Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

56 5 Numerische Streurechnungen für monodisperse mesoskopische Systeme
(b) Anstelle explizit die quantenmechanische Schrödinger-Gleichung zu lösen, macht man bei
der Valence Force Field Methode (VFF) [PKW98] spezielle Annahmen zu den
Potentialen eines Vielteilchensystems und bestimmt die Deformation durch Minimierung
der Energie in Bezug auf die Atompositionen R=R i-R j:
∑
( i − R j ) + ∑
E = V R V Θ + ...
(5-1)
ij
2
ijk
3
ijk
V 2 ist ein abstandsabhängiger Zwei-, V 3 ein Drei-Körperterm, der vom Bindungswinkel Θ ijk
abhängt. Dabei ist man für V j nicht auf harmonischen Potentiale festgelegt. Einzig und
allein die elastischen Konstanten und die konkrete Kristallstruktur gehen explizit in die
Rechnungen ein. VFF wurde z.B. erfolgreich zur Bestimmung des Spannungstensors von
InAs Quantenpunkten in einer GaAs Matrix benutzt [JiS97].
(c) Die Methode der Finiten Elemente (FEM) fußt auf der grundlegenden Annahme der
linearen Elastizitätstheorie: dem Vorhandensein harmonischer Potentiale zwischen den
Atomen. Berücksichtigt werden neben den elastischen Konstanten die Gitterparameter der
beteiligten Materialien. Mit FEM können verschiedenste physikalische Probleme gelöst
werden, die sich durch lineare partielle Differentialgleichungen beschreiben lassen. In
Bezug auf mesoskopische Strukturen wurde FEM in der Vergangenheit u.a. zur Spannungsanalyse
in den Systemen SiGe/Si [CAS94], [SHK02] und InAs/GaAs [BFA96],
[GSB95] verwendet.
Im Limit kleiner Deformationen führen die Methoden (b) und (c) zu gleichen Resultaten, da mit
abnehmender Deformation die harmonische Näherung für die Potentiale immer besser wird.
Insbesondere an den Grenzflächen, dort wo die Gradienten also am größten sind, liefert Methode
(b) von der linearen Elastizitätstheorie abweichende Ergebnisse. Am Beispiel einer vergrabenen
InAs Insel mit Zinkblendestruktur wurde dies von Pryor et.al. [PKW98] anschaulich vorgeführt.
In der umgebenden GaAs Matrix beträgt der relative Unterschied zwischen den mit beiden
Methoden ermittelten Deformationen dagegen nur 0.5%. Ein großer und für die vorliegende Arbeit
essentieller Vorteil von FEM besteht in der Möglichkeit, vergleichsweise einfach verschiedene
Inselmorphologien und –zusammensetzungen mit Hilfe des in dem benutzten Programmpaket
enthaltenen graphischen Interfaces MSC.MarcMentat2001 zu modellieren und auf ihr typisches
Streumuster zu testen.
Im folgenden soll etwas näher auf die Methode der Finiten Elemente selbst und anschließend auf
deren praktische Umsetzung zur Deformationsbestimmung in verspannten Inselstrukturen eingegangen
werden. Weitergehende Informationen, auch zu anderen mit FEM behandelbaren Problemstellungen,
findet man beispielsweise in [Bat95].
Zur Berechnung eines technischen Systems bildet man die reale Struktur zunächst auf ein
idealisiertes System ab, welches sich durch ein Set von Gleichgewichts- und Randbedingungen
beschreiben läßt. Man unterscheidet dabei zwei Problemklassen: (1) diskrete Systeme mit einer
endlichen Anzahl von Zustandsparametern, die sich durch einen Satz algebraischer Gleichungen
formulieren lassen und (2) kontinuierliche Systeme, bei denen Differentialgleichungen an deren