Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

64 5 Numerische Streurechnungen für monodisperse mesoskopische Systeme
Fall kann man in (5-16) den sehr kleinen Term |qu| vernachlässigen und den Exponentialterm
ausklammern:
A
diffus
( q)
∝
ideal
ref
∑{
F ( q = 0,
R i ) − F ( q = 0,
R i ) }
i
exp
144444424444443
∆F
( q=
0,
R )
i
[ iqR
]
i
(5-19)
Dominierend für die diffus gestreuten Amplituden bleibt allein die Form (implizit in der Summe
über i enthalten), die chemische Zusammensetzung (gegeben durch die Differenz ∆F der Strukturfaktoren
für Ideal- und Referenzkristall) und mögliche räumliche Korrelation (ebenfalls in der
Summe über i enthalten).
Führt man die Formfunktion Ω(r) ein, die im Kristall den Wert 1 annimmt und außerhalb ver-
schwindet, so kann man die Elektronendichte des Idealkristalls ρ ideal (r) in ein Produkt aufspalten:
ρ
ideal
ideal
( r) ρ ( r)
Ω(
r)
= ∞
(5-20)
ideal
bestehend aus ρ (r)
, der Elektronendichte eines unendlich ausgedehnten Idealkristalls, mo-
∞
duliert mit der Formfunktion. Zunächst bleibt Ω(r) ganz allgemein eine Funktion, die sowohl ein
Inselensemble als auch eine Einzelinsel beschreiben kann. Die Streuamplitude A(q), welche
identisch mit der Fouriertransformierten von (5-20) ist, läßt sich unter Benutzung des Faltungstheorems
angeben. Dieses besagt, dass die Fouriertransformation eines Produktes zweier Funktionen
im Ortsraum eine Faltung zweier Fouriertransformierten im reziproken Raum ist:
∫
ideal ( FT ) ( FT )
A(
q) ∝ ρ ( q′
) Ω ( q − q′
) dq′
(5-21)
∞
Nimmt man für den Kristall innerhalb der durch Ω=1 gegebenen Grenzen Homogenität und
Translationsinvarianz an, läßt sich die Fouriertransformierte der Elektronendichte als diskrete
Fouriersumme formulieren:
ρ
ideal ( FT )
∞
∑
( q ′ ) = ρ δ ( q′
− g)
g
g
(5-22)
wobei die Summation über alle Gittervektoren g erfolgt. Damit geht in (5-21) das Integral in eine
Summe über:
∑
(FT )
A( q ) ρ Ω ( q − g)
(5-23)
∝ g
g
In dem Maße, in dem Ω(r) im Ortsraum ausgedehnt ist, bleibt Ω (FT) (q) auf kleine Bereiche im
reziproken Raum beschränkt, und es gibt für einen bestimmtes g keine Beiträge eines anderen
Gitterpunktes h ≠ g. Für diesen Fall vereinfacht sich (5-23) zu:
( FT )
A ( ) ∝ ρ Ω ( q)
(5-24)
g
q g