Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 142.2.4 Energiebilanz bei Bewegungen mit ZwangsbedingungenWir nehmen an, dass die dynamischen Kräfte durch ein nicht explizit zeitabhängiges PotentialV (r 1 , r 2 , . . . r N ) beschrieben werden. Also giltK i (t) = − ∂V (r 1, r 2 , . . . r N )∂r iMit Hilfe der Lagrange’schen Methode erster Art folgt:m i¨r i = K i + Z i = − ∂V∂r i+Multiplikation mit ṙ i und ∑ i liefert:s∑α=1λ α (t) ∂∂r iB α (r 1 , . . . r N , t)∑m i ṙ i · ¨r i + ∑ ṙ i · ∂V s∑= λ α (t) ∑ ∂ṙ i · B α (r 1 , . . . r N , t)∂riii∂rα=1 ii} {{ } } {{ }} {{ }= dT= dVdtdt= dBαdt − ∂Bα∂tNun besagt die Nebenbedingung, dass dB α /dt = 0 gilt und wir erhaltenAlso gilt:ds∑dt (T + V ) = − λ α (t) ∂ ∂t B α(r 1 , . . . r N , t)α=1Für skleronome, holonome Zwangsbedingungen ist die Gesamtenergie T + V eine Erhaltungsgröße,wenn das Potential nicht explizit zeitabhängig ist. Dagegen findet bei rheonomenZwangsbedingungen Energiezufuhr/abfuhr mit der Umgebung statt.Dies liegt daran, dass die Zwangskräfte bei rheonomen Zwangsbedingungen nur bei virtuellenVerrückungen keine Arbeit leisten, wohl aber bei realen (zeitabhängigen) Bewegungen desSystems.Beispiel: Ebenes Pendel mit veränderlicher LängeDie holonome, rheonome Zwangsbedingung lautet B(x, z, t) = l(t) 2 − x 2 − z 2 . Damit lautet dieZwangskraftZ = −λ(t)2(xe x + ze z )Dabei ist typischerweise λ(t) > 0, wenn die Zwangskraft zum Aufhängepunkt zeigt (z.B. fürkleine Auslenkungen |ϕ| < π/2). Damit istWir haben also bei ˙l < 0 eine Energiezufuhr.ddt (T + V ) = −λ(t)2l(t)˙l(t) .