P.Zhang,
T.I.Kamins, D.P.Basile, R.S.Williams
Direct measurement of strain in a Ge island on Si(001)
Appl. Phys. Lett. 75, 46 (1999)
[MNM87] P.M.J.Marée, K.Nakagawa, F.M.Mulders, J.F. van der Veen, K.L.Kavanagh
Surf. Science 191, 305 (1987)
[MSS01] M.Meixner, E.Schöll, M.Schmidbauer, H.Raidt, R.Köhler
Formation of island chains in SiGe/Si heteroepitaxy by elastic anisotropy
Phys. Rev. B 64, 245307 (2001)
[HiH01] Hiroshi Okada, Hideki Hasegawa
Novel Single Electron Memory Device Using Metal Nano-Dots and Schottky In-Plane Gate
Quantum Wire Transistors
Jap. J. Appl. Phys. Part 1 40 (4B), 2797 (2001)
[OKS92] B.G.Orr, D.Kessler, C.W.Snyder, L.Sander
A Model for Strain-Induced Roughening and Coherent Island Growth
Europhys. Lett. 19, 33 (1992)
[ONG97] C.S.Ozkan, W.D.Nix, H.Gao
Strain relaxation and defect formation in heteroepitaxial Si 1-xGe x films via surface roughening
induced by controlled annealing experiments
Appl. Phys. Lett. 70, 2247 (1997)
[PeF00] G.S.Pearson, D.A.Faux
Analytical solutions for strain in pyramidal quantum dots
J. Appl. Phys. 88, 730 (2000)
[PKW98] C.Pryor, J.Kim, L.W.Wang, A.J.Williamson, A.Zunger
Comparison of two methods for describing the strain profiles in quantum dots
J. Appl. Phys. 83, 2548 (1998)
[PSB00] G. Patriarche, I. Sagnes, P. Boucaud, V. Le Thanh, D. Bouchier, C. Hernandez,
Y. Campidelli, D. Bensahel
Strain and composition of capped Ge/Si self-assembled quantum dots grown by chemical vapor
deposition
Appl. Phys. Lett. 77, 370 (2000)
[Pyn92] R.Pynn
Neutron scattering by rough surfaces at grazing incidence
Phys. Rev. B 45, 602 (1992)
[RPM99] M.Rauscher, R.Paniago, H.Metzger, Z.Kovats, J.Domke, J.Peisl, H.-D.Pfannes,
J.Schulze, I.Eisele
Grazing incidence small angle x-ray scattering from free-standing nanostructures
J. Appl. Phys. 86, 6763 (1999)
[SBF96] A.Saitta, F.Buda, G.Fiumara, P.Giaquinta
Ab initio molecular-dynamics study of electronic and optical properties of silicon quantum wires:
Orientational effects
137

138 9 Literaturverzeichnis
Phys. Rev. B 53, 1446 (1996)
[ScE00] O.G.Schmidt, K.Eberl
Multiple layers of self-assembled Ge/Si islands: Photoluminescence, strain field, material
interdiffusion, and island formation
Phys. Rev. B 61, 13721 (2000)
[SDH01] J.Stangl, A.Daniel, V.Holý, T.Roch, G.Bauer, I.Kegel, T.H.Metzger, Th.Wiebach,
O.G.Schmidt, K.Eberl
Strain and composition distribution in uncapped SiGe islands from x-ray diffraction
Appl. Phys. Lett. 79, 1474 (2001)
[ShB99] V.A.Shchukin, D.Bimberg
Self-ordering in multisheet arrays of 2D strained islands
Thin Solid Films 357, 66 (1999)
[ShK97] Q.Shen, S.Kycia
Determination of interfacial strain distribution in quantum-wire structures by synchrotron
radiation
Phys. Rev. B 55, 15791 (1997)
[SHM99] J. Stangl, V. Holý, P. Mikulík, G. Bauer, I. Kegel, T. H. Metzger, O. G. Schmidt,
C. Lange, K. Eberl
Self-assembled carbon-induced germanium quantum dots studied by grazing-incidence smallangle
x-ray scattering
Phys. Rev. B 60, 2516 (1999)
[SHP98] G.Springholz, V.Holý, M.Pinczolits, G.Bauer
Self-Organized Growth of Three-Dimensional Quantum-Dot Crytstals with fcc-like Stacking
and a Tunable Lattice Constant
Science 282, 734 (1994)
[SLG96] V.A.Shchukin, N.N.Ledentsov, M.Grundmann, P.S.Kop’ev, D.Bimberg
Strain induced formation and tuning of ordered nanostructures on crystal surfaces
Surf. Science 352-354, 117 (1996)
[SLK95] V.A.Shchukin, N.N.Ledentsov, P.S.Kop’ev, D.Bimberg
Spontaneous Ordering of Arrays of Coherent Strained Islands
Phys. Rev. Lett. 75, 2968 (1995)
[SKP98] M.Straßburg, V.Kutzer, U.W.Pohl, A.Hoffmann, I.Broser, N.N.Ledentsov,
D.Bimberg, A.Rosenauer, U.Fischer, D.Gerthsen, I.L.Krestnikov,
M.V.Maximov, P.S.Kop’ev, Zh.I.Alferov
Gain studies of (Cd, Zn)Se quantum islands in a ZnSe matrix
Appl. Phys. Lett. 72, 942 (1998)
[SRB00] J.Stangl, T.Roch, G.Bauer, I.Kegel, T.H.Metzger, O.G.Schmidt, K.Eberl,
O.Kienzle, F.Ernst
Vertical correlation of SiGe islands in SiGe/Si superlattices: X-ray diffraction versus
transmission electron microscopy
Appl. Phys. Lett. 77, 3953 (2000)

