Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

34 3 Beugung von Röntgenstrahlen
2 ( ∆ + ) G(
r − r′
) = δ ( r − r′
)
K (3-15)
Nach der Bornschen Näherung läßt sich die Lösung des Problems als Reihe schreiben. Dabei tritt
in der Summe auf der rechten Seite in (3-13) nicht mehr das Wellenfeld E(r), sondern nur noch
E 0(r), die Lösung für das homogene Problem auf:
( r)
E0(
r)
∑ ∞
= +
n ( GV ) E ( r)
E 0
n=
1
(3-16)
An diesem Punkt setzen nun die verschiedenen Näherungen ein, die abhängig von der Ordnung,
nach welcher man in (3-16) abbricht, entweder auf die kinematische oder dynamische Sicht der
Beugung führen. In den folgenden Unterkapiteln sollen diese einzeln behandeln werden.
3.2.1 Kinematische Beugung
Die Lösung von (3-12) schreibt sich unter Berücksichtigung des ersten Terms in der mit der
kinematischen identischen ersten Bornschen Näherung:
( r)
= E ( r)
+ GVE
( r)
(3-17)
E 0
0
Bereits hier tritt die fundamentale Näherung der kinematischen Beugung klar hervor: Ein
Röntgenquant kann nur ein einziges Mal mit dem Potential V wechselwirken. Mehrfachstreuprozesse
werden auf diese Weise von vornherein ausgeschlossen. Diese Voraussetzung ist
offensichtlich in zunehmendem Maße mit abnehmender Dicke des Streuers erfüllt. Der
Streuprozeß läßt sich immer dann hinreichend gut kinematisch behandeln, wenn nur ein kleiner
Teil der einfallenden Welle gestreut wird, so z.B. bei Streuung an Punktdefekten in Kristallen oder
aber für die Streuung an weniger perfekten Strukturen.
Die Greensche Funktion G für ein freies Teilchen lautet [HPB98]:
G
( r − r′
)
iK r−r′
1 e
= −
4π
r − r′
setzt man das in (3-17) ein, schreibt sich die Lösung der Wellengleichung:
r−r′
e iK
1
3
E(
r)
= E r − ∫ r′
E r′
r′
0 ( )
V ( ) 0 ( ) d
4π
r − r′
mit E 0(r) als Lösung der Wellengleichung im Vakuum:
E ( r)
0
E
(3-18)
(3-19)
0 iK
0r
= e
(3-20)
und dem Ausdruck für das Potential V(r) = -K 2 χ(r) folgt für die gestreute Welle: