Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 392. Lösung mit φ = 0Wählt man stattdessen A 2 (r, t) = −E 0 t und φ 2 (r, t) = 0, so erhält manp 2 = mv − qE 0 t und H 2 (p 2 , r, t) = 1 (p2 + qE 0 t ) 22mNun ist r eine zyklische Variable und wir erhaltenmit der Lösungṗ 2 = 0ṙ = 1 m(p2 + qE 0 t )p 2 (t) = p 0 r(t) = r 0 + p 0m t + 12m E 0t 2Damit ist die Observable r in beiden Fällen identisch, nicht aber der kanonische Impuls p(t),der somit nicht eichinvariant ist.BemerkungMan kann den Übergang von den Variablen p 1 , r 1 auf p 2 , r 2 auch als kanonische Transformationmit der Erzeugenden S(r 1 , p 2 ) = r 1 · p 2 + qE 0 · r 1 t auffassen.3.4.2 EnergiebilanzEs gilt:Hängen die elektrodynamische Potentiale A(r) und φ(r) nicht explizit von der Zeit ab, dannistmE ges =2 v2 +qφ(r) = H(p, r) = const} {{ }] 2eine Erhaltungsgröße1. BeweisDie Lorentzkraft ist durch= 12m[p−qA(r)F = qv × B} {{ }=F (a) −∇V (r)mit V (r) = qφ(r) gegeben. Entsprechend zu Gl. (1.5) giltda F (a) ⊥ v keine Arbeit am System leistet.2. Beweisddt E ges = v · F (a) = 0Die Hamiltonfunktion hängt nicht explizit von der Zeit ab. Damit istd∂HH(p, r) = {H, H} +dt ∂t = 0