Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Kapitel 4Symmetrien und Erhaltungsgrößen4.1 SymmetrietransformationenBetrachte ein mechanisches System mit den Koordinaten q 1 , . . . q f und der LagrangefunktionL(q 1 , . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t). Nun soll eine Transformation ĥ mit q i → h i (q 1 , . . . q f ) im Koordinatenraumdurchgeführt werden. Dies könnte z.B. eine Drehung des Systems sein. Wir bestimmennun die neue Funktion¯L(q 1 , . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t) = L ( h 1 (q 1 , . . . q f ), . . . h f (q 1 , . . . q f ), ḣ1(q 1 , . . . q f ), . . . ḣf(q 1 , . . . q f ), t )Falls nun ¯L(q 1 , . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t) = L(q 1 , . . . q f , ˙q 1 , . . . ˙q f , t) gilt, nennt man ĥ eine Symmetrietransformationdes Systems.Als kontinuierliche Transformation bezeichnet man eine Transformation ĥα , die so von einemreellen Parameter α abhängt, dass die Bilder h α i (q 1 , . . . q f ) stetige Funktionen in α sind undwenn ĥα für α = 0 die Identität h 0 i (q 1 , . . . q f ) = q i ist.Beispiel:Wir betrachten einen zweidimensionalen harmonischen OszillatorL(x, y, ẋ, ẏ) = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ) − mω22 (x2 + y 2 )Die kontinuierliche Transformation ˆT a mit Tx a (x, y) = x + a, Tx a (x, y) = y ist eine Verschiebungin x Richtung um die Länge a. Es gilt¯L(x, y, ẋ, ẏ) = m 2( (d(x + a)dt) ) 2+ ẏ 2 − mω2 ((x + a) 2 + y 2) = L(x, y, ẋ, ẏ) − mω 2 xa − mω222 a2und die Translation ˆT a ist keine Symmetrietransformation.Die kontinuierliche Transformation ˆD ϕ( ) Dϕx (x, y)Dy ϕ =(x, y)( ) ( cos ϕ − sin ϕ xsin ϕ cos ϕ y)41