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Reifeprüfung
Gleichung v(t) = −0,0433⋅t 2 + 10,593⋅t beschrieben
werden (v in m/s, t in s).
Digramms, das die Graphen der Funktion A und ihrer
ersten und zweiten Ableitung enthält!
Berechne die bis zum Zeitpunkt t = 34 s durchfallene
Wegstrecke s!
Aufgabe 3
Verschiedene Getränke (Trinkjoghurt, Trinkmolke,
…) werden sehr oft in Getränkekartons abgefüllt,
die (bei Annahme einer ebenen Deckfläche)
durch Quader mit quadratischer Grundfläche
modelliert werden können, vgl. die Abbildungen.
Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt für
eine bestimmte Art von Kartons a K
= 7 cm, die
Höhe h K
= 10,3 cm.
Getränkekarton, Prinzip der
Faltung an der Grund- und
einer als eben angenommenen
Deckfläche
58 Jahresbericht Borromäum 12/13
Vereinfacht betrachtet, kann ein derartiger
Karton aus einem Rechteck hergestellt werden.
Für den Boden und die Deckfläche des Quaders
werden jeweils vier rechteckige Flächen gebogen
und verklebt.
a) Berechne, bis zu welcher Höhe das Getränk
in einem Karton der vorgegebenen Größe steht,
wenn als Füllmenge des beschriebenen Kartons
0,5 Liter angegeben werden!
b) Berechne den Rauminhalt V k
eines Quaders
mit den Abmessungen a k
und h k
!
Aus wirtschaftlichen Gründen ist eine sparsame
Verwendung des Verpackungsmaterials wichtig.
Bestimme die Abmessungen (a und h) eines
Quaders so, dass bei vorgegebenem Volumen
V k
der Materialverbrauch A minimal ist, und gib
diesen an!
Weise nach, dass es sich beim errechneten Extremwert
um ein Minimum handelt!
Berechne den
Materialverbrauch
(s. Abbildung links)
für einen (quaderförmigen)
Karton
mit den realen
Abmessungen a K
und h K
und vergleiche
ihn mit dem
minimalen! Gib
die Abweichung in
Prozent an!
c) Die Lösung einer
Extremwertaufgabe
beruht auf
Materialbedarf A des Kartons
(Klebefalze und schräge Deckfläche werden vernachlässigt)
allgemeinen, stets
wiederkehrenden Schritten. Nenne diese Schritte und
begründe die Vorgangsweise durch Interpretation des
d) Bei realen Getränkekartons ist die Deckfläche
geneigt. Berechne den Winkel α, unter dem die
Deckfläche geneigt ist, wenn für den oben gegebenen
Getränkekarton die Länge der schrägen Kante
beträgt!
Aufgabe 4
Auf Meereshöhe beträgt der mittlere Luftdruck
p o
= 1013,25 Hektopascal (hPa), seine Abnahme mit der
Höhe kann näherungsweise durch die barometrische
Höhenformel beschrieben werden:
a) Leite die barometrische Höhenformel durch Lösen
der Differentialgleichung
her. Für den Luftdruck in der
Höhe h = 0 m gilt: p(0) = p o
= 1013,25 hPa.
b) Berechne die Höhe, in der der Luftdruck nur mehr
halb so groß ist wie auf Meeresniveau! Stelle den
Graphen der Funktion p bis ca. 15000 m über dem
Meeresspiegel dar!
c) Der Luftdruck wird mit Barometern gemessen. Vor
der ersten Messung müssen Barometer auf die Höhe
des Einsatzortes eingestellt werden. Zur vereinfachenden
Berechnung wird in den Beschreibungen der Geräte
angegeben, dass der auf Meeresniveau herrschende
Luftdruck bei einer Zunahme der Höhe von jeweils 8 m
stets um 1 hPa abnimmt. Bis in Höhen von ca. 1 000 m
können durch dieses lineare Modell relativ gute Näherungswerte
für den Luftdruck ermittelt werden.
Stelle die Gleichung der linearen Funktion zur näherungsweisen
Berechnung des Luftdrucks auf, und
zeichne den Graphen dieser Funktion im gegebenen
Diagramm ein!