Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

5.1 Die Methode der Finiten Elemente 59
Die Materialkonstanten werden durch die elastischen Konstanten c ij berücksichtigt, wobei man dem
VEGARDschen Gesetz folgend einen linearen Zusammenhang zwischen den Randkomponenten
eines 2-komponentigen Systems annimmt:
SiGe Ge Ge Si Ge
c = c x + c ( 1−
x )
(5-5)
ij
ij
ij
Zu beachten ist, dass die physikalische Nomenklatur, wie sie in Kap. 2.1 verwendet wird, von der
des benutzten Programms abweicht. In MSC.MarcMentat2001 gilt im Gegensatz zu (2-8) folgende
technische Konvention:
⎡σ
11 ⎤
⎢ ⎥
⎢
σ 22 ⎥
⎢σ
⎥ 33
⎢ ⎥=
⎢σ
12 ⎥
⎢σ
⎥
23
⎢ ⎥
⎢⎣
σ 31 ⎥⎦
FEM
cij
⎡ε11
⎤
⎢ ⎥
⎢
ε 22 ⎥
⎢ε
⎥ 33
⎢ ⎥
⎢γ
12 ⎥
⎢γ
⎥
23
⎢ ⎥
⎢⎣
γ 31 ⎥⎦
in der die Nichtdiagonalelemente σ 12, σ 23 und σ 31 zyklisch vertauscht sind. Diese Änderung führt
dazu, dass die in Kap. 2.1 abgeleiteten transformierten Werte c ij′ nicht direkt denen der Matrix
FEM { }
c des FEM Programms entsprechen. Für den konkreten Fall eines um die [001] Achse um
ij
45° gedrehten Koordinatensystems müssen sie aufgrund der unterschiedlichen Nomenklatur in
folgender Weise ersetzt werden:
c
c
c
c
FEM
ij
FEM
44
FEM
55
FEM
66
= c
= c
= c
= c
ij
′
66
55
44
′
′
′
{i < 4; j
< 4}
Gitterparameterunterschiede werden durch unterschiedliche thermische Ausdehnungskoeffizienten
α x (x = Schicht, Substrat) realisiert. Im verwendeten Programm besteht die Möglichkeit,
mechanische Spannungen als Funktion eines Temperaturunterschieds ∆T thermisch zu induzieren.
(5-6)
(5-7)
Dabei wird ein linearer Zusammenhang zwischen Deformation und ∆T zugrundegelegt:
ε ij ∑α ij∆T
(5-8)
=
i,
j
Schicht
Der thermische Ausdehnungskoeffizient α
nimmt für die Schicht den Wert des zu reali-
ii
sierenden Misfits f an und 0 für alle Elemente des Substrates. Man definiert nun zwei Zustände (1)
und (2) mit den hypothetischen Temperaturen T 1=0 und T 2=1 und erzeugt durch Erhöhen der