Streuung von Röntgenstrahlen an selbstorganisierten Halbleiter ...

5.1 Die Methode der Finiten Elemente 57
Stelle für die unbekannten Zustandsgrößen treten, die sich unter Berücksichtigung der Randbedingungen
nur für sehr einfache Systeme exakt lösen lassen, während komplexere Strukturen
numerisch zu behandeln sind. Dafür wird das kontinuierliche System reduziert auf eine diskrete
Idealisierung. Im Vergleich mit anderen numerischen Verfahren zeichnet sich FEM im
wesentlichen durch zwei Punkte aus:
(1) Es wird eine integrale Formulierung des Problems verwendet, um ein System algebraischer
Gleichungen aufzustellen.
(2) FEM benutzt stetige, stückweise glatte Funktionen für die unbekannten Funktionen.
Es existieren verschiedene Methoden zur numerischen Lösung von Randwertproblemen, von
denen die Variationsmethode bei dem verwendeten FEM Programm benutzt wird. Das gesuchte
Deformationsfeld stellt sich als Folge einer Energieminimierung unter Berücksichtigung der vor-
gegebenen Randbedingungen ein. Die potentielle Energie Π(u(r)) ist gegeben durch [ChP92]:
1
⎧
⎫
( ∫ ij ij dV − ⎨ f ⋅u
dV + T ⋅u
dS⎬
(5-2)
2 V
⎩V
S ⎭
( u r)
) = σ () r ε () r
Π ∫ ∫
wobei σ ij(r) und ε ij(r) die Komponenten des Spannungs- und Deformationstensors sind. Der erste
Summand beschreibt die inhärente Spannungsenergie, während im zweiten Integral von außen
wirkende Volumen- (f) und Oberflächenkräfte (T) berücksichtigt sind. Für ein vorgegebenes
Deformationsfeld u(r), welches Π(u(r)) minimiert, fordert die Verschiebungsmethode, dass die von
einer zusätzlichen virtuellen Deformation δu(r) verrichtete Arbeit verschwindet:
⎧
⎫
δ Π = ∫σ
ij () r δε
ij ( δu)
dV − ⎨∫f⋅δudV
+ ∫T⋅δudS⎬
= 0
(5-3)
V
⎩V
S ⎭
wobei δ für irgendeine beliebige Variation der Zustandsparameter steht, die die gewählten Randbedingungen
erfüllt. Bei Vernachlässigung von Volumen- und Oberflächenkräften und unter Verwendung
des HOOKEschen Gesetzes (2-6), führt das auf das Minimierungsproblem:
∫
cijklε kl δε
ij
V
( δu)
dV = 0
Die Vorgehensweise mit FEM läßt sich in fünf Schritte unterteilen:
(1) Definition der äußeren Geometrie und Unterteilung in Subelemente, welche durch Knoten
miteinander verbunden sind. Bei allen in dieser Arbeit verwendeten FEM Modellen handelt
es sich um kuboide Elemente mit 8 begrenzenden Knoten. 20 Hier endet der von
20 Dieses umfaßt neben der Modellierung im Programmpunkt MAIN ⇒ MESH GENERATION und der Definition der Randbedingungen
in MAIN ⇒ BOUNDARY CONDITIONS (Definition der geometrischen Randbedingungen und der imaginären
(5-4)