Manuskript zur Theoretischen Physik Ia - Institut für Theoretische ...

Theoretische Physik Ia, 10. Juli 2003 18ytatar (t)tr (t)12exteAbbildung 2.2: Bahnkurven für zwei Teilchen und ihre virtuellen Verrückungen. Dabei wurdendie Bahnkurven am Anfangs- und End-Zeitpunkt festgehalten, d.h. δr i (t a ) = δr i (t e ) = 0.gilt, und wir das FunktionalS{r j (t)} =∫ tet a⎡dt⎢⎣∑im i2 ṙ2 i} {{ }kinetische Energie Tverwenden. Tatsächlich gilt mit (2.4)∫ [te ∑δS{r j (t)} = dt − ∂ V (r 1 , . . . r N , t) · δr i − ∑t a∂ri ii∫ [ ]te ∑= dt (K i (t) − m i¨r i (t)) · δr i + ∑t a ii⎤−V (r 1 , . . . r N , t)⎥⎦dm i ṙ idt· δr i]m i ṙ i · δr i∣ ∣t et a+ ∑ im i ṙ i · δr i∣ ∣t et aWenn wir nun fordern, dass die Variation δr i (t) zum Anfangs- und End-Zeitpunkt verschwindensoll, fällt der letzte Term fort und wir erhalten Gl. (2.5).Hamilton’sches Prinzip:Für ein N-Teilchen-Problem, dessen dynamischen Kräfte K i (t) = −∂V/∂r i durch das PotentialV (r 1 , . . . r N , t) bestimmt sind, definieren wir die Lagrange-Funktion:L(r 1 , . . . r N , ṙ 1 , . . . ṙ N , t) = T (ṙ 1 , . . . ṙ N ) − V (r 1 , . . . r N , t) (2.6)als Differenz von kinetischer und potentieller Energie. Dann sind die möglichen Bahnkurvenr i (t) im Zeitintervall [t a , t e ] mit vorgegebenen Anfangs- und Endpunkten r i (t a ), r i (t e ) dadurchbestimmt, dass die WirkungS{r j (t)} =∫ tet adt L(r 1 , . . . r N , ṙ 1 , . . . ṙ N , t) (2.7)für alle virtuellen Verrückungen δr i (t) der Bahnkurven extremal wird. Dabei ist δr i (t a ) =δr i (t e ) = 0 und es dürfen nur solche Bahnkurven und Verrückungen betrachtet werden, diemit den Zwangsbedingungen verträglich sind.Der große Vorteil des Hamilton’schen Prinzips liegt darin, dass es eine koordinaten-unabhängigeFormulierung der Mechanik bietet. Dies wird im folgenden Abschnitt ausgenutzt.