Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

32 3 Beugung von Röntgenstrahlen
ist im allgemeinen eine komplexe Zahl, die die konkrete Verteilung der Elektronen in einem Atom
berücksichtigt:
0
f ( g , ω) = f ( g)
+ f ′ ( ω)
+ if
′
( ω)
(3-4)
Im Fall kleiner Impulsüberträge und fern von Absorptionskanten verhält sich f 0 proportional der
Kernladungszahl Z, wohingegen in Kantennähe die gestrichenen Größen, die sogenannten Hönl-
Korrekturen [Hön33a], [Hön33b], berücksichtigt werden müssen.
Die dielektrische Suszeptibilität χ(r) ist eine skalare, ortsabhängige, komplexe Größe, die für
Röntgenstrahlung die weitreichende Konsequenz eines Brechungsindexes kleiner 1 zur Folge hat.
Wenngleich der Unterschied nur sehr klein ist (in der Größenordnung 10 -5 ), führt das dazu, dass
unterhalb eines kritischen Winkels α krit Röntgenstrahlen an der perfekten Oberfläche eines Kristall
totalreflektiert werden und die Welle im Kristall exponentiell abfällt. Indem man (3-1) nach χ entwickelt:
1
1+ χ ( r) ≈ 1+
χ ( r)
(3-5)
2
für den transmittierten Strahl im Medium einen Winkel zur Oberfläche von Null ansetzt und
2
cos x ≈ 1−
x nähert, folgt für den kritischen Winkel:
2
α krit ≈ 2δ
(3-6)
Typische Werte für α krit liegen bei λ = 1.54 Å in der Größenordnung einiger 0.1°.
3.2 Wellengleichung
Ausgehend von den Maxwellschen Gleichungen, die die Wechselwirkung elektromagnetischer
Wellen mit Medien beschreiben, läßt sich eine allgemein gültige Wellengleichung aufstellen, deren
Lösung sich allerdings im Kristall als ausgesprochen kompliziert erweist. Deshalb sind zur Lösung
verschiedene Näherungen sinnvoll, die im Anschluß einzeln mit Hinblick auf die Grenzen ihrer
Gültigkeit diskutiert werden. Die Maxwellschen Gleichungen in SI-Einheiten lauten:
∂B
∂D
rotE
= −
rot H = + j
(3-7)
∂t
∂t
div D = ρ(r)
div B = 0
wobei ρ(r) die Dichte der freien Ladungen und j der Verschiebungsstrom sind. Zu berücksichtigen
sind noch die Gleichungen, die die magnetische Induktion B mit der magnetischen Feldstärke H
und die dielektrische Verschiebung D mit der elektrischen Feldstärke E über die materialspezifischen
Konstanten verknüpfen: