Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

3.2 Wellengleichung 33
B = µµ 0H
D = εε 0E
(3-8)
wobei ε die elektrische Permeabilität und µ die magnetische Suszeptibilität des Mediums sind. 6 Im
folgenden soll ein nichtmagnetisches Medium (µ=1) ohne freie Ladungen (divD=0) angenommen
werden. Wendet man die Rotation auf Gleichung (3-7) an, ergibt sich mit rot rot E = grad div E - ∆E
für eine elektromagnetische ebene Welle mit Vakuumwellenvektor K, dessen Länge gegeben ist
durch:
ω 2π
K = K = =
(3-9)
c λ
0
und λ der Wellenlänge der Strahlung sowie c 0 der Vakuumlichtgeschwindigkeit die folgende
Differentialgleichung:
2
2
( + K ) E( r)
= grad div E(
r)
− K χ(
r)
E(
r)
∆ (3-10)
Definiert man nun ein Potential V=grad div – K 2 χ(r), kann man (3-10) schreiben:
2 ( + K ) E ( r ) = V ( r ) E ( r )
∆ (3-11)
Mit der Näherung
1 ⎛ D(
r)
⎞ 1
div E( r)
= div⎜
⎟ ≈ div D(
r)
= 0
ε 0 ⎝1
+ χ(
r)
⎠ ε 0 ( 1+
χ 0 )
[HPB98], wobei χ 0
die nullte Fourierkomponente von χ(r) ist, siehe (3-39), vereinfacht sich (3-11) zur Helmholtz-Gleichung:
2
2
( + K ) E( r)
= −K
χ(
r)
E(
r)
∆ (3-12)
die sich formal mit der Greenschen Methode lösen läßt:
∫
3
E ( r)
= E ( r)
+ G(
r − r′
) V ( r′
) E(
r′
) d r′
(3-13)
oder vereinfacht:
0
E( r)
= E0
( r)
+ GVE(
r)
(3-14)
wobei E 0(r) die Lösung für verschwindendes Potential V also die Lösung der Wellengleichung im
Vakuum ist. Der Umstand, dass die gesuchte Größe E(r) auf beiden Seiten von (3-14) auftritt,
macht die Lösung des Problems ausgesprochen kompliziert. Dies bedeutet, dass E(r) nicht nur von
der einfallenden sondern auch von der gestreuten Welle selbst abhängt. Die Greensche Funktion
G(r-r′) in (3-13) genügt der Forderung:
6 ε0 ist die Dielektrizitätskonstante, µ0 die Permeabilität des Vakuums. Es gilt ε0µ0=c 2.