[Sro89] D.J.Srolovitz
On the stability of surfaces of stressed solids
Acta Metall. 37, 621 (1989)
[SRN99] M.Sugisaki, H.-W.Ren, S.V.Nair, K.Nishi, S.Sugou, T.Okuno, Y.Masumoto
Optical anisotropy in self-assembled InP quantum dots
Phys. Rev. B 59, R5300 (1999)
[SSE96] A.J.Steinfort, P.M.L.O.Scholte, A.Ettema, F.Tuinstra, M.Nielsen, E.Landemark,
D.-M.Smilgies, R.Feidenhans’l, G.Falkenberg, L.Seehofer, R.L.Johnson
Strain in Nanoscale Germanium Hut Clusters on Si(001) Studied by X-Ray Diffraction
Phys. Rev. Lett. 77, 2009 (1996)
[SSG88] S.K.Sinha, E.B.Sirota, S.Garoff, H.B.Stanley
X-ray and neutron scattering from rough surfaces
Phys. Rev. B 38, 2297 (1988)
[SSH01] G.Springholz, T.Schwarzl, W.Heiss, G.Bauer, M.Aigle, H.Pascher, I.Vavra
Midinfrared surface-emitting PbSe/PbEuTe quantum-dot lasers
Appl. Phys. Lett. 79, 1225 (2001)
[StK37] I.N.Stranski und L.Krastanow
Zur Theorie der orientierten Abscheidung von Ionenkristallen aufeinander
Sitzungsbericht Akad. Wiss. Wien, Math.-Naturwiss. Klasse IIb 146, 797 (1937)
[StK39] H.Stöhr, W.Klemm
Zeit. f. Anorg. Chem. 241, 305 (1939)
[STL96] M.Sopanen, M.Taskinen, H.Lipsanen, J.Ahopelto
Fabrication of GaInAs quantum disks using self-organized InP islands as a mask in wet
chemical etching
Appl. Phys. Lett. 69, 3393 (1996)
[Ter98] J.Tersoff
Enhanced Nucleation and Enrichment of Strained-Alloy Quantum Dots
Phys. Rev. Lett. 81, 3183 (1998)
[TTL96] J.Tersoff, C.Teichert, M.G.Lagally
Self-Organized Growth of Quantum Dot Superlattices
Phys. Rev. Lett. 76, 167 (1996)
[TYB99] V. Le Thanh V, V.Yam, P.Boucaud, F.Fortuna, C.Ulysse, D.Bouchier,
L.Vervoort, J.-M.Lourtioz:
Vertical self-organized Ge/Si(001) quantum dots in multilayer structures
Phys. Rev. B 60, 5851 (1999)
[UAP97] T.Utzmeier, G.Armelles, P.A.Postigo, J.Tamayo, M.Doctor, R.Garcia, F.Briones
Growth and characterization of self-organized InSb quantum dots and quantum dashes
J. Cryst. Growth 175/176, 725 (1997)
[Veg21] L.Vegard
Die Konstitution der Mischkristalle und die Raumfüllung der Atome
139

