Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

2.1 Lineare Elastizitätstheorie 9
Eigenschaften anisotrop verteilt. Die beiden Tensoren σ ij und ε kl sind durch den HOOKEschen
Tensor c ijkl miteinander verknüpft. 2
σ = (2-6)
ij cijklε kl
σ ij und ε kl beinhalten je 9 Elemente, von denen aus oben genannten Symmetrieeigenschaften nur 6
unabhängig sind, während der HOOKEsche Tensor aus 9 2 =81 Komponenten besteht, von denen wie
sich zeigen läßt, maximal 21 unabhängig sind. Einer einfacheren Schreibweise wegen wird sehr
häufig eine verkürzte Nomenklatur verwendet, in der die Indizes ij und kl durch m und n in
folgender Weise ersetzt werden:
ij, kl 11 22 33 23 31 12 32 13 21
m, n 1 2 3 4 5 6 4 5 6
Tab. 2-1: Indexkonvention {ijkl} ⇔ {mn}
In ausgeschriebener Form und unter Verwendung der Indizes m und n lautet das HOOKEsche
Gesetz:
⎡σ
11 ⎤ ⎡c
c c c c c c c c
⎢
σ
⎥ ⎢
22 c c c c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎢σ
33 ⎥ ⎢c
c c c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎢σ
23 ⎥ ⎢c
c c c c c c c c
⎢σ
⎥ 31 = ⎢c
c c c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎢σ
12 ⎥ ⎢c16c26c36
c46 c56 c66c c c
⎢σ
⎥ ⎢
32 c c c c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎢σ
13 ⎥ ⎢c
c c c c c c c c
⎢
⎣σ
⎥ ⎢
21 ⎦ ⎣c
c c c c c c c c
oder verkürzt in folgender Notation:
11 12 13 14 15 16 14 15 16
12 21 23 24 25 26 24 25 26
13 23 33 34 35 36 34 35 36
14 24 34 44 45 46 44 45 46
15 25 35 45 55 56 45 55 56
46 56 66
14 24 34 44 45 46 44 45 46
15 25 35 45 55 56 45 55 56
16 26 36 46 56 66 46 56 66
⎡σ
11 ⎤ ⎡c
c c c c c
⎢
σ
⎥ ⎢
⎢ 22 c c c c c c
⎥ ⎢
⎢σ
33 ⎥ ⎢c
c c c c c
⎢ ⎥ = ⎢
⎢σ
23 ⎥ ⎢c
c c c c c
⎢σ
⎥ ⎢ 31 c c c c c c
⎢ ⎥ ⎢
⎣σ
12 ⎦ ⎣c
c c c c c
11 12 13 14 15 16
12 22 23 24 25 26
13 23 33 34 35 36
14 24 34 44 45 46
15 25 35 45 55 56
16 26 36 46 56 66
⎤ ⎡ε11
⎤
⎥ ⎢
ε
⎥
⎥ ⎢ 22 ⎥
⎥ ⎢ε
33 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢γ
23 ⎥
⎥ ⎢γ
⎥ 31
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣γ
12 ⎦
⎤ ⎡ε11
⎤
⎥ ⎢
ε
⎥
⎥ ⎢ 22 ⎥
⎥ ⎢ε33
⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ε23
⎥
⎥ ⎢ε
⎥ 31
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ε12
⎥
⎥ ⎢ε
⎥
32
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ε13
⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣ε
21 ⎦
Dabei sind die Scherkomponenten ε mn (m≠n) durch γ mn/2 ersetzt worden. Die elastischen
Konstanten sind üblicherweise in Bezug auf die 〈001〉 Richtungen eines Kristalls tabelliert
2 Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention, nach der über doppelt auftretende Indizes summiert wird.
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(2-8)