Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

5 Numerische Streurechnungen für monodisperse
mesoskopische Systeme
Im Kap. 3 wurden verschiedene Herangehensweisen zur Lösung der Wellengleichung vorgestellt.
Unter ihnen zeichnet sich der kinematische Ansatz durch eine numerisch vergleichsweise leicht
umzusetzende Einfachheit aus. Zur Berechnung der Streuintensitäten müssen dafür, neben der
chemischen Zusammensetzung, die Positionen r der Streuer selbst bekannt sein, für elastisch
relaxierte Strukturen also der Deformationstensor ε ij(r). Kap. 5.1 gibt einen kurzen, an den praktischen
Bedürfnissen orientierten Einblick in die Methode der Finiten Elemente (FEM), mit der im
Rahmen dieser Arbeit ε ij(r) numerisch berechnet wurde. Da FEM mit variierenden Zellgrößen
arbeitet, die zudem noch größer als der atomare Gitterabstand sind, kann das so gewonnene Feld
nicht direkt für die Streurechnung verwendet werden. Die notwendige Netzverfeinerung und
-regularisierung wird in Kap. 5.2 besprochen. Schließlich wird die allgemein gehaltene Formulierung
der kinematischen Streuung aus Kap. 3.2.1, in der die Verschiebungen noch implizit in den
Positionen r der Streuer berücksichtigt werden, für das konkret vorliegende Problem der Streuung
an mesoskopischen Inseln in Kap. 5.3 angepaßt. Dabei zeigt sich, dass die diffus gestreute
Intensität in Beugung durch Deformationsfeld und Formfunktion, in einem Kleinwinkelstreuexperiment
nur durch die Formfunktion bestimmt ist. In diesem Zusammenhang werden Effekte
durch Positionskorrelation der Inseln in Konsequenz einer erweiterten Formfunktion für ein
Inselensemble diskutiert.
5.1 Die Methode der Finiten Elemente
Analytische Ansätze zur Bestimmung des Deformationsfeldes in verspannten Strukturen existieren
z.B. für planare Schichten [BlM67], in vergrabenen [FDO97] und freistehenden [ShK97]
Quantendrähten, für Hut Cluster [SSE96] und rotationssymmetrische Inselstrukturen
[KaP01]. Im allgemeinen bleibt jedoch ein analytisches Vorgehen Problemen vorbehalten, die
sich hinreichend vereinfacht darstellen lassen. Darüber hinaus gibt es Versuche, unter der Annahme
isotroper elastischer Konstanten das Deformationsfeld in vergrabenen pyramidalen Quantenpunkten
[PeF00] und in SiGe/Ge Übergittern [HDS98] analytisch zu berechnen. Es gibt bis
jetzt jedoch keine analytischen Lösungsansätze für das Deformationsfeld komplexerer Gebilde wie
sie z.B. facettierte SiGe Inseln darstellen, die die elastische Anisotropie berücksichtigen. Dagegen
wurden abhängig vom Umfang verschiedene numerische Wege zu dessen Bestimmung beschritten:
(a) Sehr kleine Systeme mit wenigen 10 bis 100 Atomen können ab-initio quantenmechanisch
berechnet werden. Beispielsweise wurden solche Rechnungen für Quantendrähte und
Cluster mit bis zu 100 Atomen durchgeführt [BKP92], [SBF96]. Trotz rasanter
Fortschritte bei der Entwicklung immer leistungsfähigerer Computer bleibt diese Methode
auf kleine Systeme beschränkt, wenngleich sie ein nahezu vollständige Beschreibung in
Hinblick auf die elektronischen und mechanischen Eigenschaften liefert. Sie ist jedoch
nicht applikabel für die in dieser Arbeit untersuchten Strukturen mit lateralen
Ausdehnungen in der Größenordnung von 100 nm.