140 9 Literaturverzeichnis
Zeit. f. Physik 5, 17 (1921)
[Vin82] G.H.Vineyard
Grazing-incidence diffraction and the distorted-wave approximation for the study of surfaces
Phys. Rev B 26, 4146 (1982)
[vLa60] Max v.Laue
Röntgenstrahlinterferenzen
Akad. Verlagsanstalt, Frankfurt/Main (1960)
[VoW26] M.Volmer und N.Weber
Keimbildung in übersättigten Gebilden
Z. Phys. Chem. 119, 277 (1926)
[WHC97] T.Walther, C.J.Humphreys, A.G.Cullis
Observation of vertical and lateral Ge segregation in thin undulating SiGe layers on Si by
electron energy-loss spectroscopy
Appl. Phys. Lett. 71, 809 (1997)
[XGR94] Y.H.Xie, G.H.Gilmer, C.Roland, P.J.Silverman, S.K.Buratto, J.Y.Cheng,
E.A.Fitzgerald, A.R.Kortan, S.Schuppler, M.A.Marcus, P.H.Cirtin
Semiconductor Surface Roughness: Dependence on Sign and Magnitude of Bulk Strain
Phys. Rev. Lett. 73, 3006 (1994)
[XMC95] Q.Xie, A.Madhukar, P.Chen, N.Kobayashi
Vertical Self-Organized InAs Quantum Box Islands on GaAs(100)
Phys. Rev. B 75, 2542 (1995)
[Yon63] Y.Yoneda
Anomalous surface reflection of x-rays
Phys. Rev. 131, 2010 (1963)
[ZBA98] J.Zhu, K.Brunner, G.Abstreiter
Two-dimensional ordering of self-assembled Ge islands on vicinal Si(001) surfaces with regular
ripples
Appl. Phys. Lett. 73, 620 (1998)
[ZJP98] M.K.Zundel, N.Y.Jin-Phillipp, F.Phillipp, K.Eberl
Red-light-emitting injection laser based on InP/GaInP self-assembled quantum dots
Appl. Phys. Lett. 73, 1784 (1998)
[ZJP01] V.Zwiller, L.Jarlskog, M.-E.Pistol, C.Pryor, P.Castrillo, W. Seifert, L.Samuelson
Photoluminescence polarization of single InP quantum dots
Phys. Rev. B 63, 233301 (2001)
[Zac45] W.H.Zachariasen
Theory of X-Ray Diffraction in Crystals
Dover Publications, New York (1945)

Publikationen in referierten Zeitschriften
[SWR98] M.Schmidbauer, Th.Wiebach, H.Raidt, M.Hanke, R.Köhler, H.Wawra
Ordering of Self-Assembled Si 1-xGe x Islands Studied by Grazing Incidence Small Angle X-
Ray Scattering and Atomic Force Microscopy
Phys. Rev. B 58, 10523, (1998)
[SWR99] M.Schmidbauer, Th.Wiebach, H.Raidt, M.Hanke, R.Köhler, H.Wawra
Self-Organized Ordering of Si 1-xGe x Nanoscale Islands studied by Grazing Incidence Small
Angle X-Ray Scattering
J. Phys.D: Appl. Phys. 32, A230 (1999)
[WSH00] Th.Wiebach, M.Schmidbauer, M.Hanke, H.Raidt, R.Köhler, H.Wawra
Strain and Composition in SiGe Nanoscale Islands studied by X-Ray Scattering
Phys. Rev. B 61, 5571 (2000)
[SWR00] M.Schmidbauer, Th.Wiebach, H.Raidt, P.Schäfer, M.Hanke, R.Köhler,
W.Neumann, H.Kirmse, M.Rabe, F.Henneberger, H.Wawra
Evaluation of the strain field inside and around growth islands by means of x-ray diffuse
scattering
Mat. Res. Soc. Symp. Proc. 583, 119 (2000)
[SHS01] M.Schmidbauer, F.Hatami, P.Schäfer, M.Hanke, Th.Wiebach, H.Niehus,
W.T.Masselink, R.Köhler
Shape, Strain and Spatial Correlation if InP/In 0.48Ga 0.52P Quantum Dot Multilayer,
Mat. Res. Soc. Symp. Proc., (Eds. R.Leon, S.Fafard, D.Huffaker, R.Nötzel) 642,
J6.8 (2001)
[SHK02] M.Schmidbauer, M.Hanke, R.Köhler
X-Ray Diffuse Scattering of Self-Organized Mesoscopic Structure
Cryst. Res. Techn. 37, 3 (2002)
[SHH02b] M.Schmidbauer, F.Hatami, M.Hanke, P.Schäfer, K.Braune, W.T.Masselink,
R.Köhler, M.Ramsteiner
Shape Mediated Anisotropic Strain in Self-Assembled InP/In 0.48Ga 0.52P Quantum Dots
Phys. Rev. B 65, 125320 (2002)
Zum Druck akzeptierte Veröffentlichung:
[SHH02a] M.Schmidbauer, M.Hanke, F.Hatami, P.Schäfer, H.Raidt, D.Grigoriev,
T.Panzner, W.T.Masselink, R.Köhler
Shape Induced Anisotropic Elastic Relaxation in InP/In 0.48Ga 0.52P Quantum Dots
Physica E (2002)

