Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 332. p i (t) = p 0 i = const für alle i3.˙q i = ∂H∫ t= ω i (p 0∂p1, . . . p 0 f, t) ⇒ q i (t) = q i (t 0 ) + dt ′ ω i (p 0 1, . . . p 0 f, t ′ )i t 0und wir haben eine vollständige Lösung des Problems.3.2 Der PhasenraumAls Phasenraum bezeichnen wir den 2f-dimensionalen Raum, der von den verallgemeinertenKoordinaten q i und kanonischen Impulsen p i aufgespannt wird. Die Hamilton’schen Gleichungen˙q i = ∂H(p 1, . . . p f , q 1 , . . . q f , t)∂p iṗ i = − ∂H(p 1, . . . p f , q 1 , . . . q f , t)∂q ibestimmen das Richtungsfeld der Bewegung im Phasenraum, so dass man jedem Punkt imPhasenraum eine Bewegungsrichtung (z.B. durch einen Pfeil, vergleiche Abb. 3.1) zuordnen. DieBahnkurve (p 1 (t), . . . p f (t), q 1 (t), . . . q f (t)) des Systems im Phasenraum folgt stets der lokalenBewegungsrichtung und wird als Trajektorie bezeichnet. Da die Richtung der Trajektorien anjedem Ort vorgegeben ist, schneiden sich die Trajektorien nicht.Das Verhalten ist analog zu einer strömenden Flüssigkeit, bei der ein lokales Geschwindigkeitsfeldv(r) existiert, dem die Flusslinien folgen.Die Trajektorie hängt von den Anfangsbedingungen (p 1 (t 0 ), . . . p f (t 0 ), q 1 (t 0 ), . . . q f (t 0 )) ab undverschiedene Anfangsbedingungen geben auch verschiedene Trajektorien im Phasenraum. Nunstellt sich die Frage wie sich das Verhalten ändert, wenn man (leicht) unterschiedliche Anfangsbedingungenwählt. Hierzu betrachten wir ein Ensemble verschiedener Anfangsbedingungen,wie es in Abbildung 3.2 skizziert ist, und untersuchen das Langzeitverhalten. In der strömendenFlüssigkeit entspricht dies dem Verhalten eines Farbtropfens, der mit der Flüssigkeit strömt(Diffusion soll hierbei vernachlässigbar sein).3.2.1 Die PoissonklammerPhysikalische Größen wie z.B. der Gesamtdrehimpuls lassen sich durch Phasenraumfunktionenf(p 1 , . . . p f , q 1 , . . . q f , t) darstellen, die von den Variablen des Phasenraumes und eventuell auchexplizit von der Zeit abhängen. Ihre zeitliche Entwicklung längs einer Trajektorie ist gegebendurch⎛mit derddt f = ∑ i⎜∂f⎝ ṗ i + ∂f∂p i }{{} ∂q i=− ∂H∂q i⎞⎟∂p i˙q }{{} i= ∂H⎠ + ∂f∂t= {H, f} +∂f∂t(3.11)