Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 29D.h. die partielle Ableitung der Legendretransformierten nach der neuen Variablen z ergibtdie wegtransformierte Größe x. Dagegen ändern die partiellen Ableitungen nach den anderenVariablen lediglich ihr Vorzeichen.Eine einfachere Betrachtung gelingt mit Hilfe des vollständigen DifferentialsHieraus identifizieren wir∂f(x, y)dg = zdx + xdz − dx −} ∂x {{ }=z∂g(z, y)∂zund erhalten dasselbe Ergebnis.= x und∂f(x, y)dy = xdz −∂y∂g(z, y)∂y∂f(x, y)= −∂y∂f(x, y)dy∂y3.1.3 Die HamiltonfunktionWir definieren nun dieHamiltonfunktionH(p 1 . . . p f , q 1 . . . q f , t) ==f∑q˙i p i − Li=1f∑h i (p 1 . . . p f , q 1 . . . q f , t)p ii=1()− L q 1 . . . q f , h 1 (p 1 . . . p f , q 1 . . . q f , t) , . . . h} {{ } f (p 1 . . . p f , q 1 . . . q f , t) , t} {{ }= ˙q 1 = ˙q f(3.3)als Legendretransformierte der Lagrangefunkion bezüglich der Variablen ˙q 1 , . . . ˙q f . Dann gilt⎛⎞⎛⎞f∑dH = ⎜⎝ p id ˙q i + ˙q i dp i − ∂L dq i − ∂Ld ˙q i⎟∂qi=1}{{} i ∂ ˙q }{{} i⎠ − ∂L f∑∂t dt =⎜⎝ ˙q i dp}{{} i −ṗ i dq }{{} i⎟⎠ −∂L dti=1} {{ ∂t}∂H= ∂H=ṗ i =p ∂p i i∂q i = ∂H∂tund wir identifizierenDamit erhalten wir:∂H(p 1 . . . p f , q 1 . . . q f , t)= ˙q j∂p j∂H(p 1 . . . p f , q 1 . . . q f , t)= − ṗ j∂q j∂H(p 1 . . . p f , q 1 . . . q f , t)= − ∂L(q 1 . . . q f , ˙q 1 . . . q˙f , t)∂t∂t