Tabellarischer Lebenslauf
Name: Michael Hanke
Geburtsdatum: 04.09.1972
Geburtsort: Dessau
Familienstand: verheiratet, 1 Kind
Schulbildung: 1979-1989 Polytechnische Oberschule Gräfenhainichen
1989-1991 Gymnasium Gräfenhainichen, Abitur
Studium: 1991-1997 Studium an der Humboldt-Universität zu Berlin
1992 Vordiplom
1997 Diplom, Thema der Diplomarbeit: Anwendung extrem asymmetrischer
Röntgenbeugungsgeometrien auf die Untersuchung dünner
schwach verspannter Schichten
seit 1997 wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Physik der
Humboldt-Universität zu Berlin in der Arbeitsgruppe
Röntgenbeugung an dünnen Schichten

Danksagung
Das Anfertigen einer experimentellen Arbeit ist immer an Unwägbarkeiten geknüpft, so dass das
vorliegende Ergebnis bei weitem nicht durch lineares Abarbeiten ohne Seiten- und Irrwege
entstand. Für die Unterstützung bei diesem Projekt möchte ich allen Beteiligten herzlich danken;
insbesondere aber meinem Doktorvater Rolf Köhler für die vielen kreativen Ideen, die in
spannenden, interessanten zum Teil aber auch sehr erschöpfenden Diskussionen erörtert wurden
und für das beständige Vertrauen in das Gelingen dieser Arbeit. Das von seiner Persönlichkeit
geprägte positive soziale Klima in unserer Arbeitsgruppe empfand ich als sehr angenehm. Mit
Martin Schmidbauer verbindet mich seit meiner Diplomzeit eine freundschaftliche Zusammenarbeit.
Vieles was ich über Röntgenstreuung und die experimentelle Realisierung weiß, habe ich von
ihm gelernt. Zu unserem großen Bedauern schied Herr Helmut Raidt im März diesen Jahres aus
unserer Gruppe aus. Ihm danke ich für die sorgfältige Anfertigung der AFM und SEM Topologien,
die sich oft eben doch nicht so einfach anfertigen ließen, wie es die mitgelieferten Beschreibungen
glauben machen möchten. Darüber hinaus wurde jede an ihn herangetragene, aus seiner Sicht als
Mineraloge möglicherweise triviale Frage, kristallographisch korrekt beantwortet. Daniiel Grygoriev
danke ich neben den Diskussionen über Röntgenstreuung im allgemeinen, für die programmtechnische
Umsetzung der Netzverfeinerung im besonderen. Bei nahezu allen Meßzeiten an den
verschiedenen Synchrotronquellen war es Peter Schäfer, der die reinen Meßdaten in ein leicht zu
handhabendes Format brachte. Dadurch ließ sich, zumindest im Sinne eines Überblicks, schon
kurz im Anschluß eine Messung beurteilen. Vielen Dank auch an Rainer Schurbert und Jane
Richter für die technische Unterstützung und die vielen interessanten Gespräche.
Die von Herrn Wawra am Institut für Kristallzüchtung und von Fariba Hatami am Lehrstuhl von
Herrn Masselink hergestellten Proben bilden den zentralen Bestandteil dieser Arbeit. Dafür bin ich
ihnen zu besonderem Dank verpflichtet.

Erklärung
Hiermit erkläre ich, die Dissertation selbständig und ohne unerlaubte Hilfe angefertigt zu haben.
Ich habe mich anderweitig nicht um einen Doktorgrad beworben und besitze einen entsprechenden
Doktorgrad nicht.
Ich erkläre die Kenntnisnahme der dem Verfahren zugrunde liegenden Promotionsordnung der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I der Humboldt-Universität zu Berlin.
Berlin, den 30.April 2002