Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

60 5 Numerische Streurechnungen für monodisperse mesoskopische Systeme
Temperatur von T 1 auf T 2 einen Temperatursprung ∆T, in dessen Folge eine der Gitterfehlpassung
proportionale elastische Spannung an der Grenzfläche zwischen Schicht und Substrat auftritt.
5.2 Regularisierung des FEM Netzes
Das aus der FEM-Rechnung gewonnene Deformationsfeld kann nicht direkt für die
Beugungssimulationen benutzt werden. Zum einen liegt das an den unterschiedlichen Knotenabständen
des FEM-Netzes entlang verschiedener Richtungen zum anderen an der Tatsache, dass
die Interknotenabstände für die Beugungssimulation deutlich zu groß sind. Typische Werte liegen
in dem Intervall 5 ... 50Å und würden im zu untersuchenden Gebiet des reziproken Raumes
Artefakte verursachen. 23 Ziel muß es deshalb sein, diese in Gebiete des reziproken Raumes zu
verlagern, die außerhalb des Meßgebietes liegen. Im Rahmen einer linearen Interpolation zwischen
FEM-Knoten erzeugt man dazu ein homogenisiertes verfeinertes Zielnetz, auf dessen Grundlage
die gestreuten Intensitäten berechnet werden.
0
(X 0,Y 0,Z 0)
3
7
4 5
(x,y,z)
2
n
6
n+1
Abb. 5-2: Lineare Interpolation zur Bestimmung des Deformationsfeldes für einen
Punkt (x,y,z) des verfeinerten Netzes als Funktion der Deformation in den
umgebenden durchnummerierten FEM-Knoten (X i,Y i,Z i), wobei nur acht
unmittelbar benachbarte Knoten berücksichtigt werden. Eine Bedingung für die
Anwendbarkeit des beschriebenen Formalismus ist, dass die Knoten in Ebenen mit
konstantem z angeordnet sind.
Stellt man an das FEM Netz die Forderung, dass die Knoten innerhalb von Ebenen angeordnet
sind, läßt sich die Interpolation entlang der drei Raumrichtungen faktorisieren, was zu einer
erheblichen Verringerung der Rechenzeit führt. Zuerst werden die Knotenpositionen in einem
regulären Zielnetz erzeugt, dessen Schrittweite zwischen interatomarem Abstand und einigen
Vielfachen davon variieren kann. Für jeden dieser so definierten Knoten sucht man in den benachbarten
Ebenen n und (n+1) die acht nächstgelegenen FEM Knoten, deren Daten zur Bestimmung
23 Nimmt man die experimentellen Befunde aus Kap. 6.2.1 vorweg und behauptet, dass in der Umgebung des 004 Reflexes ein Gebiet
von etwa ±0.1Å -1 in beiden Richtungen innerhalb der Beugungsebene die relevanten Strukturen enthält, so ergibt sich für den
Interknotenabstand des Zielnetzes eine obere Schwelle von ungefähr 30Å. In der überwiegenden Anzahl der Fälle wurden daher
die Knoten auf einem Zielnetz mit vierfachem kristallographischen Gitterparameter berechnet.
1
x
y
z