Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 81.4.1 Reduktion auf ein Einteilchen-ProblemDer Impulssatz und die gleichmäßige Schwerpunktbewegung liefernwobei aus der AnfangsbedingungR(t) = R(0) + VtR(0) = m 1r 1 (0) + m 2 r 2 (0)m 1 + m 2und V = m 1ṙ 1 (0) + m 2 ṙ 2 (0)m 1 + m 2bestimmt ist. Nun kann man als zweite Variable die Relativkoordinate r = r 1 − r 2 einführen.Es giltr 1 = R + m 2M r r 2 = R − m 1M rDaraus folgt:und somit¨r = 1 m 1(− ∂V∂r 1)− 1 m 2(− ∂V∂r 2)∂V (r)µ¨r = −∂r=} {{ }= ∂V∂r 1( 1m 1+ 1 m 2) (−)∂V (r)∂rmit der reduzierten Masse µ = m 1m 2m 1 + m 2Damit wurde das Problem auf das eines Teilchens mit reduzierter Masse in einem äußerenPotential V (r) reduziert. Die Anwendung von 6 Integralen der Bewegung erlaubte es, 3 Differentialgleichungenzweiter Ordnung zu eliminieren.1.4.2 Lösung des Einteilchen-ProblemsIn Schwerpunkt- und Relativ-Koordinaten gilt (nachrechnen!)L ges = MR × Ṙ + µr × ṙ } {{ }L relund E ges = M 2 Ṙ2 + µ 2 ṙ2 + V (r)} {{ }E relDa R(t) = R(0) + Vt, sind MR × Ṙ und M/2 Ṙ2 jeweils zeitlich konstant und somit sind auchL rel und E rel Erhaltungsgrößen.Aus L rel (t) = L rel (0) = L folgt sofort, dass r(t) auf die Ebene senkrecht zu L beschränkt ist.Wir haben also nur noch ein zweidimensionales Problem und führen Polarkoordinaten ρ, ϕ ein.Dann giltL = µρ 2 ˙ϕ (1.7)Der Energiesatz liefertE rel = µ 2(˙ρ 2 + ρ 2 ˙ϕ 2) + V (ρ) = µ 2 ˙ρ2 + L2+ V (ρ) (1.8)2µρ2